Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
Zawartość
1.0. STANY NIEUSTALONE ....................................................................................................................... 1
1.1. Warunki początkowe ........................................................................................................................ 2
1.2 . Przykład 1 ........................................................................................................................................ 3
1.3. Przykład 2 ........................................................................................................................................ 5
1.4. JAK TO ZROBIĆ W MATLABIE ........................................................................................................... 7
1.0 STANY NIEUSTALONE
Omówimy teraz sposób obliczania stanów nieustalonych w obwodach elektrycznych metodą operatorową, zobaczymy ze praktycznie wyznaczenie odpowiedzi –
stany przejściowego odpowiada odpowiedzi układu o danej transmitancji na wymuszenie czy to stałe (źródło napięcia stałego) lub zmienne ( sinusoidalne) .
Zanim przejdziemy do omawiania analizy obwodów wprowadzimy kilka pojęć ułatwiających analizę stanów nie ustalonych .
Stanem ustalonym nazywamy stan obwody elektrycznego w którym wszystkie napięcia i prądy, oraz energia zmieniają się okresowo lub mają wartości stałe.
Stanem nieustalonym nazywamy stan obwodu w którym w wyniku komutacji (zwarcie, przełączenie włącznika , nagła zmiana parametrów obwodu) następuje
stan pośredni po zaniku którego obwód znajdzie się w nowym stanie ustalonym .
Postulaty wynikające z ciągłości stanu energetycznego:
- ciągłość napięcia na elementach pojemnościowych
-ciągłość prądu na elementach indukcyjnych
Zmiana skokowa wartości prądów i napięć ( elementy idealne) :
- prąd w elemencie pojemnościowym i rezystancyjnym może zmieniać się skokowo
- napięcie w elemencie indukcyjnym i rezystancyjnym może zmieniać się skokowo.
Powyższe postulaty wynikają z zasady zachowania energii którą gromadzą elementy L i C. Często przy wyłączaniu wyłączników lub przy ich włączaniu pojawią się łuk elektryczny, który odpowiada zmiennej rezystancji - w analizie stanów nieustalonych będziemy pomijali te zjawisko.
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 1
Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
Obliczanie prądów i napięć w stanie nieustalonym metodą operatorową sprowadza się do :
- Określenia warunków początkowych ( wartości prądu na płynącego w cewce i napięcia na kondensatorze)
- Rozwiązanie obwodu w stanie ustalonym po przełączeniu
- rozwiązanie obwodu w stanie przejściowym po przełączeniu.
Rozwiązanie obwodu w stanie nieustalonym jest superpozycją składowej ustalonej oraz składowej przejściowej.
1.1 Warunki początkowe
Chwilę w której następuje komutacja oznaczamy t=0 – jest to początek stanu nieustalonego. Wartość napięcia i prądu przez komutacją oznaczymy poprzez :
0 , 0 a tuz po komutacji : 0 , 0 . Stany przed komutacją wyznaczamy znając poprzedni stan ustalony.
Wyznaczenie stanu przejściowego będzie przebiegało według poniższych kroków: 1. Stworzenie schematu obwodu dla składowej przejściowej - wyeliminowanie źródeł
poprzez : zwarcie źródeł napięcia , rozwarcie źródeł prądu – tak aby układ dla składowej przejściowej nie zawierał żadnych źródeł wymuszającej
Dla wymuszeniu sinusoidalnym:
Dla źródła wymuszającego sinusoidalnego.
2. Określenie warunków początkowych dla składowej przejściowej przy zachowaniu postulatów ciągłości
0 0 0
0 0 0
Przy wymuszeniu stałym źródłem nie rozbijamy obwodu na cześć ustaloną u przejściową
– źródło zastępujemy jego modelem operatorowym.
3. Utworzenie schematu operatorowego obwodu w stanie przejściowym poprzez zastąpienie elementów ich modelami operatorowymi i uwzględnieniu warunków początkowych
4. Wyznaczenie transformaty odwrotnej.
5. Po wyznaczeniu transformaty odwrotnej przebieg przejściowy składa się z przebiegu ustalonego i przejściowego
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 2
Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
Zrobimy teraz kilka przykładów , zobaczymy jak wiąże się to z wyznaczaniem odpowiedzi układy o danej transmitancji na wymuszenie.. Zrobimy przykład symbolicznie oraz numerycznie.
Zaczniemy od poznanego już szeregowego układu RLC.
1.2 Przykład 1
Wyznacz przebieg prądu i napięć w stanie nieustalonym dla szeregowego układy RLC.
Wartość źródła napięcia i elementów:
E=1 V , R=30 Ohm L= 0,1 H C= 0.001 F
0 0
0 0
0 0
Prawa napięciowego mamy:
1
1
Zauważmy ze gdybyśmy nie mieli sprecyzowanego wymuszenia to otrzymalibyśmy:
1
1
czyli transmitancję zależności prądu od napięcia - i teraz chcąc sprawdzić odpowiedź układy na wymuszenie skokowe o wartości E - podstawiamy jego transformatę E(s)=
Wracając do przykładu otrzymujemy:
Napięcie na kondensatorze:
!
Napięcie na cewce:
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 3
Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
Podstawiając dane wartości otrzymujemy i rozbijając na ułamki proste poznanymi metodami:
0.001
0.0447
0.0447
0.0001 0.03 1 38.19 261
1
0.171
1.171
1
0.0001* 0.03 261 38.19
0.0001
1.17
0.17
0.0001 0.03 1 261 38.19
Korzystając teraz z tablic wyznaczamy przebiegi w dziedzinie czasu:
0.0447+,*-.. / 0.001+,0 /
1 0.171+,0/ 1.171+,*-.. /
1.17+,0/ 0.17+,*-.. /
Rozwiązanie symboliczne:
678947:34;94<
+,5
34
/ +,5 8947:34;94
34
/)
1,234
678947:34;94<
= +,5
34
/ +,5 8947:34;94
34
/
1,234
Uc=E-Ri(t)-UL(t)
Wypadało by jeszcze przeanalizować wpływ wartości
elementów na przebiegi – wróćmy do
Zapisu operatorowego prądu
1
Pierwiastki mianownika:
∆ ? 4
przebiegi w układzie nie mają charakteru oscylacji jeżeli 21 ,
@ 21 drgania tłumione .
( 21 ) wystapią drgania nie rosnące – rezonans.
Jeżeli R=0 ( i elementy LC bierzemy jako idealne) to otrzymamy układ oscylacyjny (
rezonansowy)
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 4
Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
1.3. Przykład 2
Dla układu z przykładu 1 znajdź przebieg prądu w obwodzie i napięcia na kondensatorze jeżeli źródło napięcia jest sinusoidalne :
Asin E F
Um=1 [V]
F 30 °
E 1
Przebieg wyznaczymy metoda superpozycji w stanie ustalonym po przełączeniu i w stanie przejściowym.
Stan ustalony po przełączeniu postaci zespolonej ;
Impedancja
1
G ? E E 1000.35
E 1
I JKLM N
E
O 88.28 °
A
+QR
√2
A
G G+QS
+QR,S 0.0007+Q-,- °
G√2
0.0007√2sin E 118.28 °
Napięcie na cewce:
TU E +Q.V ° 0.0007+Q-,- ° 0.00007+QV-,- °
0.0007√2sin E 208.28 °
Napięcie na kondensatorze:
1
T E +Q,.V ° 0.0007+Q-,- ° 0.7+Q-,- °
0.7√2sin E 28.28 °
Napicie na rezystancji:
30 W 0.0007+Q-,- ° 0.021+Q-,- °
0.021√2sin E 1118.28 °
Warunki początkowe :
0 0
0 0
0 0.0007√2 sinE0 118.28 ° 0.00087
0 0.7√2 sinE0 28.28 ° 0.47
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 5
Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
Tworzymy schemat operatorowy:
Z prawa napięciowego:
1
0
0
0
1
0 0
Po przekształceniu:
0 0
1
Podstawiamy wartości :
8.7 W 10,0 0.47
0.1 1 1000
Po rozbiciu na ułamki proste:
2.3529i
2.3529i
5 99.8749i s 5 99.8749i
Po przekształceniach:
2.3529eY.V°
2.3529eY.V°
5 99.8749i s 5 99.8749i
Teraz na podstawie tablic możemy wyznaczyć przebiegi w dziedzinie czasu:
iZ 2 W 2.3529e,[\cos(99.88 t 90°
Transformata napięcia na kondensatorze:
8.7 W 10,* 470
T 0.1* 1 1000
Po rozbiciu na ułamki proste:
0.235 0.0122i 0.235 0.0122i 0.47
s 5 99.87i s 5 99.87i
0.235e,Y..^°
0.235eY..^°
0.47
s 5 99.87i s 5 99.87i
L_ 0.47 2 W 0.235e,[\cos 99.87t 2.97°
Rozwiązanie stanu przejściowego:
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 6
Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
iZ 2 W 2.3529e,[\cos(99.88 t 90° 0.0007√2sin E 118.28 °
0.47 2 W 0.235e,[\ cos99.87t 2.97° 0.7√2sin E 28.28 °
1.4. - JAK TO ZROBIĆ W MATLABIE
Wykorzystując polecenia z Symboli Toolbox jak i również Cotrol Toolbox można rozwiązać równania różniczkowe na wiele sposobów, przedstawić wyniki w formie symbolicznej , jak i numerycznej w postaci przebiegów
Wróćmy do przykładu 1 gdzie wyznaczaliśmy odpowiedz prądu, i napięć na wymuszenie skokowe napięcia zasilającego ( zamknięcie klucza).
Prawo napięciowe:
1
Po przekształceniu jak przykładzie mamy
1
Teraz możemy rozwiązać symbolicznie kownianie poprzez policzenie transformaty odwrotnej poleceniem ilaplace() :
>> syms E C R L s
>> i=ilaplace(E*C/(s^2*L*C+s*R*C+1))
i =
E*C*(exp(-1/2*(R*C-(R^2*C^2-4*C*L)^(1/2))/C/L*t)-exp(-1/2*(R*C+(R^2*C^2-
4*C*L)^(1/2))/C/L*t))/(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2)
Po uporzadkowaniu otrzymujemy :
678947:34;94<
+,5
34
/ +,5 8947:34;94
34
/)
1,234
Polecenie pretty(i) pozwala na dogodniejsza formę pokazania rozwiązania ( może się pokazać przez jakąś wielkością napis codegen:- należy go zignorować )
Jeżeli podstawimy dane zamiast oznaczeń symbolicznych to otrzymamy rozwiązanie liczbowe:
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 7
Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
>>i=ilaplace(0.001/(s^2*0.0001+s*0.03+1))
i=
-1/50*5^(1/2)*(exp(-50*(5^(1/2)+3)*t)-exp(50*(5^(1/2)-3)*t))
Plecenie ezplot(i,[0 0.06]) rysuje nam przebieg w przedziale [0 ….0.06]:
>>ezplot(i,[0 0.06])
>> grid on % wlaczenie siatki
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
t
Rozwiązanie numeryczne
Otrzymaliśmy rozwiązanie symboliczne oraz wykreśliliśmy przebieg wykorzystując Symbolic Toolbox.
Ponieważ mamy transmitancję możemy rozwiązać równanie numerycznie – musimy podstawić za symbole ich wartości:
0.001
1 0.0001 0.03 1
Transmitacja:
0.001
1 0.0001 0.03 1
Najpierw tworzymy model transmitancyjny :
Dla pradu w zapisie operatorowym (jak powyżej):
>>L=[0.001];
>>M=[0.0001 0.03 1];
>>I=tf(num,den)
Ponieważ już podstawiliśmy wymuszenie E(s)=E/s – to chcąc uzyskać rozwiązanie numeryczne – wykres stosujemy polecenie impulse()
>>impulse(I)
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 8
Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
lub : impulse(tf(L,M)) albo impulse(tf[[0.001],[0.0001 0.03 1]))
Jeżeli mamy zapis transmitancyjny to :
L=[0.001 0];
>>M=[0.0001 0.03 1];
>>I=tf(num,den)
Wywołujemy polecenie step():
>>step(I)
W wyniku wywołania komend zostanie wyświetlony przebieg:
Step Response
0.03
0.02
ed
litupm 0.01
A
00
0.05
0.1
0.15
Można zadać pytanie czemu dwie rudne komendy – a taki sam przebieg?
Wynika to z formy transmitancyjnej – dla :
1
Mamy już podstawioną transformatę wymuszenia - nie jest to transmitancja - tylko zapis operatorowy równania różniczkowego – chcąc otrzymać rozwiązanie w czasie musimy zastosować polecenie impulse() – ( wynika to z transformaty impulsu Diraca która równa jest 1 ) – nie możemy zastosować polecenia step() – gdyż otrzymamy odpowiedz dla układu o transmitancji
1
gdzie U(s) jest wielkością wejsciową – a my jiz przeciez podstawiliśmy w transmitancji transformatę wymuszenia .
Dla zapisu transmitancyjnego :
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 9
Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
1
zastosujemy zawsze polecenie step() - które rysuje nam przebieg w czasie na wymuszenie jednostkowe. Gdybyśmy przy tym zapisie wywołali polecenie impulse() – otrzymalibyśmy odpowiedz układu za impuls a nie na skok ( zamknięcie włącznika).
Istnieje jeszcze jedno bardzo przydatne polecenie:
[r p k ]=residue(L,M)
Polecenie to rozbija nam transmitancję o liczniku L i mianowniku M na postać ułamków prostych których poszczególne wartości za zapisane w wektorach r , p k . transmitancję można przedstawić w postaci:
L(s) R(1) R(2) R(n)
---- = -------- + -------- + ... + -------- + K(s)
A(s) s - P(1) s - P(2) s - P(n)
Dla naszego zapisu transmitacji
0.001
0.00012 0.03 1
>>[r p k ]=residue([0.001],[0,0001 0.03 1])
r =
-0.0447
0.0447
p =
-261.8034
-38.1966
k =
[]
Wektor k jest pusty - oznacza to ze licznik jest mniejszy od mianownika.
To polecenie przydaje się, gdy w wyniku wywołania polecenia ilaplace() uzyskane rozwiązanie w postaci liczbowej ( za symbole podstawiamy ich wartości ) jest mało czytelne –
rozwiązanie może zawierać zapis w którym występują sinus i cosinus hiperboliczny a nie funkcja ekspotencjalna - jest to zapis równoważny – jednakże dla nas mało czytelny pod względem analizy otrzymanego wyniku .
Rozbicie na ułamki proste pozwala na uzyskanie bardziej czytelnego rozwiązania – w szczególności gdy mamy pod ręką tablice transformat – jesteśmy w stanie od razu napisać rozwiązanie.
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 10
Pojęcia podstawowe- Stany nieustalone
0.8-2009
Źródła:
1.Podstawy teorii układów elektrycznych -S.W Director R.A Rother PWN 1976.
2. Podstawy elektrotechniki R. Kurdziel PWN 1973
Ł. Szydłowski
Modelowanie i Sterowanie
Strona 11