cz. I
1. Napisać równanie prostej
(a) przechodzącej przez punkty (1 , 2) , i (4 , 7); (b) przechodzącej przez punkt (2 , 1) i nachylonej do osi OX pod kątem 2 π ;
3
(c) przechodzącej przez punkt (1 , 3) i nachylonej do osi OY pod kątem π ;
6
(d) przechodzącej przez punkt (1 , 2) i równoległej do prostej y = 3 x; (e) przechodzącej przez punkt (2 , 2) i prostopadłej do prostej y = 2 x; (f) stycznej do okręgu x 2 + y 2 = 25 w punkcie (3 , 4); (g) stycznej do paraboli y = x 2 w punkcie (1 , 1) .
2. Rozwiązać równania
(a) x + |x| = 1 ,
(b) x + | − x| = 0 ,
(c) x + |x| = − 1;
(d) x + |x − 1 | = 5 ,
(e) x + | 1 − x| = 1 ,
(f) x + |x − 1 | = 1 ;
2
(g) x + | 1 − x| = 0 ,
(h) |x − 3 | − | 2 x − 3 | = 5 , (i) | 3 x − 2 | − |x − 1 | = 2 .
3. Narysować wykresy funkcji
y = |x− 1 |, y = | 2 x− 3 |, y = x+ |x|, y = | 2 − 3 x|−x, y = |x− 3 |−|x− 1 |.
4. Rozwiązać nierówności
(a) |x| < 2 ,
(b) |x − 1 | 3 ,
(c) |x + 1 | > − 1;
(d) x + |x − 1 | ¬ 1 ,
(e) x + | 1 − x| = 1 ,
(f) x − | 2 − x| < 0;
(g) | 3 x − 6 | + |x − 1 | < 4; (h) | 2 x − 7 | − 2 |x + 1 | < 6 , (i)
||x − 3 | − | 2 x − 3 || 1
(j)
| 3 x − 2 | − |x − 1 | 2 .
5. Znaleźć miejsca zerowe podanych trójmianów kwadratowych, zapisać je w postaci kanonicznej naszkicować wykres.
y = x 2 − 7 x+12 , y = −x 2+5 x− 6 , y = x 2 − 4 x+5 , y = 2 x 2 − 3 x− 2 , y = 9 x 2 − 6 x+1 .
1
(a)
x 2 − 5 x + 6 > 0 , (b)
x 2 − 7 x + 12 ¬ 0 , (c)
x 2 − 4 x + 4 0 , (d)
−x 2 + 4 x − 3 ¬ 0 ,
(e)
−x 2 − 5 x − 4 > 0 , (f)
x 2 − 2 x + 5 > 0 , (g)
−x 2 + x − 9 > 0 ,
(h)
x 2 + 3 x + 9 < 0 ,
(i)
−x 2 + 4 x − 8 ¬ 0 ,
(j)
−x 2 + 97 x − 96 > 0 , (k) x 2 + 333 x + 332 < 0 , (l)
−x 2 + 23 x − 132 ¬ 0 .
7. Określić liczbę rozwiązań równania x 2 +(1+ a) x+ a = ( x− 2)2 w zależności od parametru a.
8. Dla jakich wartości parametru m nierówność ( m 2 − 1) x 2 + 2( m − 1) x + m > 0
jest spełniona dla dla każdego x ∈ R .
9. Dla jakich wartości parametru m równanie
( m + 1) x 2 − 4 mx + m + 1 = 0
ma dwa różne pierwiastki dodatnie.
10. Dla jakich wartości k suma kwadratów pierwiastków równania x 2 + ( k − 3) x + k − 5
jest najmniejsza?
11. Obliczyć sumę sześcianów pierwiastków równania x 2 + px + q = 0 jeżeli wiadomo, że równanie to ma dwa pierwiastki.
12. Naszkicować wykresy funkcji
y = |x 2 − 3 x+2 |, y = x 2 − 5 |x|+6 y = |−x 2 +7 x− 12 |, y = |x 2 − 2 x+5 |, 13. Rozwiązać nierówności:
(a) x 2 − | 5 x + 6 | < 0 , (b) |x 2 − 5 x + 2 | 2 , (c) |x 2 − 5 x + 7 | < 1 , (d) x 2 − 4 |x| + 3 > 0 , (e) |x 2 − 9 x + 8 | ¬ 0 , (f) |x 2 − 41 x + 420 | > 0 .
14. Rozwiązać równania
2
x 3 − 2 x 2 − x + 2 = 0 , (b)
x 3 + 3 x 2 + x + 3 = 0
(d)
x 3 − 3 x 2 − 10 x + 24 = 0 , (e)
x 3 − 5 x 2 − 16 x − 80 = 0 , (c)
x 4 − 5 x 3 + 5 x 2 + 5 x − 6 = 0 , (d)
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 = 0 .
15. Wykonać dzielenia
(a) x 3 − 2 x 2 + 3 x + 4 : x − 2 , (b) x 3 + 3 x 2 + 3 x + 2 : x + 1 , (c) x 4 − x 3 + x + 7 : x − 1 , (a) x 4 − 7 x 3 + x 2 + x − 1 : x 2 − x + 1 , (b) x 5 − x 3 + x 2 + x − 4 : x 2 + 1 .
16. Rozwiązać nierówności:
(a) x 3 − 5 x 2 + 6 x > 0 , (b) x 3 + 2 x 2 − x − 2 < 0 , (c) x 3 − 4 x 2 + 4 x > 0 , (d) x 3 − x 2 − x + 1 0 , (e) x 3 + 2 x 2 + 3 x + 2 < 0 .
17. Naszkicować wykresy funkcji
1
x
2
2 x + 1
y =
,
y =
,
y =
,
y =
.
x
x + 2
x − 3
x − 1
18. Rozwiązać równania
(a)
1
+ 1
= 0 ,
(b)
x+3 − x− 3 = x 2 + 1
(c)
5 x 2 − 32 z+3 = 2 − 9 − 3 x, 1 −x
1+ x
x+2
x− 2
x 2 − 4
x 2 − 4 x+3
x− 1
(d)
2 = 2 ,
(e)
5 x+11 = |x + 1 | + 6
(f)
4 |x|− 3 = x,
3 x− 1
x+2
x
√
√
√
√
√
√
(g)
4 − x =
5 − x, (h)
3 − x =
5 − 2 x,
(i)
9 − x 2 =
6 − 2 x,
√
√
√
(j)
x +
x 2 − 1 = 0 ,
(k)
2 x +
x 2 + 1 = 0 ,
(l)
x −
x 2 + 5 + 1 = 0 .
19. Naszkicować wykresy funkcji
√
√
√
y =
x,
y =
2 x − 3 ,
y =
x 2 − 4 x + 4 ,
√
√
√
y =
x 2 − 9 ,
y =
−x 2 + 6 x − 8 , y = x 2 − 4 x + 3 .
3
20. Naszkicować wykresy funkcji
x + 2
|x| − 1
y =
.
x + 1 ,
y = |x| + 2
21. Rozwiązać nierówności:
(a) x 2 − 6 x+5 > 0 , (b)
x 2 − 3 x+2 ¬ 0 ,
(c)
x+3
< 0 .
x+2
x 2 − 7 x+12
x 2+3 x+8
(d) x 2 − 5 < x + 1 ,
(e)
x 2 − 1 ¬ 3 ,
(f) x− 3 0 ,
x
2 x+5
x− 2
(g) x 2 − 6 x+5 > 0 , (h)
x 2 − 3 x+2 ¬ 0 ,
(i)
x+3
< 0 .
x+2
x 2 − 7 x+12
x 2+3 x+8
√
(j)
x 2 − 5 < x + 1 ,
(k) x 2 − 1 ¬ 3 ,
(l)
x 2 − 1 < x,
x
2 x+5
√
√
√
(m)
x 2 − 1 ¬ x − 1 , (n) x 2 − 1 > 1 − 2 x, (o) x 2 − 16 < 2 − x.
22. Naszkicować wykresy funkcji
( ) x
2
y = 2 x, y =
, y = 3 x− 1 , y = 2 x− 4 , y = | 3 x− 3 | y = 2 |x|, y = 2 −|x|.
3
( ) |
( )
x|
x
1
1
y =
,
y =
2
2 − 2 .
23. Rozwiązać równania:
√
√
(a) 49 x − 6 · 7 x + 5 = 0 , (b) 4 x− 2 + 16 = 10 · 2 x− 2; (c) 23 x 7 x− 2 = 4 x+1 ,
(d) 8 x + 18 x − 2 · 27 x = 0; (e) xx 2 − 5 x+6 = 1 ,
(f) 2 −|x| = 1 ( |x + 1 | + |x − 1 |) .
2
24. Rozwiązać nierówności:
( ) x+1
(a)
1
x− 1 > 1 ,
(b) x 2 · 2 x + x · 2 x− 1 > 0; 2
32
( )
( )
x
− 1 −x
(c)
1
− 1
1 ,
(d) 3 x+ 12 + 3 x− 12 > 4 x+ 12 − 22 x− 1; 2
2
(e) ( x 2 + x + 1) x < 1 , (e) |x|x 2 −x− 2 < 1 .
25. Obliczyć
4
(b) log
1
,
(c) log 1 ,
(d) log 7 ,
2
2 1024
3
7
(e) log
121 ,
(f) log
12 ,
(g) log
625 ,
(h) log 27 ,
11
144
25
9
√
√
√
3
(i)
log
1024 ,
(j)
log
3 3 9 ,
(k) log
2 ,
(l)
log
16 ,
512
1024
512
256
√
√
√
(l)
log 1 81 ,
(m) log 3 100 ,
(n) log 1 3 3 ,
(o) log √ 2 3 2 ,
2
3
9
(n) log 0 , 00001 , (o) log 3 − log 12 , (p) log 2 + log 18 .
2
2
6
6
26. Rozwiązać równania:
(a) log ( x 2 + 5 x + 7) = 0 ,
(b) log |x − 1 | = 27 ,
2
3
(c) log √ ( x + 1)2 = 4 ,
(d) log
| 2 − x| = − 1 ,
2
0 , 1
(e) log( x − 2) − log( x − 4) = 1 − log(13 − x) ,
√
√
(f) log
x − 5 + log 2 x − 3 = log 30 ,
1
5
(g) log(0 , 5 + x) = log 0 , 5 − log x, (h)
+
= 3 ,
1 + log x
3 − log x
(i)
2 x = 3 ,
(j)
102 x+1 = 23 x+4 .
27. Rozwiązać nierówności:
(a) log ( x − 2) < 3 ,
(b) log (2 x − 4) > 2 ,
2
1
3
(c) log ( x 2 − 8 x) ¬ 2 , (d) log ( x 2 + 3 x) ¬ 2 ,
2
1
2
(e) log ( x + 14) + log ( x + 2) 6 , (f) | 3 − log x| < 1 .
2
2
2
28. Zamienić kąt podany w stopniach na radiany:
30 o, 60 o, 45 o, 90 o, 120 o, 175 o, 245 o, 390 o.
29. Podać wartości funkcji sin , cos , tg ctg dla kątów π
π
π
π
2 π
3 π
5 π
7 π
5 π
4 π
3 π
7 π
5 π
11 π
0 ,
,
,
,
,
,
,
, π,
,
,
,
,
,
,
, 2 π, − 7 π .
6
4
3
2
3
4
6
6
4
3
2
4
3
6
6
5
30. Podać wartości funkcji sin , cos , tg ctg dla kątów 2008 π
2008 π
2008 π
2008 π
2008 π
2008 π,
,
,
,
,
.
2
3
4
6
12
31. Obliczyć wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla kątów π
5 π
11 π
π
,
,
, ( ∗) .
12
12
12
5
32. Naszkicować wykresy funkcji
(a) y = sin x,
(b) y = cos x,
(c) y = tg x,
(d) y = a ctg x,
(e) y = sin( x − π ) ,
(f) y = 2 cos( x − π ) , (g) y = tg 2 x, (h) y = ctg x ,
4
2
2
(i)
y = sin 2 x,
(j)
y = cos 3 x
(k) y = | sin x|,
(l)
y = | tg x − 1 |.
33. Rozwiązać równania:
(a) sin x + cos x = 1 ,
(b) 3 sin x = 2 cos2 x;
(c) sin4 x + cos4 x = 5 ,
(d) sin3 + cos3 x = 1;
8
(e) cos x − cos 3 x = sin x − sin 3 x (f) ctg x − cos x = 1 − sin x ; 2 sin x
(g) 2sin2 x = 1 + 2cos2 x
(h) (cos x)sin2 x− 3 sin x+ 1
2
2
= 1 .
34. Rozwiązać nierówności:
(a) cos x + tg x < 1 + sin x,
(b) tg 2 x − ctg 2 x > 2
√ ;
3
(c) 2 sin2 3 x + sin2 6 x < 2 ,
(d) cos2 x < 1 ;
2
√
(e) sin x > cos x,
(f) | sin x| >
3 ;
2
(g) sin x + cos x > 1
(h) lg
(tg x + 6) > 2 .
tg x
35. Obliczyć wartość wyrażenia
(a)
sin(arc cos 1 ) ,
(b)
cos(arc tg 2) ,
5
(c)
tg(arc sin 2 ) ,
(d)
ctg(arc cos 5 ) ,
5
6
√
√
√
(e)
1 arc cos 3 + arc tg( − 3) − 3 arc sin 2 , 2
2
2
6
√
)
(f)
cos 3 arc sin
3 + arc cos( − 1) ,
2
2
(
√
√ )
(g)
tg 5 arc tg
3 − 1 arc sin 3 .
2
4
2
36. Wyprowadzić wzory:
π
π
arc sin x =
− arc cos x,
arc tg x =
− arcctg x.
2
2
37. Wyprowadzić wzory:
√
(a)
arc sin x = arc cos
1 − x 2 ,
(b)
arc cos x = arc sin?;
(c)
arc sin x = arc tg? ,
(d)
arc tg x = arc sin? ,
(e)
arc sin x = arcctg?
(f)
arcctg x = arc sin? ,
(g)
arc cos x = arcctg?
(h)
arc tg x = arc cos? ,
(i)
arc cos x = arcctg?
(j)
arc cos x = arc sin x? ,
(k)
arc tg x = arcctg?
(l)
arcctg x = arc tg? .
38. Naszkicować wykresy funkcji:
(a)
y = arc sin x,
(b)
y = arc tg x,
(c)
y = arc cos x.
(d)38.4
y = arc sin x,
(e)
y = arcctg x
(f)
y = arc sin(2 x − 1) ,
(g)
y = arc cos(2 x − 3) ,
(h)
y = | arc tg x|,
(i)
y = arcctg 1 ,
x
(j)
y = arc sin 1 ,
(k)
y = arc cos 1 ,
(l)
y = arc tg 1 ,
x
x
x
1
1
(m) y =
(n)
,
y =
(o)
,
y = sin(arc sin x) ,
arc sin x
arcctg x
(p)
y = arc sin(sin x) ,
(q)
y = arc tg(tg x) ,
(r)
y = arcctg(tg x) .
39. Wyznaczyć dziedzinę podanej funkcji. Sprawdzić czy jest ona funkcją róż-
nowartościową. Jeżeli jest, to znaleźć funkcję odwrotną.
7
(a)
y = arc cos(3 x − 1) ,
(b)
y = arc sin
2 x − 1 ,
(
)
(√
)
x − 1
(c)
y = arc cos
(d)
y = arc sin
x+1
,
x + 2
x− 1
x − 1
(e)
y = sin x
( π/ 2 ¬ x ¬ 3 π/ 2) ,
(f)
y = 2 tg
(0 ¬ x ¬ 2) .
2
40. Rozwiązać nierówności:
(a)
arc sin(log x) > 0 ,
(b)
log 1 (arc tg x) > 2 − log π, 2
2
(c)
arc cos x > arc sin 1 ,
(d) arc tg x ¬ arcctg 2 .
3
7
8