Je·zeli F1; F2 s ¾
a podprzestrzeniami re‡eksywnej przestrzeni
dwuliniowej (V ; !), to:
(a) (F1 + F2)! = (F1)! \ (F2)!,
(b) (F1)! + (F2)!
(F1 \ F2)!.
Dowód: ad (a) Skoro F1
F1 + F2 i F2
F1 + F2, to
(F1 + F2)!
(F1)! \ (F2)! :
Poka·
zemy inkluzj ¾
e przeciwn ¾
a. Weźmy dowolny element
x 2 (F1)! \ (F2)!. Skoro x 2 (F1)! i x 2 (F2)!, to
!(x; x1) = 0 dla ka·
zdego x1 2 F1;
!(x; x2) = 0 dla ka·
zdego x2 2 F2:
St ¾
ad !(x; x1 + x2) = !(x; x1) + !(x; x2) = 0 + 0 = 0 dla dowolnych x1 2 F1, x2 2 F2, sk ¾
ad x 2 (F1 + F2)!. Zatem
rzeczywiście (F1)! \ (F2)!
(F1 + F2)!.
ad (b) Weźmy dowolne elementy x 2 (F1)! + (F2)! oraz y 2 F1 \ F2. Zatem x = x1 + x2 dla pewnych x1 2 (F1)!, x2 2 (F2)!. Wówczas
!(x; y ) = !(x1 + x2; y ) = !(x1; y ) + !(x2; y ) = 0 + 0 = 0; poniewa·
z y 2 F1 i y 2 F2. Zatem x 2 (F1 \ F2)!.
Je·zeli F1; F2 s ¾
a podprzestrzeniami nieosobliwej, skończenie
wymiarowej przestrzeni re‡eksywnej (V ; !), to
(F1 \ F2)! = (F1)! + (F2)! :
Dowód.
Inkluzja (F1)! + (F2)!
(F1 \ F2)! jest przedmiotem lematu
1(b). Z faktu, ·
ze (W !)! = W dla dowolnej podprzestrzeni W
przestrzeni wektorowej V oraz lematu 1(a) wynikaj ¾
a równości:
F !
1 + F !
2
= ((F !
1 + F !
2 )! )!
= ((F !
1 )! \ (F !
2 )! )!
= (F1 \ F2)! :
Je·zeli V jest przestrzeni ¾
a wektorow ¾
a oraz E1; E2; F s ¾
a jej takimi
podprzestrzeniami wektorowymi, ·ze E1
F , to
(E1 + E2) \ F = E1 + (E2 \ F ) :
De…nition 4
Podprzestrzeń wektorow ¾
a F przestrzeni dwuliniowej (V ; !), dla
której !j F
F = 0 nazywamy ca÷
kowicie izotropow ¾
a.
Niech (V ; !) b ¾
edzie skończenie wymiarow ¾
a, re‡eksywn ¾
a
przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a oraz F1; F2 jej ca÷
kowicie izotropowymi
przestrzeniami. Wówczas
(F1 + F2) \ (F1 + F2)! = (F1 \ F !
2 ) + (F !
1 \ F2 ) :
Dowód.
Skoro F1
F ! i F
, z lematów 1(a), 2 i 3 wynika, 1
2
F !
2
·
ze
(F1 + F2) \ (F1 + F2)! = (F1 + F2) \ (F !
1 \ F !
2 )
= ((F1 + F2) \ F !
1 ) \ F !
2
= (F1 + (F2 \ F !
1 )) \ F !
2
= (F1 \ F !
2 ) + (F2 \ F !
1 \ F2 )
= (F1 \ F !
2 ) + (F !
1 \ F2 ) :
(o ortogonalnym dope÷
nieniu przestrzeni ca÷
kowicie izotropowej)
Niech (V ; !) b ¾
edzie symetryczn ¾
a, nieosobliw ¾
a przestrzeni ¾
a
dwuliniow ¾
a skończonego wymiaru. Dla dowolnych ca÷
kowicie
izotropowych podprzestrzeni F1; F2 nast ¾
epuj ¾
ace warunki s ¾
a
równowa·zne:
(a) F1 + F2 jest nieosobliw ¾
a symetryczn ¾
a podprzestrzeni ¾
a V ,
(b) V = F1
(F2)!,
(c) V = F2
(F1)!.
Warunki (a)–(c) implikuj ¾
a równość dim F1 = dim F2. Je·zeli
char K 6= 2, to dla ka·zdej ca÷kowicie izotropowej podprzestrzeni F1
V istnieje ca÷
kowicie izotropowa podprzestrzeń F2, taka ·ze
spe÷
nione s ¾
a warunki (a)–(c).
edzie symetryczn ¾
a, nieosobliw ¾
a
przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a, dim V = n oraz niech F1; F2 b ¾
ed ¾
a jej
ca÷
kowicie izotropowymi podprzestrzeniami.
I. Z lematu 5 wynika równowa·
zność nast ¾
epuj ¾
acych trzech zdań:
(F1 + F2) \ (F1 + F2)! = 0;
(F1 \ F !
2 ) + (F !
1 \ F2 ) = 0;
F1 \ F !
2 = 0 i F !
1 \ F2 = 0:
(1)
Zauwa·
zmy, ·
ze z faktu, ·
ze (W !)! = W dla dowolnej podprzestrzeni
W przestrzeni wektorowej V oraz z lematu 2 wynika, ·
ze
(F !
1 \ F2 )! = (F !
1 )! + (F2 )! = F1 + (F2 )!
(F1 \ F !
2 )! = (F1 )! + (F !
2 )! = (F1 )! + F2 :
Przestrzeń dwuliniowa (V ; !) jest nieosobliwa, V = 0!, V ! = 0, wi ¾
ec ostatnie równości implikuj ¾
a, ·
ze (1) oraz
F1 \ F !
2 = 0 i F1 + (F2 )! = V ;
(2)
(F1)! + F2 = V i F !
1 \ F2 = 0
(3)
s ¾
a równowa·
a równowa·
zne odpowiednio temu, ·
ze
V = F1
(F2)! i V = (F1)!
F2. Wynika st ¾
ad równowa·
zność (a)
i (b) oraz równowa·
zność (a) i (c).
II. Za÷
ó·
zmy, ·
ze spe÷
niony jest warunek (b). Wówczas skoro
F2
(F2)! = V , to
dim V
= dim (F1
(F2)!) = dim F1 + dim (F2)!
= dim F1 + dim V
dim F2:
St ¾
ad dim F1 = dim F2.
ó·
zmy, ·
ze char K 6= 2. Weźmy dowoln ¾
a podprzestrzeń
ca÷
kowicie izotropow ¾
a F1. Niech W b ¾
edzie sk÷
adnikiem prostym
przestrzeni V dope÷
niaj ¾
acym przestrzeń (F1)!, tj.
V = (F1)!
W :
Zatem
V = (F1)! + W
oraz
(F1)! \ W = 0:
Bior ¾
ac dope÷
nienia ortogonalne przestrzeni V i 0, wykorzystuj ¾
ac
lematy 1 i 2, otrzymujemy równowa·
znie:
0 = V ! = F1 \ W ! oraz F1 + W ! = V ;
czyli równowa·
znie równość
V = F1
W !:
Niech S : F1
W ! ! F1
(F1)! oznacza projekcj ¾
e wzd÷
u·
z
podprzestrzeni W !, tj. jeśli x = f1 + w ! dla pewnych f1 2 F1 oraz w ! 2 W !, to S(x) = f1. Zauwa·
zmy, ·
ze
w
S(w ) 2 W ! dla wszystkich w 2 W :
(4)
De…niujemy podprzestrzeń wektorow ¾
a
1
F2 =
w
S(w ) 2 V : w 2 W
V :
2
Weźmy dowolne w 2 W . Odwzorowanie S ma wartości w przestrzeni ca÷
kowicie izotropowej F1, wi ¾
ec ! (S(w ); S(w )) = 0.
Z (4) wynika, ·
ze ! w ; w
1 S(w) = 0. Zatem
2
1
1
!
w
S(w ); w
S(w )
2
2
1
1
1
= !
w ; w
S(w )
+ !
w
S(w ); w
+
! (S (w ); S (w ))
2
2
4
1
= ! (w ; w
S(w )) +
! (S (w ); S (w )) = 0 + 0 = 0:
4
A to oznacza, ·
ze podprzestrzeń F2 jest ca÷
kowicie izotropowa.
Poka·
zemy, ·
ze V = F2
(F1)!. Weźmy dowolny element x 2 V .
Skoro V = (F1)!
W , to x = f ! + w dla pewnych f
1
1 2 (F1)!
i w 2 W .
1
1
x = f !
1 + w =
f !
1 +
S(w )
+
w
S(w )
2 (F1)! + F2;
2
2
gdy·
z f !
S(w )
S(w )
1
2 (F1)!, 12
2 F1
(F1)!, w
1
2
2 F2. Zatem
V = (F1)! + F2:
Weźmy dowolny x 2 (F1)! \ F2. Skoro x 2 F2, istnieje taki w 2 W , ·
ze x = w
1 S(w).
2
Poniewa·
z x 2 (F1)! i 1 S(w)
2
2 F1
(F1)!, wi ¾
ec
1
w =
x +
S(w )
2 W \ (F1)! :
(5)
2
Poniewa·
z V = (F1)!
W , wi ¾
ec W \ (F1)! = 0. Zatem z (5)
wynika, ·
ze w = 0, a st ¾
ad, ·
ze x =
1 S(w)
2
2 (F1)! \ F1 = (0).
Pokazaliśmy, ·
ze
(F1)! \ F2 = 0 i V = (F1)! + F2:
Zatem równowa·
znie V = (F1)!
F2. F2 jest wi ¾
ec szukan ¾
a
ca÷
kowicie izotropow ¾
a podprzestrzeni ¾
a przestrzeni V .
Lemma 7
Je·zeli v0 jest nieizotropowym wektorem przestrzeni symetrycznej (V ; !) oraz F : V ! V jest izometri ¾
a, to co najmniej jeden z
wektorów v0 + Fv0, v0
Fv0 jest nieizotropowy. Wektory v0 + Fv0,
v0
Fv0 s ¾
a ortogonalne.
Theorem 8
( Twierdzenie Witta o przed÷
u·
zaniu izometrii) Niech (V ; !)
b ¾
edzie skończenie wymiarow ¾
a, nieosobliw ¾
a, symetryczn ¾
a
przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a nad cia÷
em K o charakterystyce 6= 2. Jeśli
U i W s ¾
a podprzestrzeniami przestrzeni V oraz jeśli
F0 : U ! W
jest izometri ¾
a, to istnieje przed÷
u·zenie izometrii F0 do izometrii
F 0 : V ! V przestrzeni (V ; !).
(Dowód indukcyjny ze wzgl ¾
edu na wymiar podprzestrzeni U).
1. Za÷
ó·
zmy, ·
ze dim U = 0. Wówczas izometria idV : V ! V jest przed÷
u·
zeniem F0.
2. Weźmy dwoln ¾
a liczb ¾
e naturaln ¾
a 1
k
dim V
1. Za÷
ó·
zmy,
·
ze teza zachodzi dla wszystkich podprzestrzeni U maj ¾
acych wymiar
mniejszy ni·
z k.
Niech U b ¾
edzie podprzestrzeni ¾
a wektorow ¾
a wymiaru k.
Rozwa·
zymy dwie mo·
zliwości: (I) U jest nieizotropowa, (II) U jest
ca÷
kowice izotropowa.
Przypadek I. Za÷
ó·
zmy, ·
ze U jest nieizotropowa. Niech u b ¾
edzie
wektorem nieizotropowym oraz w = F0(u). Wówczas z lematu 7
wynika, ·
ze wektory u
w ; u + w s ¾
a ortogonalne i przynajmniej
jeden z wektorów u + w , u
w jest nieizotropowy. Za÷
ó·
zmy, ·
ze
u + w jest nieziotropowy. Wówczas
Ru+w (u + w ) =
(u + w );
Ru+w (u
w ) = u
w :
ad, dodaj ¾
ac i mno·
z ¾
ac przez (1 + 1) 1, otrzymujemy
Ru+w (u) =
w . Wówczas (Ru+w
Ru)(u) = w .
Je·
zeli u
w jest nieizotropowy, to Ru w (u
w ) =
(u
w ),
Ru w (u + w ) = u + w , i wówczas
(Ru w
Ru) (u) = w :
Wynika st ¾
ad istnienie takiej izometrii F : V ! V , ·
ze F (u) = w .
De…niujemy
U0 = F [U]
oraz
F 00 = F0 F 1jU0 : U0 ! W :
Wówczas F 0(w ) = F
0
0 (u) = w . Zatem w jest takim wektorem
nieizotropowym, ·
ze F 0(w ) = w . Korzystaj ¾
ac z za÷
o
0
·
zenia
indukcyjnego de…niujemy rozszerzenie F 0 do izometrii na ca÷
ej
0
przestrzeni V :
U1 = (Linfwg)! ;
U01 = U \ U1;
W1 = W \ U1:
Niech F 0 : U0
do U0 . Z za÷
o
1
1 ! W1 b ¾
edzie obci ¾
eciem F 00
1
·
zenia
indukcyjnego wynika istnienie izometrii A1 2 O(U1) rozszerzaj ¾
acej
F 0. Izometria A : V
1
! V zde…niowana w ten sposób, ·
ze
A(w ) = w oraz AjU1 = A1 rozszerza F 0 do izometrii na ca÷ej 0
przestrzeni V . Skoro
F0 = F 00 F jU;
to izometria A
F : V ! V jest rozszerzeniem F0.
Przypadek II. U jest przestrzeni ¾
a ca÷
kowicie izotropow ¾
a
(!jU
U = 0) – co w przypadku cia÷
a charakterystyki ró·
znej od 2
oznacza, ·
ze ka·
zdy jej wektor jest izotropowy. Z twierdzenia o
ortogonalnym dope÷
nieniu przestrzeni ca÷
kowicie izotropowej
(twierdzenia 6) wynika istnienie takich ca÷
kowicie izotropwych
podprzestrzeni S; T
B, ·
ze
U!
S = V = W !
T :
(6)
adów (6) oraz niezdegenerowania funkcjona÷
u ! wynika, ·
ze
odwzorowania
S : S ! U
= L(U; K ); s 7! !(s; );
T : T ! W
= L(W ; K ); t 7! !(t; )
s ¾
a izomor…zmami przestrzeni liniowych.
Niech F 1
: U
0
! W b ¾
edzie odwzorowaniem dualnym do
F 1 : W
0
! U, czyli
(F 1) (u ); w
= u ; F 1(w )
0
W
0
U
dla dowolnych u 2 U ; w 2 W , oraz gdzie dla dowolnej przestrzeni wektorowej E nad cia÷
em K odwzorowanie
h ; i : E
E
E
! K
oznacza dualność dla pary przestrzeni wektorowych E ; E
zde…niowan ¾
a wzorem
he ; ei = e (e);
e
E
2 E ; e 2 E :
: U
S ! W
T
w ten sposób, ·
ze
jU = F0;
jS = (F 1)
0
S :
Na mocy przypadku pierwszego, skoro S zawiera wektor nieizotropowy, to izometria rozszerza si ¾
e do izometrii
F 0 : V ! V , która obci ¾
eta do U jest równa F0.
Podprzestrzeń ca÷
kowicie izotropow ¾
a danej przestrzeni dwuliniowej
V nazywamy podprzestrzeni ¾
a maksymalnie izotropow ¾
a, jeśli nie
jest zawarta w innej ca÷
kowicie izotropowej podprzestrzeni
przestrzeni V .
Wprost z powy·
zszej de…nicji wynika
Lemma 10
Ca÷
kowicie izotropowa podprzestrzeń F danej re‡eksywnej skończenie wymiarowej przestrzeni dwuliniowej (V ; !) jest maksymalnie izotropowa wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ona wszystkie elementy izotropowe przestrzeni F !.
Podprzestrzeń W danej przestrzeni dwuliniowej V nazywamy podprzestrzeni ¾
a antyizotropow ¾
a lub nieizotropow ¾
a jeśli nie
zawiera ona niezerowych wektorów izotropowych.
Corollary 12
Ka·zda podprzestrzeń antyizotropowa przestrzeni dwuliniowej jest przestrzeni ¾
a nieosobliw ¾
a.
Dowód.
Niech F b ¾
edzie antyizotropow ¾
a podprzestrzeni ¾
a przestrzeni
dwuliniowej (V ; !). Je·
zeli x 2 radL F , to (x; x) = 0, sk ¾
ad wynika,
·
ze x = 0, gdy·
z V jest antyizotropowa. Podobnie: je·
zeli
x 2 radR F , to (x; x) = 0, a st ¾
ad x = 0. Skoro
radL F = 0 = radR F , to podprzestrzeń F jest nieosobliwa.
Niech (V ; !) b ¾
edzie skończenie wymiarow ¾
a re‡eksywn ¾
a
przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a. Je·zeli F1 i F2 s ¾
a jej maksymalnie
izotropowymi podprzestrzeniami , to
rad(F1 + F2) = F1 \ F2:
W szczególności: podprzestrzeń dwuliniowa F1 + F2 jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy F1 \ F2 = 0: Dowód: Niech F1 i F2 b ¾
ed ¾
a maksymalnie izotropowymi
podprzestrzeniami V : Wówczas F1
F ! i F
jako
1
2
F !
2
podprzestrzenie ca÷
kowicie izotropowe. Zatem
F1 \ F2
F !
1 \ F2 ;
(7)
F1 \ F2
F1 \ F !
2 :
(8)
Ponadto F1 zawiera wszystkie izotropowe wektory F !
1 ; F2 zawiera
wszystkie izotropowe wektory F !
2 : Zatem równie ·
z
F1
F !
1 \ F2 ;
F2
F1 \ F !
2 :
St ¾
ad i z (7), (8) otrzymujemy, ·
ze
F !
1 \ F2 = F1 \ F2 = F1 \ F !
2 :
(9)
Korzystaj ¾
ac z lematu 5 i (9) otrzymujemy: rad(F1 + F2) = (F1 + F2) \ (F1 + F2)!
= (F1 \ F !
2 ) + (F !
1 \ F2 )
= (F1 \ F2) + (F1 \ F2)
= F1 \ F2:
Nieosobliwość F1 + F2 równowa·
zna jest zerowaniu si ¾
e radyka÷
u
F1 + F2; z ostatniej równości równie·
z temu, ·
ze przestrzeń
wektorowa F1 \ F2 jest zerowa.
ed ¾
a maksymalnie izotropowymi podprzestrzeniami
skończenie wymiarowej, symetrycznej przestrzeni wektorowej (V ; !) oraz
W = (F1 + F2)= (F1 \ F2) :
Niech
: F1 + F2 ! W oznacza kanoniczn ¾
a projekcj ¾
e, tj. dla
a 2 F1 + F2, (a) = [a] 2 W jest klas ¾
a abstrakcji kongruencji
wyznaczonej przez F1 + F2 i jej podprzestrzeń F1 \ F2: De…niujemy wyznaczone przez ! odwzorowanie dwuliniowe e
! : W
W ! K
w ten sposób, ·
ze
e
! ([a] ; [b]) = !(a; b) dla ka·
zdych a; b 2 F1 + F2:
Zauwa·
zmy, ·
ze odwzorowanie e
! jest poprawnie określone, gdy·
z
rad(F1 + F2) = F1 \ F2: Zatem rad(W ) = 0 jest zerow ¾
a
podprzestrzeni ¾
a W , a wi ¾
ec (W ; e
!) jest re‡eksywn ¾
a, nieosobliw ¾
a
przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a.
Je·zeli F1 i F2 s ¾
a maksymalnie izotropowymi podprzestrzeniami
skończenie wymiarowej symetrycznej przestrzeni dwuliniowej (V ; !); to przestrzeń ((F1 + F2)= (F1 \ F2) ; e
!) jest maksymalnie
izotropowa oraz
dim F1 = dim F2:
Dowód: Skoro F1 i F2 s ¾
a ca÷
kowicie izotropowe w (V ; !); to
równie·
z
(F1) i
(F2) s ¾
a ca÷
kowicie izotropowe w (W ; e
!) :
Poka·
zemy, ·
ze
(F1) \ (F2) = 0: Weźmy dowolne
w 2 (F1) \ (F2): Wówczas w = (f1) = (f2) dla pewnych f1 2 F1; f2 2 F2: St ¾
ad f1 = f2 + c dla pewnego c 2 F1 \ F2
F2:
Zatem f1 2 F1 i f1 = f2 + c 2 F2: Skoro f1 2 F1 \ F2; to w =
(f1) = 0 jest zerowym wektorem przestrzeni W : Zatem rzeczywiście
(F1) \ (F2) = 0:
(F1) + (F2); co razem z warunkiem
(F1) \ (F2) = 0 daje równość:
W =
(F1)
(F2):
(10)
Zatem
(F1) i
(F2) s ¾
a maksymalnie izotropowymi
podprzestrzeniami W : Twierdzenie 6 (o ortogonalnym dope÷
nieniu
przestrzeni ca÷
kowicie izotropowej), równość (10) i nieosobliwość W implikuj ¾
a, ·
ze dim (F1) = dim (F2) = 1 dim W : St ¾
ad skoro
2
(F1) = F1= (F1 \ F2) oraz (F2) = F2= (F1 \ F2) ; to dim F1 = dim (F1) + dim (F1 \ F2)
1
=
dim W + dim (F1 \ F2)
2
= dim (F2) + dim (F1 \ F2)
= dim F2:
( Rozk÷
ad Witta) Niech (V ; !) b ¾
edzie nieosobliw ¾
a, symetryczn ¾
a,
skończenie wymiarow ¾
a przestrzeni ¾
a dwuliniow ¾
a oraz V jest
przestrzeni ¾
a wektorow ¾
a nad cia÷
em K charakterystyki ró·znej od 2.
Dla ka·zdej maksymalnie izotropowej podprzestrzeni F
V istniej ¾
a
maksymalnie izotropowa podprzestrzeń F 0 i podprzestrzeń antyizotropowa W , takie ·ze
V = F
F 0
W
oraz W ! = F
F 0. Je·zeli V = F1
F 0
W
1
1 jest innym takim
rozk÷
adem, to istnieje izometria
2 O(V ), taka ·ze
(F ) = F1;
(F 0) = F 01;
(W ) = W1:
edzie maksymalnie izotropow ¾
a podprzestrzeni ¾
a.
Niech F 0 b ¾
edzie tak ¾
a izotropow ¾
a podprzestrzeni ¾
a V , ·
ze
V = F 0
F !:
Istnienie takiej przestrzeni wynika z twierdzenia 6 (o ortogonalnym dope÷
nieniu przestrzeni ca÷
kowicie izotropowej). Z tego samego
twierdzenia wynika, ·
ze F
F 0 jest nieosobliw ¾
a symetryczn ¾
a
podprzestrzeni ¾
a V . St ¾
ad tak ¾
a podprzestrzeni ¾
a jest równie·
z
W = (F
F 0)!. Poniewa·
z F jest maksymalnie izotropowa,
podprzestrzeń W nie mo·
ze zawierać izotropowych wektorów
innych ni·
z 0, a wi ¾
ec W jest antyizotropowa. Zatem F 0 jest
maksymalnie izotropowa.
Weźmy inny rozk÷
ad V = F1
F 0
W
s ¾
a
1
1 , gdzie F1 , F 0
1
maksymalnie izotropowe oraz W1 = (F1
F 0)! jest
1
podprzestrzeni ¾
a antyizotropow ¾
a. Na mocy twierdzenia 14,
dim F1 = dim F 0
s ¾
a izomor…czne jako
1 : Ponadto F i F 0 oraz F1 i F 0
1
podprzestrzenie maksymalnie izotropowe. Niech
: F =
! F1,
=
F 0F : F 0
=
! F , F
: F
! F 0 b ¾
ed ¾
a izomor…zmami
1 F 0
1
1
1
przestrzeni wektorowych. S ¾
a to izometrie.
e
przed÷
u·
zamy do izometrii e : F
F 0 ! F1
F 0 tak,
1
·
ze e F 0 =
F1F 0
F 0F (podobnie jak w dowodzie twierdzenia
1
Witta o przed÷
u·
zaniu izometrii!).
Poniewa·
z F
F 0, F1
F 0 s ¾
a nieosobliwymi, symetrycznymi
1
podprzestrzeniami V , wi ¾
ec na mocy twierdzenia Witta o
przed÷
u·
zaniu izometrii, e rozszerzamy do izometrii
2 O(V ),
która zbiór (F
F 0)! = W przekszta÷
ca na (F1
F 0)! = W
1
1 .