Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy go przez an, a ciąg o takich wyrazach oznaczamy przez ( an).
Uwaga
Będziemy rozpatrywali również skończone ciągi liczbowe określone na zbiorze {1, 2, 3, ..., n}, gdzie n ∈ N.
Definicja ( monotoniczności ciągu)
Ciąg ( an) nazywamy
• rosnącym, jeżeli dla każdego n ∈ N zachodzi an < an+1,
• malejącym, jeżeli dla każdego n ∈ N zachodzi an > an+1,
• niemalejącym, jeżeli dla każdego n ∈ N zachodzi an an+1,
• nierosnącym, jeżeli dla każdego n ∈ N zachodzi an an+1,
• stałym, jeżeli dla każdego n ∈ N zachodzi an = an+1 = const.
Monotoniczność dowolnego ciągu ( an) możemy ustalić, badając znak różnicy an+1 − an, bn
a ciągu o wyrazach dodatnich ( b
+1
n), porównując iloraz
do 1.
bn
bn
∀
+1
n∈N
an
Rodzaj monotoniczności
+1 − an ∀ n∈N
bn
>0
>1
rosnący
<0
<1
malejący
0
1
niemalejący
0
1
nierosnący
Definicja ( ciągu ograniczonego)
Ciąg ( an) jest
• ograniczony z dołu, jeżeli istnieje m ∈ R takie, że dla każdego n ∈ N zachodzi an m;
• ograniczony z góry, jeżeli istnieje M ∈ R takie, że dla każdego n ∈ N zachodzi an M;
• ograniczony, jeżeli istnieją m, M ∈ R takie, że dla każdego n ∈ N zachodzi m an M.
Ciąg liczbowy ( an) nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej trzywyrazowy i każdy wyraz (począwszy od drugiego) powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r, zwanej różnicą ciągu. Czyli dla dowolnego n zachodzi
an+1 = an + r
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego ( an) zapisuje się w postaci an = a 1 + ( n − 1) r
Suma n początkowych wyrazów takiego ciągu wyraża się wzorem ( a 1 + an) n
S n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + an =
2
Ciąg liczbowy ( an) nazywamy ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej trzywyrazowy i każdy wyraz (począwszy od drugiego) powstaje z pomnożenia poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę q, zwaną ilorazem ciągu. Czyli dla dowolnego n zachodzi
an+1 = anq
Wtedy każdy wyraz ciągu geometrycznego ( an) zapisuje się w postaci an = a 1 qn−1
Suma n początkowych wyrazów takiego ciągu wyraża się wzorem
na
1
gdy
q = 1
S
n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + an =
a
1(1 − qn)
gdy
q , 1
1 − q
Dla ciągu geometrycznego ( an) o niezerowych wyrazach zachodzi an+1 = q
an
co oznacza, że stosunek wyrazu następnego do wyrazu porzedniego jest wartością stałą.
Ciąg ( an) możemy określić, podając wyraz pierwszy (lub kilka początkowych wyrazów) oraz podając wzór na wyraz an+1 w zależności od poprzednich wyrazów. Taki sposób określenia ciągu nazywamy rekurencyjnym. Jeśli znamy wyraz ogólny ciągu, to możemy zdefiniować go rekurencyjnie. Natomiast podanie ogólnego wzoru na podstawie wzoru określonego rekurencyjnie może być trudne lub wręcz niemożliwe.
Definicja (granicy właściwej)
Ciąg ( an) jest zbieżny do granicy właściwej g ∈ R, co zapisujemy lim an = g, wtedy n→∞
i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje takie n 0 ∈ N, że dla każdego n > n 0
( n ∈ N) spełniona jest nierówność | an − g| < ε.
Ilustracja graficzna ciągu zbieżnego do granicy g
Ciąg liczbowy, który ma granicę właściwą, nazywamy zbieżnym.
Twierdzenie
Jeżeli ciąg ( an) jest zbieżny do granicy właściwej, to jest ograniczony.
Uwaga
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Ciąg ograniczony nie musi być zbieżny.
Twierdzenie ( o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego) Jeżeli ciąg ( an) jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny.
Iloczyn ciągu zbieżnego do zera i ciągu ograniczonego jest ciągiem zbieżnym do zera.
Definicja ( wyrażeń nieoznaczonych)
Następujące symbole nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi:
0
∞
[∞ − ∞],
[0 · ∞],
,
,
[1∞],
[∞0],
[00]
0
∞
• a + ∞ = ∞ dla −∞ < a ∞
• a · ∞ = ∞ dla a > 0
• a · ∞ = −∞ dla a < 0
a
•
= 0 dla −∞ < a < ∞
∞
a
•
= ∞ dla 0 < a ∞
0+
Twierdzenie ( o rachunku granic właściwych ciągów) Jeżeli ciągi ( an) i ( bn) są zbieżne do granic właściwych, to
• lim ( an ± bn) = lim an ± lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
• lim ( can) = c lim an, gdzie c ∈ R
n→∞
n→∞
• lim ( an · bn) = lim an · lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
lim a
a
n
n
n
• lim
→∞
=
, o ile lim bn , 0
n→∞ bn
lim bn
n→∞
n→∞
lim b
• lim ( a
n
n) bn = ( lim an ) n→∞
, o ile działania po obu stronach są wykonalne (tzn. nie
n→∞
n→∞
otrzymujemy wyrażenia nieoznaczonego 00)
m
√
• lim
a
n
q
n =
lim an, gdzie m ∈ N
n→∞
n→∞
Jeżeli
n
√
• a > 0, to lim
a = 1
n→∞
n
√
• n ∈ N, to lim
n = 1
n→∞
sin an
• lim an = 0, to lim
= 1
n→∞
n→∞
an
Twierdzenie ( o trzech ciągach)
Jeżeli ciągi ( an), ( bn), ( cn) spełniają warunki
• an bn cn dla każdego n n 0
• lim an = lim cn = g
n→∞
n→∞
to lim bn = g.
n→∞
Ilustracja graficzna twierdzenia o trzech ciągach
Twierdzenie ( o dwóch ciągach)
Jeżeli ciągi ( an) i ( bn) spełniają warunki
• an bn dla każdego n n 0
• lim an = ∞
n→∞
to lim bn = ∞.
n→∞
Ilustracja graficzna twierdzenia o dwóch ciągach
1 n
Ciąg an = 1 +
jest rosnący (czyli monotoniczny) i ograniczony, a więc jest ciągiem n
zbieżnym. Jego granicą jest liczba e (≈ 2, 7182818). Czyli n
1
lim 1 +
= e
n→∞
n
Zachodzi również wzór
n
1
1
lim 1 −
=
= e−1
n→∞
n
e
Powyższe wzory możemy sformułować w postaci ogólnego twierdzenia: Twierdzenie
1
bn
Jeżeli lim bn = 0, to lim 1 + bn
= e
n→∞
n→∞
Definicja (granicy niewłaściwej)
• Ciąg ( an) jest zbieżny do granicy niewłaściwej ∞, co zapisujemy lim an = ∞, wtedy n→∞
i tylko wtedy, gdy dla każdego M > 0 istnieje n 0 ∈ N, że dla każdego n ∈ N zachodzi n > n 0 =⇒ an > M.
• Ciąg ( an) jest zbieżny do granicy niewłaściwej −∞, co zapisujemy lim an = −∞, n→∞
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego M < 0 istnieje n 0 ∈ N, że dla każdego n ∈ N
zachodzi n > n 0 =⇒ an < M.
Ilustracja graficzna ciągu zbieżnego do granicy niewłaściwej ∞
Ciągi, które nie mają granicy właściwej ani niewłaściwej, nazywamy ciągami rozbieżnymi.
Uwaga
W niektórych podręcznikach ciągi zbieżne do granicy niewłaściwej −∞ lub ∞ nazywa się ciągami rozbieżnymi do −∞ lub ∞.
Definicja (podciągu ciągu liczbowego)
Niech ( an) będzie ciągiem liczbowym i niech ( nk) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych (to znaczy 1 n 1 < n 2 < . . . oraz k ∈ N). Ciąg ( an ) nazywamy podciągiem ciągu ( a k
n).
Twierdzenie
Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej) jest zbieżny do tej samej granicy.
Uwaga
Jeżeli istnieją dwa podciągi ciągu ( an) zbieżne do różnych granic, to ciąg ( an) jest rozbieżny.
Twierdzenie (Bolzano-Weierstrassa)
Z każdego ciągu nieskończonego i ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.
W obliczeniach będziemy korzystać także z następującej granicy:
nie istnieje gdy q
−1
0
gdy | q| < 1
lim qn
=
n→∞
1
gdy q = 1
∞
gdy q > 1
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
Jeżeli ciąg ( an) jest ciągiem geometrycznym o wyrazie pierwszym a 1 i ilorazie q, przy czym | q| < 1, to można podać wzór na sumę wszystkich wyrazów ciągu ( an). Mamy bowiem
a 1(1 − qn)
a 1
S = a 1 + a 2 + a 3 + . . . = lim ( a 1 + a 2 + a 3 + . . . + an) = lim
=
n→∞
n→∞
1 − q
1 − q
ponieważ lim qn = 0 dla | q| < 1.
n→∞