Wykład 05 Kinematyka.

Nauka o ruchu, bez pytania o przyczyny

Tor – Miejsce geometryczne punktów, w których znajdował się punkt materialny w trakcie ruchu.

Trajektoria – Tor i informacja gdzie znajdował się

punkt w kolejnych chwilach.

r

r

r

r

r ( t ) = i x( t ) + j y( t ) + k z( t ) z

t4

t3

t2

t1

y

x

Prędkość jest styczna do trajektorii.

r

r

3

d r

r d x ( t)

V =

= ∑

n

n

i

d t

n =1

d t

Układ współrzędnych związany z „nieruchomym”

układem odniesienia i „nieruchomy”!

1

z

t

r

4

V

t3

t2

t1

y

x

Każdy wektor można przedstawić jako jego wersor pomnożony przez jego wielkość

r

r

r

r

V

V = V τ ;

τ = r .

V

Przyspieszenie

r

r

d V

r

r

d V

r d V

r

y

d V

a =

;

a = i

x + j

+ k

z

d t

d t

d t

d t

Wektor można rozłożyć na część styczną i normalną do r

innego wektora. Ten inny - wybieramy τ .

r

r

r

r

r

a = a τ + a

τ

;

a ⊥ τ

n

n

r r

Jak policzyć τ

a ?

a = ( a,τ )

τ

r

Sprawa obliczenia a .

n

2

r

r

r

r

d V

d ( V τ )

r d V

d τ

Przyspieszenie a =

=

= τ

+ V

;

d t

d t

d t

d t

r

r

d τ

r

r

r

d τ

Wektor

. τ •τ = 1.

Różniczkujemy τ •

= 0

d t

d t

Czyli dokonaliśmy podziału przyspieszenia na część równoległa do prędkości i część prostopadłą do niej.

Na ćwiczeniach – przykład „ruch po elipsie”. Droga.

Ruch a unoszenie

Płaski ruch z unoszeniem

W chwili t.

α ( t )

y

R(t)

y’

x

r’(t)

x’

r

r

r

r ( t) = R( t) + r '( t ) 3

W chwili t + dt położenie będzie różne o r

r

r

r

r

r

d ( t ) = dR( t ) + d α ( t )× r '( t ) + r d '( t )

Translacja o dR

y

R(t)

α ( t )

dR

y’

x

r’(t)

x’

Obrót o α

d

y

R(t)

α ( t )+ dα ( t )

y’

dR

x

r’(t)

x’

4

Ruch w układzie unoszonym

y

R(t)

α ( t )+ dα ( t )

y’

dR

dr’

x

r’(t)

x’

r

r

d r ( t )

Prędkość to V =

d t

r

r

d R( t)

Prędkość translacji to V

=

tr

d t

r

r

d α ( t )

Prędkość obrotu to ω =

d t

r

r

d r '( t )

Prędkość ruchu w układzie unoszonym to V ' =

d t

r

r

r

r

r

V = V

+ ω × r ' + V '

tr

Prędkość unoszenia nie zależy od wyboru punktu 0!

r

r

r

r

V

= V + ω × r '

unoszenia

tr

Prędkość obrotu nie zależy od wyboru punktu 0, też!

5

r

r

Nazwy: ruch postępowy, bez obracania się ω = 0

r

r

Ruch obrotowy, bez translacji V

= 0

tr

Wzór jest równie ważny w ruchu nie płaskim.

Obliczenia są bardzo trudne, co ukrył zapis absolutny.

Przyspieszenie w ruchu z unoszeniem

Nie wyprowadzam wzoru, lecz interpretuję.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

a = a

+ ω ×(ω × r ') + γ × r ' + 2ω × V ' + a'

tr

r

r

d V

Przyspieszenie translacji a

tr

=

tr

d t

r

r

d ω

Przyspieszenie kątowe

γ =

d t

r

r

Przyspieszenie Coriolisa 2ω × V '

Przyspieszenie wynikające z ruchu wewnątrz układu r

r

d V '

unoszonego a' =

d t

6

r

r

r

Przyspieszenie dośrodkowe

ω ×(ω × r ')

Przedstawiamy promień wodzący w układzie r

unoszonym jako sumę wektora równoległego do ω oraz r

r

r

r

prostopadłego do ω .

,

r ' = r + r '

⊥

||.

Wniosek, przyspieszenie dośrodkowe zależy tylko od r

części wektora r '⊥ .

r

ω

r

r '

r

r '||

r

r '⊥

r

r

r

Obliczamy tylko ω × (ω × r ' )

⊥

7

r

ω

.

r

r

r

ω × (ω × r ' )

r

⊥

r '

r

r

ω × r '⊥

r

.

r '||

r

r '⊥

r

Kierunek jak r '

2

ω

⊥ . Zwrot, przeciwny. Wartość

r'⊥

r

r

Przyspieszenie Coriolisa 2ω × V '

Działa tylko na punkty materialne poruszające się r

względem układu unoszenia nie równolegle do ω .

8