Przykład 1.4. Wyznaczanie toru prędkości i przyśpieszenia punktu Dane są równania ruchu punktu ( k, r są stałymi dodatnimi) postaci:
x(t ) = r sin2 kt
y(t ) = r cos kt
z(t) = 1 rsin kt
2
2
Znaleźć tor, prędkość i przyśpieszenie punktu.
ROZWIĄZANIE
1. Wyznaczenie toru punktu
Dążymy do przedstawienia toru punktu jako krzywej przestrzennej będącej przecięciem dwóch powierzchni ( to znaczy w postaci uwikłanej).
Wykorzystując dwa pierwsze równania ruchu, można stwierdzić, że powierzchnia, po której porusza się punkt opisana jest równaniem
x
y2
+
= 1 .
r
r 2
Jest to powierzchnia walca parabolicznego o tworzących równoległych do osi z. Rozważając teraz pierwsze i trzecie równanie ruchu możemy stwierdzić, że 2
2
2
2
2
2
x x
z = ( r sin kt cos kt) = r ( 1− sin kt) sin kt =
r 1 −
.
r r
Zatem równanie powierzchni zawierającej tor punktu ma postać
r 2
2
2
r
x −
z
.
+
=
2
2
Równanie to opisuje powierzchnię walca kołowego o tworzących równo-ległych do osi y.
Torem punktu jest krzywa przestrzenna będąca linią prze-cięcia obu walców.
2. Wyznaczenie prędkości punktu
Różniczkując względem czasu składowe położenia punktu obli-czamy składowe
•
wektora prędkości. Wynoszą one
V = x = 2 r k sin kt cos kt = r k sin 2kt , x
•
V = y = − r k sin kt , y
•
V = z = r k cos t
k .
z
Długość wektora prędkości wynosi
V = V 2 + V 2 + V 2 = r k
+
2
1 sin k
x
y
z
t ,
1
natomiast jego cosinusy kierunkowe dane są związkami V
Vy
V
(
cos 〈 V ,V
x
z
x ) =
, c (
os 〈 V ,Vy ) =
,
(
cos 〈 V ,Vz ) =
.
V
V
V
3. Wyznaczenie przyśpieszenia punktu
Składowe wektora przyśpieszenia wynoszą:
•
a = V = 2 k 2 r cos2kt x
x
•
a = V = − k 2 r cos kt y
y
•
a = V = − 2 k 2 r sin 2kt z
z
,
natomiast jego długość
a = a 2 + a 2 + a 2 = k 2 r 2
4 + cos kt .
x
y
z
Obliczmy ponadto składowe przyśpieszenia w układzie naturalnym - czyli składowe styczną i normalną do toru.
Składowa styczna (obliczona z definicji) wynosi τ
dV
2k sin kt cos kt
1 2
sin 2kt
a =
= k r
= k r
.
dt
2 1 +
2
sin kt
2
1 +
2
sin kt
Obliczenie składowej normalnej bezpośrednio z definicji wymaga określe-nia promienia krzywizny toru. Prościej więc będzie wykorzystać prostopa-dłość składowych stycznej i normalnej i obliczyć składową normalną jako 2
n
2
2
τ
2
5 + 3 sin kt
a = a − ( a ) = r k 1 +
2
sin kt
2