Metoda Maxwella-Mohra

Dotychczas omówione metody w przypadku układów złożonych należą zbyt pracochłonnych, znaczne uproszczenie obliczeń można uzyskać wprowadzając modyfikację metody Castigliano zwaną metodą Maxwella-Mohra. Do jej wyprowadzenia, załóżmy tymczasowo, że energia sprężysta układu pochodzi tylko od momentów gnących.

Rozpatrzmy belkę spoczywającą na dwóch podporach przegubowych i obciążoną siłami F1, F2, …., Fi, …., Fn.

F1

F2

Fi

Fn

A

B

x

RA

i

RB

l

Energia sprężysta belki w przedziale i wynosi: 1

V

M 2 dx

i = ∫

gi

i

2 EI

li

gdzie:

Mgi – moment gnący w przekroju określonym współrzędną xi belki symbol li przy znaku całki oznacza całkowanie na całej długości przedziału xi belki

Rozpatrzmy teraz tę samą belkę obciążoną w punkcie C jednostkową siłą fikcyjną Ffik = 1. Dla tak obciążonej belki można łatwo wyznaczyć wykres momentów gnących. W przekroju określonym współrzędną xi moment gnący oznaczamy jako M’gi. Dla dowolnej wartości siły Ffik moment gnący w przekroju xi belki wyniesie M’giFfik.

Ffik = 1

A

B

C

RA’

xi

RB’

l

M’

g(x)’

M’gi

+

x

Jeżeli teraz do układu zasadniczego wprowadzimy w punkcie C siłę fikcyjną Ffik, to moment gnący, zgodnie z zasadą superpozycji, w przekroju określonym współrzędną xi belki wyniesie Mgi + M’giFfik.

Wartość energii sprężystej w przedziale i określi wówczas zależność:

1

V

M

M F

2 dx

i = ∫

( gi + ′ gi fik ) i

2 EI

i

l

Ffik = 0

F

F

F

3

F

1

2

n

A

B

C

u

RA

R

B

x

i

l

Jeśli uwzględni się, że energia sprężysta w całej belce jest sumą energii dla wszystkich przedziałów, to ugięcie u w przekroju C belki, zgodnie z twierdzeniem Castigliano wynosi:

l

1

u = ∫

( M + M′ F

′

g

g

fik ) M dx

EI

g

0

Ponieważ w rzeczywistości siła fikcyjna Ffik jest równa zeru ( Ffik = 0) to otrzymujemy wyrażenie zwane wzorem Maxwella-Mohra: l M M ′

u

g

g

= ∫

dx

EI

0

Reasumując, zgodnie z metodą Maxwella-Mohra wyznaczenie przemieszczenia u, sprowadza się do obliczenia całki, pod znakiem której

występuje

moment

gnący

spowodowany

rzeczywistym

obciążeniem zewnętrznym Mg, oraz moment gnący jaki wywołałaby jednostkowa

siła

fikcyjna

( Ffik = 1) odpowiadającą temu

przemieszczeniu M ′ g .

Nietrudno udowodnić, że jeśli energia sprężysta układu będzie zależeć od następujących obciążeń zewnętrznych N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz, to przemieszczenie u, będzie określone następującą zależnością: l  NN ′ M M ′

M M ′

M M ′

β T T ′



β

′

gy

gy

gz

gz

y

y

y

T T

u



S

S

z

z

z

= ∫



+

+

+

+

+

dx

 EA

GI

EI

EI

GA

GA 

0 

S

y

Z



gdzie:

N ′ , M ′

M ′

M ′

T ′

T ′

s ,

gy ,

gz ,

y ,

z ,

– odpowiednie składowe sił

wewnętrznych przy obciążeniu fikcyjnym wynoszącym Ffik = 1.

Przykład. Belka o długości 3 l i sztywności EI, podparta przegubowo na obu końcach, obciążona jest siłami skupionymi F i 2 F. Wyznaczyć przemieszczenie u w punkcie ( C) przyłożenia siły 2 F .

x

x

x

F

2 F

A

B

C

R

A

RB

l

l

l

1. Równania równowagi dla układu zasadniczego

∑ F

F

F

R

R

y =

;

0

+ 2 − A − B = 0

∑ M

Fl

F l

R

l

( A

= ;

0

)

+ 2 2 −

3

B

= 0

stąd

4

R =

F

A

3

5

R = F

B

3

2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego

0 ≤ x ≤ l

4

M

=

=

g 1 ( x )

R x

Fx

A

3

Przedział nr 2 dla układu zasadniczego l ≤ x ≤ l

2

1

M

2

=

−

− =

+

g ( x )

R x

F

A

( x l)

Fx

Fl

3

Przedział 3 dla układu zasadniczego

l

2 ≤ x ≤ l

3

5

M

=

−

− − 2

− 2 = −

+ 5

g 3 ( x )

R x

F

A

( x l) F( x l)

Fx

Fl

3

3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1

∑ F

F

R

R

y =

;

0

fik −

′ A − ′ B = 0

∑ M

F

l

R

l

( A) =

;

0

2

fik

−

3

'

B

= 0

x

x

Ffik = 1

A

B

C

R’

A

R’B

l

l

l

stąd

1

R′ A = 3

2

R′

B = 3

4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1

Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną

0 ≤ x ≤ l

2

1

M ′

= ′

= ′ =

g 1 ( x )

M g 2 ( x) R x

x

A

3

Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną

l

2 ≤ x ≤ l

3

2

M ′

= ′ −

− 2 = −

+ 2

g 3 ( x )

R x

F

A

fik ( x

l )

x

l

3

5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra przemieszczenie uC w punkcie C

wynosi:

 l

2 l

3 l

1 

uC =

 ∫ M g 1( x) M ′ g 1( x) dx + ∫ M g 2( x) M ′ g 2( x) dx + ∫ M g 3( x) M ′ g 3( x)



dx 

EI 

0

l

2 l



czyli

 l

2 l

1

4

1

1

10

20

2



2



3 l 

2

2 



u

Fx

Fx

Flx dx

Fx

Flx

10 Fl

dx

C =

 ∫

+ ∫

+



+ ∫

−

+





EI  9

 9

3



 9

3



0

l

2 l



po scałkowaniu i wstawieniu granic całkowania:

1  4

8

4

1

1

3



3

3

3

3 

uC =



Fl + 

Fl +

Fl −

Fl − Fl  +

EI  24

 27

6

27

6



 270

180

80

80

3

3

3

3

3

3  

+ 

Fl −

Fl + 30 Fl −

Fl +

Fl − 20 Fl  

 27

6

27

6



stąd

23 Fl 3

u =

C

18 EI

Przykład. Rama ABC o sztywności EI jest podparta na podporach przegubowych w punktach A i C oraz obciążona równomiernie na odległości 2 r obciążeniem q. Wyznaczyć metodą Maxwella-Mohra kąt obrotu u przekroju C pręta ramy.

x

q

B

RC

C

2r

r α

R

A

Ay

R

Ax

1. Równania równowagi dla układu zasadniczego

∑ F

R

x =

;

0

Ax = 0

∑ F

qr

R

R

y =

;

0

2

− Ay − C = 0

∑ M

qr r

R

r

( A

= ;

0

)

(2 ) − 2

C

= 0

stąd

R

= 0

Ax

R

= qr

Ay

R = qr

C

2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego

0 ≤ x ≤ 2 r

1

M

=

−

= −

2

1

+

g ( x )

R x

C

( ) x

qx

qx

qrx

2

2

Przedział nr 2 dla układu zasadniczego 0 ≤ α ≤ π

M

= − R r

= − qr

g 2 (α )

sin

Ay

(α)

2 sin(α )

3. Równania równowagi dla układu z momentem fikcyjnym Mfik = 1

∑ F

R

x =

;

0

'

Ax = 0

∑ F

R

R

y =

;

0

Ay −

'

'

C = 0

∑ M

M

R

r

( A

= ;

0

)

fik −

2

'

C

= 0

stąd

R '= 0

Ax

1

R '=

Ay

2 r

1

R '=

C

2 r

x

RC’

B

C

Mfik = 1

2r

r α

A

RAx’

RAy’

4. Równania momentów gnących dla układu z momentem fikcyjnym Mfik = 1

Przedział nr 1 dla układu z momentem fikcyjnym

0 ≤ x ≤ 2 r

M ′ x

g

= R′ x

C

− M fik =

x −

1 (

)

1

1

2 r

Przedział nr 2 dla układu z momentem fikcyjnym

0 ≤ α ≤ π

M ′ g

= R′ r

Ay

=

2 (α )

(α ) 1

sin

sin(α )

2

5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra kąt obrotu uC w punkcie C

wynosi:

 2 r

π

1 

uC =

 ∫ M g 1( x) M ′ g 1( x) dx + ∫ M g 2 (α ) M ′ g 2 (α )



dα 

EI 

0

0



czyli

 2 r

π

1



1

1

2

3 



u

qx

qrx

qx

dx

qr 3

2

sin α dα

C =

∫

−

−



+ ∫−

( ) 







EI  

4 r



 2



0

0



stąd

3

qr  1

π 

u

C = −

 + 

EI  3

4 

Znak minus oznacza, że przekrój C obróci się w kierunku przeciwnym w stosunku do przyjętego zwrotu jednostkowego momentu fikcyjnego.

Uproszczona metoda obliczania całek we wzorze Maxwella-Mohra Można udowodnić, że całki występujące we wzorze Maxwella-Mohra dla typowych przypadków obciążeń łatwo obliczać przez zastąpienie ich iloczynem dwóch prostych czynników. I tak w przypadku zginania jest to iloczyn Ω pola wykresu momentów gnących Mg od obciążenia zasadniczego oraz rzędnej M’gc wykresu momentów gnących M’g od obciążenia fikcyjnego, odpowiadającej współrzędnej xc środka ciężkości C pola Ω, czyli:

l∫ M M′ dx = Ω M′

g

g

gc

0

Wykres momentów gnących Mg

Mg

C

Ω - pole

x

wykresu Mg

xc

Mgc’ = axc + b

Mg’

prosta y = ax + b

Wykres Mg’ dla uogólnionej siły jednostkowej Wzór ten podany przez Wereszczagina znacznie upraszcza obliczenia wówczas gdy korzysta się z gotowych wzorów podanych w tabeli.

Lp.

Mg

b

Mg’

l

a

l

a

l

a

a

l

Lp.

1

2

3

4

5

1

1

1

1

adl

adl

adl

( a + b) dl

l

d

2

2

2

1

1

1

1

2

adl

adl

adl

(2 a + b) dl

l

d

2

3

6

6

1

1

1

1

3

adl

adl

adl

( a + b

2 ) dl

l

d

2

6

3

6

e

1

1

1

4

a( d + e) l

a(2 d + e) l

a( d + 2 e) l 1 l[ a(2 d + e)+ b( d + e)]

d

l

2

6

6

6

d

1

1

1

5

adl

adl

adl

( a + b) dl

l/2 l/2

4

4

4

Lp.

Mg

b

c

a

a

Mg’

a

l

l

a

l

l

Lp.

1

6

7

8

9

1

2

1

2

1

adl

adl

adl

adl

l

d

2

3

3

3

1

1

1

1

2

ad ( l + c)

adl

adl

adl

l

d

6

3

4

4

1

1

1

5

3

ad ( l + b)

adl

adl

adl

l

d

6

3

12

12

e

1

1

1

1

4

a[ d ( l + c)+ e( l + b)]

6

a( d + e)

al( d

3 + e)

al( d

3 + e

5 )

d

l

l

3

3

3

d

1 adl l

b

2 2

1

1

1

5

−

adl

adl

adl

l/2 l/2

2 c 2

l

3

2

6

2

Przykład. Belka o długości 3 l i sztywności EI, podparta przegubowo na obu końcach, obciążona jest siłami skupionymi F i 2 F. Wyznaczyć przemieszczenie u w punkcie ( C) przyłożenia siły 2 F .

x

x

x

F

2 F

A

B

C

R

A

RB

l

l

l

1. Równania równowagi dla układu zasadniczego

∑ F

F

F

R

R

y =

;

0

+ 2 − A − B = 0

∑ M

Fl

F l

R

l

( A

= ;

0

)

+ 2 2 −

3

B

= 0

stąd

4

R =

F

A

3

5

R = F

B

3

2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego Przedział nr 1 dla układu zasadniczego

0 ≤ x ≤ l

4

M

=

=

g 1 ( x )

R x

Fx

A

3

Przedział nr 2 dla układu zasadniczego

l ≤ x ≤ l

2

1

M

2

=

−

− =

+

g ( x )

R x

F

A

( x l)

Fx

Fl

3

Przedział 3 dla układu zasadniczego

l

2 ≤ x ≤ l

3

5

M

=

−

− − 2

− 2 = −

+ 5

g 3 ( x )

R x

F

A

( x l) F( x l)

Fx

Fl

3

x

x

x

F

2 F

A

B

C

RA

RB

l

l

l

5

Mg(x)

Fl

3

4

Fl

3

+

x

3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1

∑ F

F

R

R

y =

;

0

fik −

A −

'

'

B = 0

∑ M

F

l

R

l

( A) =

;

0

2

fik

−

3

'

B

= 0

x

x

Ffik = 1

A

B

C

R

A’

RB’

l

l

l

stąd

1

R '

A = 3

2

R '

B = 3

4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1

Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną

0 ≤ x ≤ l

2

1

M '

=

'

=

' =

g 1 ( x )

M g 2 ( x) R x

x

A

3

Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną

l

2 ≤ x ≤ l

3

2

M

'

=

' −

− 2 = −

+ 2

g 3 ( x )

R x

F

A

fik ( x

l )

x

l

3

x

x

Ffik = 1

A

B

C

RA’

RB’

l

l

l

2

Mg(x)’ l

3

1

l

+

3

x

5. Wyznaczenie przemieszczenia uC

Na podstawie wykresów momentów gnących dla układu zasadniczego i układu z siłą fikcyjną przy pomocy tabeli można określić ugięcie w punkcie C:

Przedział nr 1 zgodnie z pozycją 3 i kolumną 4 z tabeli: 1

1 4

1

4

3

C = adl = ⋅ Fl ⋅ l ⋅ l =

Fl

1

3

3 3

3

27

Przedział nr 2 zgodnie z pozycją 4 i kolumną 5 z tabeli: 1

1

4

1

2

5

1

2

C 2 = l[ a(2 d + e) + b( d + 2 e)]











= l Fl 2 l + l  + Fl l + 2 l  =





6

6 3

 3

3 

3

 3

3 

41

3

=

Fl

54

Przedział nr 3 zgodnie z pozycją 2 i kolumną 3 z tabeli: 1

1 5

2

10

3

C = adl = ⋅ Fl ⋅ l ⋅ l =

Fl

3

3

3 3

3

27

stąd

1

3  4

41

10 

69

3

23

3

u =

+

+

=



+

+

 =

=

C

( C C C

1

2

3 )

Fl

Fl

Fl

EI

EI  27

54

27 

54 EI

18 EI