Kolokwium 2 Matematyka - 07.01.2013, wersja A 2n + 1
1
(1) (4p) Dla ciagu a i :=
znaleźć N takie, że dla każdego n > N zachodzi nierówność ι
n := 4n − 1
72
1
an −
< .
2
√
3n4 +
n + sin(n)
(2) Obliczyć granice ciagów lub wykazać, że nie sa zbieżne: a (1p),
ι
ι
n :=
11n4 + n + 1
1
cos(3n4 + 11)
bn := √
√
(1p), cn := √
(1p).
n2 + n + 1 − pn2 − n +
n
n2 + n + 1
(
x2−5x+6
√
dla
x > 3
(3) (4p) Dla jakiej wartości liczby a ∈ R, funkcja f (x) :=
x−2(x−3)
jest ciag la? (odpowiedź
ι
2x + a
dla
x ≤ 3
prosze uzasadnić).
ι
√
7
2x2 + 3x
q
p
(4) Obliczyć pochodne funkcji: f (x) := 2x2 + 4 x +
(1p), g(x) :=
(2p) , h(x) :=
x2 +
x2 + 1
x3
x + 2
(2p).
Kolokwium 2 Matematyka - 07.01.2013, wersja B
n + 4
1
(1) (4p) Dla ciagu a i :=
znaleźć N takie, że dla każdego n > N zachodzi nierówność ι
n := 3n − 1
81
1
an −
< .
3
√
n5 +
n + 1 + cos(n)
(2) Obliczyć granice ciagów lub wykazać, że nie sa zbieżne: a (1p),
ι
ι
n :=
6n5 + n + 1
1
cos(3n4 + 11)
bn := √
√
(1p), c
√
(1p).
p
n :=
n2 + 2n + 1 −
n2 − n +
2n
n2 + n + 1
(
x2−x−2
√
dla
x > 2
(3) (4p) Dla jakiej wartości liczby a ∈ R, funkcja f (x) :=
x−1(x−2)
jest ciag la? (odpowiedź
ι
ax + 1
dla
x ≤ 2
prosze uzasadnić).
ι
√
3
3x2 + 2x
q
p
(4) Obliczyć pochodne funkcji: f (x) := x4 + 5 x +
(1p), g(x) :=
(2p) , h(x) :=
x2 + 2
x2 − 1
x
x3 + 2
(2p).
Kolokwium Matematyka - 07.01.2013, wersja C
2n − 1
1
(1) (3p) Dla ciagu a i :=
znaleźć N takie, że dla każdego n > N zachodzi nierówność ι
n := 3n + 2
90
2
an −
< .
3
√
3n4 +
n + sin(n)
(2) Obliczyć granice ciagów lub wykazać, że nie sa zbieżne: a (1p),
ι
ι
n :=
11n4 + n + 1
6
sin(n2 + n + 1)
bn := √
√
(1p), c
√
(1p).
p
n :=
n2 + n + 1 −
n2 − 2n +
n + 1
n2 + n + 1
(
x2+x−6
√
dla
x > 2
(3) (4p) Dla jakiej wartości liczby a ∈ R, funkcja f (x) :=
3x−2(x−2)
jest ciag la? (odpowiedź
ι
ax + a
dla
x ≤ 2
prosze uzasadnić).
ι
x3
√
7
2x2 + 3x
q
p
(4) Obliczyć pochodne funkcji: f (x) :=
+ 5 x +
(1p), g(x) :=
(2p) , h(x) :=
x2 −
x2 + 1
3
x3
3x + 2
(2p).