Przykład 1.2. Wyznaczanie przyśpieszenia punktu Punkt M porusza się po torze parabolicznym o równaniu y = kx2 ze stałą prędkością Vo .
Znaleźć przyśpieszenie tego punktu w funkcji jego położenia.
ROZWIĄZANIE
Zilustrujmy treść zadania na rysunku 2.A.
y
VM
M
yM
α
xM
x
rys 2.A
Wektor
prędkości punktu jest w każdej chwili styczny do toru. Znając równanie trajektorii można więc określić kierunek stycznej do paraboli i tym samym kierunek wektora VM . Oznaczając jako α kąt nachylenia stycznej do toru (rys. 2.A) mamy d
tgα =
( y( x ) ) = 2kx .
dx
Przez kąt α można wyrazić składowe wektora prędkości punktu M jako V
= V cosα
Mx
M
V
= V
α
My
M sin
Wykorzystując zależności trygonometryczne 1
tg
cosα =
, sinα
α
=
,
1 + 2
tg α
1 + tg2α
otrzymujemy
1
2k ⋅ x
V
= V
=
Mx
o
,
V
V
My
o
.
1 + 4k 2 x2
1 + 4k 2 x2
Wyznaczone
składowe wektora prędkości pozwalają określić składowe wektora przyśpieszenia. Wykorzystując reguły różniczkowania funkcji złożonej otrzymujemy 1
dV
dx
dV
a
=
V
V
Mx
( Mx ) = Mx ⋅ = Mx ⋅
=
Mx
dt
dx
dt
dx
8k 2 x
V
2
2
4k x
= − V
⋅
o
= − V
o
,
3
2 2
2
2 (
o
1 + 4k 2 x2 ) 1 + 4k x
( 1+ 4k2x2)
d
dVMy dx dVMy
2 k
a
=
=
⋅
=
⋅
=
My
( VMy)
2
V
V
dt
dx
dt
dx
My
o (
2
1+ 4 k x )2
2
Określenie długości wektora przyśpieszenia punktu M sprowadza się teraz do obliczenia sumy geometrycznej składowych a
, a
Mx
My
2
2
2
2k
a
= a
+ a
= V
M
Mx
My
o
.
( 1+
3
4k 2 x2 )
Kąt β nachylenia wektora przyśpieszenia do osi x określony jest związkiem a
tg
Mx
β =
= − 1 .
a
2k
My
x
1
Ponieważ tgβ
α β π
= −
⇒
+ =
. Oznacza to, że wektor przyśpieszenia jest tgα
2
prostopadły do wektora prędkości.
Kierunek wektora przyśpieszenia można określić także w inny sposób. Całkowite przyśpieszenie punktu poruszającego się ze stałą co wartości prędkością jest równe przyśpieszeniu normalnemu, czyli jest skierowane prostopadle do kierunku ruchu.
2