177
3. NAPIĘCIOWE I PRĄDOWE ŹRÓDŁA PRĄDU STAŁEGO
Zad. 3-1. Dane jest źródło napięciowe prądu stałego o parametrach: E = 20 V i Rw = 2 Ω. Wyznacz wartości parametrów: Iź r i Gw , równoważnego mu (ze względu na wielkości zaciskowe) źródła prą-
dowego. Oblicz wartości strat mocy w źródłach oraz ich sprawności w stanie jałowym i w stanie zwarcia (wartości graniczne).
I
I
Rw
U
R
≡
Iź r
Gw
U
G
E
E
1
Rozwią zanie: I
A , G
S ;
w =
= 5
,
0
ź r =
= 10
R
R
w
w
2
R ⋅ E
U ⋅ I
R ⋅ I 2
R
G
2
w
P
∆ = R ⋅ I =
;
w
η =
=
=
=
;
E
w
(
E
R + R
E ⋅ I
( R + R ⋅ I 2 R + R
G + G
w )
w )2
w
w
2
G ⋅ I
U ⋅ I
G ⋅ U 2
G
R
2
w
ź r
P
∆
= G ⋅ U =
;
w
η
;
=
=
=
=
I ź r
w
(
I ź r
G + G
U ⋅ I
G + G
⋅ U 2
G + G
R + R
ź r
(
w )
w )2
w
w
2
R
stąd
2
P
∆
= 1
+
⋅ P
∆ ⋅η , η
= 1
, η = 1 −η
;
−η
I ź r
E
E
I ź r
E
E
I
R
ź r
w
G
- w stanie jałowym G = 0 , I = 0 , więc 2
P
∆
, η =
w
,
E
= 1
E = Rw ⋅ I
= 0
G + Gw
2
I
G
P
∆
W, η
(inaczej: η
η
);
I ź r = 1 −
E = 0
I ź r =
= 0
I
= ź r
ź r
= 200
G
G + G
w
w
R
- w stanie zwarcia R = 0 , U = 0 , więc 2
P
∆
, η
,
I
=
w
ź r
= 1
I ź r = Gw ⋅ U
= 0
R + Rw
2
E
R
P
∆
W, η
(inaczej: η
η
).
E = 1 −
I ź r = 0
E =
= 0
E =
= 200
R
R + R
w
w
Uwaga. Jak widać, sprawności równoważnych źródeł – napięciowego i prądowego – osiągają w stanie jałowym oraz w stanie zwarcia przeciwstawne sobie wartości graniczne (1 i 0 oraz 0 i 1).
Straty źródła prądowego w stanie jałowym są równe stratom równoważnego źródła napięciowego w stanie zwarcia (co zresztą wynika z zależności na zamianę tych źródeł).
Zad. 3-2. Źródła z poprzedniego zadania są obciążane rezystancją R o różnych wartościach. Oblicz wartości mocy wydawanej przez źródła idealne: PE i PI ź r , mocy P wydawanej przez źródła rzeczy-wiste (pobieranej przez odbiornik R ), strat mocy: ∆ PE i ∆ PI ź r , oraz sprawności: η E i η I ź r – przy rezystancji obciążenia R równej: 8 Ω; 4 Ω; 2 Ω; 1 Ω; 0,5 Ω.
Rozwią zanie.
E 2
R
R
R
Wzory: P =
, P =
⋅ P ,
w
P
∆ =
⋅ P , η =
,
E
R + R
E
R + R
E
E
R + R
E
R + R
w
w
w
w
Elektrotechnika podstawowa
I 2
R
R
R
ź r
P
,
w
P =
⋅ P , P
∆
=
⋅ P ,
w
η
.
=
=
I ź r
I
G + G
I ź r
R + R
I ź r
I ź r
R + R
ź r
R + R
w
w
w
w
Wyniki:
R (Ω)
PE (W)
P (W)
∆ PE (W)
η E
PI ź r (W)
P (W)
∆ PI ź r (W)
η I ź r
8
40
32
8
0,8
160
32
128
0,2
4
66,7
44,4
22,2
0,67
133,3
44,4
88,9
0,33
2
100
50
50
0,5
100
50
50
0,5
1
133,3
44,4
88,9
0,33
66,7
44,4
22,2
0,67
0,5
160
32
128
0,2
40
32
8
0,8
Zad. 3-3. Oblicz moc wydawaną przez idealne źródło napięciowe E = 3 V oraz moc wydawaną przez gałąź z tym źródłem i rezystancją R = 1 Ω, jeśli – przy założonym „generatorowym” strzał-
kowaniu wielkości – prąd I ma wartość: a) 2 A, b) 4 A.
I R E
Zależ noś ci właś ciwe wystę pują cym zwrotom prą du i napięć:
UR
U = U
= E − U = E − R ⋅ I ; gen
R
U = Ugen
P = P
; P = P
= U ⋅ I = U ⋅ I .
= E ⋅ I
E
E gen
gen
gen
Rozwią zanie:
a) P
W , U = E − R ⋅ I = 1 V , P = U ⋅ I = 2 W ; E = E ⋅ I = 6
b) P
W , U = E − R ⋅ I = 1
− V , P = U ⋅ I = −4 W .
E = E ⋅ I = 12
Uwaga. Gdy gałąź generuje ujemną moc (przypadek „b”), to jest jako całość odbiornikiem. Moc generowana przez źródło idealne (odpowiadająca strzałkowaniu generatorowemu prądu i napięcia w źródle) nie pokrywa w pełni mocy wydzielającej się w rezystancji gałęzi.
Zad. 3-4. Oblicz moc pobieraną przez idealne źródło napięciowe E = 3 V oraz moc pobieraną przez gałąź z tym źródłem i rezystancją R = 1 Ω, jeśli – przy założonym „odbiornikowym” strzałkowaniu wielkości – prąd I ma wartość: a) 2 A, b) 4 A.
I R E
Zależ noś ci właś ciwe wystę pują cym zwrotom prą du i napięć:
UR
U = U
= E + U = E + R ⋅ I ; odb
R
U = Uodb
P = P
; P = P
= U ⋅ I = U ⋅ I .
= E ⋅ I
E
E odb
odb
odb
Rozwią zanie:
a) P
W , U = E + R ⋅ I = 5 V , P = U ⋅ I = 10 W ; E = E ⋅ I = 6
b) P
W , U = E + R ⋅ I = 7 V , P = U ⋅ I = 28 W .
E = E ⋅ I = 12
Uwaga. Gdy E > 0 i I > 0, to źródło idealne jest odbiornikiem aktywnym (strzałkowanie odbiornikowe prądu i napięcia w źródle). Moc pobierana przez gałąź jest sumą mocy odbiornikowej źró-
dła i mocy wydzielającej się w rezystancji gałęzi.
179
Zad. 3-5. Oblicz moc wydawaną przez idealne źródło prądowe Iź r = 3 A oraz moc wydawaną przez gałąź z tym źródłem i konduktancją G = 0,5 S, jeśli – przy założonym „generatorowym” strzałkowaniu wielkości – napięcie U ma wartość: a) 2 V, b) 10 V.
Iź r
I = Igen
Zależ noś ci właś ciwe wystę pują cym zwrotom prą dów i napię cia:
I
I
G
= I
= I − I = I − G ⋅ U ; G
gen
ź r
G
ź r
P
; P
U
= P = U ⋅ I
= U ⋅ I .
= P = U ⋅ I
I ź r
I ź r gen
ź r
gen
gen
Rozwią zanie:
a) P
U I
W , I = I
A , P = U ⋅ I = 4 W ;
ź r − G ⋅ U = 2
I ź r =
⋅ ź r = 6
b) P
U I
W , I = I
A , P = U ⋅ I = −20 W .
ź r − G ⋅ U = −2
I ź r =
⋅ ź r = 30
Uwaga. Gdy gałąź generuje ujemną moc (przypadek „b”), to jest jako całość odbiornikiem. Moc generowana przez źródło idealne (odpowiadająca strzałkowaniu generatorowemu prądu i napięcia w źródle) nie pokrywa w pełni mocy wydzielającej się w konduktancji gałęzi.
Zad. 3-6. Oblicz moc pobieraną przez idealne źródło prądowe Iź r = 3 A oraz moc pobieraną przez gałąź z tym źródłem i konduktancją G = 0,5 S, jeśli – przy założonym „odbiornikowym” strzałkowaniu wielkości – napięcie U ma wartość: a) 2 V, b) 10 V.
Iź r
I = Iodb
Zależ noś ci właś ciwe wystę pują cym zwrotom prą dów i napię cia:
G
I
I = I
= I + I = I + G ⋅ U ; G
odb
ź r
G
ź r
; P = P
= U ⋅ I
= U ⋅ I .
= db = ⋅
U
P
P
U I
I ź r
I ź r o
ź r
odb
odb
Rozwią zanie:
a) P
U I
W , I = I
A , P = U ⋅ I = 8 W ;
ź r + G ⋅ U = 4
I ź r =
⋅ ź r = 6
b) P
U I
W , I = I
A , P = U ⋅ I = 80 W .
ź r + G ⋅ U = 8
I ź r =
⋅ ź r = 30
Uwaga. Gdy Iź r > 0 i U > 0, to źródło idealne jest odbiornikiem aktywnym (strzałkowanie odbiornikowe prądu i napięcia w źródle). Moc pobierana przez gałąź jest sumą mocy odbiornikowej źródła i mocy wydzielającej się w konduktancji gałęzi.
Zad. 3-7. Dwa źródła prądu stałego o znanych parametrach są połączone jak na rysunku i obciążo-ne łącznie prądem I (nie są jednak znane: napięcie na odbiorniku U ani jego rezystancja R ). Oblicz moc pobieraną przez odbiornik ( P) oraz moce wydawane przez każde ze źródeł rzeczywistych ( P
Ω
Ω
gen 1, Pgen 2) i idealnych ( PE 1, PE 2). Dane: E 1 = 13 V, E 2 = 12 V, Rw 1 = 1
, Rw 2 = 2 , I = 4 A.
I
Rozwią zanie:
U = E − R ⋅ I = E − R
⋅ I , I = I − I ,
1
1
w
1
2
w 2
2
2
1
I 1
I 2
więc E − R ⋅ I = E − R
⋅ ( I − I ) ;
1
1
w
1
2
w 2
1
Rw 1
Rw 2
U
R
E − E + R
I
w
⋅
1
2
2
I =
= 3 A ; I = I − I = 1 A ;
1
E 1
E 2
R
R
2
1
w
+
1
w 2
U = E − R
V ; P = U ⋅ I = 40 W ,
w ⋅ I
= 10
1
1
1
P
W , P
W , P
W , P
W .
E
= E ⋅ I = 12
E
= E ⋅ I = 39
gen
= U ⋅ I = 10
gen
= U ⋅ I = 30
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 3-8. Dwa źródła prądu stałego o znanych parametrach, połączone jak na rysunku, obciążone są łącznie rezystancją R . Oblicz moc pobieraną przez odbiornik ( P) oraz moce wydawane przez każde ze źródeł rzeczywistych ( Pgen 1, Pgen 2) i idealnych ( PE 1, PE 2 albo PI ź r 1, PI ź r 2).
a)
I
Dane: E
Ω
Ω
Ω
1 = 12 V, E 2 = 12 V, Rw 1 = 6
, Rw 2 = 3 , R = 2 .
I
I
Rozwią zanie (metoda układu zastę pczego): 1
2
I
Rw 1
Rw 2
U
R
I 1
I 2
E
1
E 2
2 Ω
2 A
4 A
3 Ω
6 Ω
6 A
6 Ω
3 Ω
Ω
2
3 A
I
1 A
2 A
I 1
I 2
6 Ω
3 Ω
6 V
2 Ω
6 Ω
Ω
6
3
V
6
6
2 Ω
V
V
1
6
6
Ω
V
V
6 A
U
(1 S)
12 V
12 V
12
V
12 V
U = 6 V ; I = 3 A , I = 1 A , I = 2 A ; 1
2
P = U ⋅ I = 18 W ,
P
W , P
W , P
W , P
W .
E
= E ⋅ I = 24
E
= E ⋅ I = 12
gen
= U ⋅ I = 12
gen
= U ⋅ I = 6
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
b)
I
Dane: E
Ω
Ω
Ω
1 = 14 V, E 2 = 10 V, Rw 1 = 4
, Rw 2 = 4 , R = 2 .
I 1
I 2
Odpowiedź:
Rw 1
Rw 2
U
R
P = U ⋅ I = 18 W ,
P
W , P
W ,
gen
= U ⋅ I = 6
gen
= U ⋅ I = 12
1
1
2
2
E 1
E 2
P
W , P
W .
E
= E ⋅ I = 10
E
= E ⋅ I = 28
1
1
1
2
2
2
( do samodzielnego rozwią zania)
c)
I
Dane: I
Ω
ź r 1 = 2,5 A, Iź r 2 = 3,5 A, Rw 1 = 6
,
R
Ω
Ω
w 2 = 3
, R = 2 .
I 1
I 2
Rozwią zanie (metoda układu zastę pczego): R
U
Iź r 1
Iź r 2
U = 6 V
I =
I =
I =
;
3 A ,
5
,
1 A
A
1
,
5
,
1
2
;
R
Rw 2
w 1
P = U ⋅ I = 18 W ,
3 A
P
W ,
gen
= U ⋅ I = 9
1
1
1,5 A
1,5 A
P
W ,
1 A 2 A
gen
= U ⋅ I = 9
2
2
2,5 A
2 Ω
1 Ω
6 V
P
U I
W ,
6 A
6
I ź r
= ⋅ ź r = 15
1
1
V
(1
Ω
S)
6 Ω
3
3,5 A
P
U I
W .
I ź r
= ⋅ ź r = 21
2
2