Przykład 1.4. Wyznaczanie toru prędkości i przyśpieszenia punktu Dane są równania ruchu punktu ( k, r są stałymi dodatnimi) postaci:

 x(t ) = r sin2 kt



 y(t ) = r cos kt

 z(t) = 1 rsin kt



2

2

Znaleźć tor, prędkość i przyśpieszenie punktu.

ROZWIĄZANIE

1. Wyznaczenie toru punktu

Dążymy do przedstawienia toru punktu jako krzywej przestrzennej będącej przecięciem dwóch powierzchni ( to znaczy w postaci uwikłanej).

Wykorzystując dwa pierwsze równania ruchu, można stwierdzić, że powierzchnia, po której porusza się punkt opisana jest równaniem

x

y2

+

= 1 .

r

r 2

Jest to powierzchnia walca parabolicznego o tworzących równoległych do osi z. Rozważając teraz pierwsze i trzecie równanie ruchu możemy stwierdzić, że 2

2

2

2

2

2

x x

z = ( r sin kt cos kt) = r ( 1− sin kt) sin kt =



r 1 −

.



r  r

Zatem równanie powierzchni zawierającej tor punktu ma postać



r  2

2

2

r 

x −

z

.



 +

=  

2

2

Równanie to opisuje powierzchnię walca kołowego o tworzących równo-ległych do osi y.

Torem punktu jest krzywa przestrzenna będąca linią prze-cięcia obu walców.

2. Wyznaczenie prędkości punktu

Różniczkując względem czasu składowe położenia punktu obli-czamy składowe

•

wektora prędkości. Wynoszą one

V = x = 2 r k sin kt cos kt = r k sin 2kt , x

•

V = y = − r k sin kt , y

•

V = z = r k cos t

k .

z

Długość wektora prędkości wynosi

V = V 2 + V 2 + V 2 = r k

+

2

1 sin k

x

y

z

t ,

1

natomiast jego cosinusy kierunkowe dane są związkami V

Vy

V

(

cos 〈 V ,V

x

z

x ) =

, c (

os 〈 V ,Vy ) =

,

(

cos 〈 V ,Vz ) =

.

V

V

V

3. Wyznaczenie przyśpieszenia punktu

Składowe wektora przyśpieszenia wynoszą:

•

a = V = 2 k 2 r cos2kt x

x

•

a = V = − k 2 r cos kt y

y

•

a = V = − 2 k 2 r sin 2kt z

z

,

natomiast jego długość

a = a 2 + a 2 + a 2 = k 2 r 2

4 + cos kt .

x

y

z

Obliczmy ponadto składowe przyśpieszenia w układzie naturalnym - czyli składowe styczną i normalną do toru.

Składowa styczna (obliczona z definicji) wynosi τ

dV

2k sin kt cos kt

1 2

sin 2kt

a =

= k r

= k r

.

dt

2 1 +

2

sin kt

2

1 +

2

sin kt

Obliczenie składowej normalnej bezpośrednio z definicji wymaga określe-nia promienia krzywizny toru. Prościej więc będzie wykorzystać prostopa-dłość składowych stycznej i normalnej i obliczyć składową normalną jako 2

n

2

2

τ

2

5 + 3 sin kt

a = a − ( a ) = r k 1 +

2

sin kt

2