"!#

&')(*%*,+

%$

Na rozwiazanie wszystkich zada´

n jest 90 minut

-

Rozwiazania r´

ożnych zada´

n maja znaleźć sie na r´

ożnych kartkach.

-

-

-

Każda kartka musi być podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-szacego, jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadzacej ćwiczenia i nr. grupy ćwiczeniowej.

-

-

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urzadze´

n

-

elektronicznych; je´

sli kto´

s ma, musza by´

c schowane i wy laczone!

-

-

Nie wolno korzysta´

c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia należy uzasadniać. Wolno i NALE ŻY powo lywać sie na twierdzenia,

-

które zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ćwiczeniach.

1. Rozwiazać równanie:

1 log( x + 11) + log( 5 x− 10) = 1 .

-

2

6

2. Zdefiniować log c nie zapominajac o za lożeniach o c i d .

Niech a = log

d

-

1000 2 ,

b = log10 14 . Wyrazić za pomoca a i b : log

log 3 .

-

10 5 i log10 35 . Wykazać, że log 2 < 12

19

3. Rozwiazać równanie:

2 log

) = − 1 . Zilustrować rozwiazanie tego równania na

-

3 sin( ϕ − π

4

-

okregu x 2 + y 2 = 1 .

-

4. Podać definicje kosinusa dowolnego kata dodatniego. Rozwiazać nierówność: cos t ≥ − 1 .

-

-

-

2

Zilustrować rozwiazanie tej nierówności na okregu x 2 + y 2 = 1 .

-

-

5. Rozwiazać równanie: sin 2 ψ = cos 2 ψ . Zilustrować rozwiazanie tego równania na okregu

-

-

-

x 2 + y 2 = 1 .

6. Znaleźć nastepujace granice:

-

-

lim 15+7 n− 1410 n 2 ,

lim 966 n− 1025 n 2 ,

lim 0 , 99 + 1 n .

n 13

n

n

4 n 2

→∞

− 11 n+2005

n→∞

− 3 n+3

n→∞

W każdym z trzech przypadków odpowiedzieć na pytanie: czy setny wyraz badanego ciagu

-

jest wiekszy, równy czy mniejszy niż 1? a wyraz dwusetny?

-

7. Znaleźć kosinus kata nierozwartego utworzonego przez proste o równaniach 7 x + y = 16

-

i 4 x − 3 y = 2 . Narysować te proste w uk ladzie wspó lrzednych kartezjańskich. Niech

-

A = (2 , 2) , B = (8 , 3) i D = (6 , − 1) . Znaleźć taki punkt C , by czworokat ABCD

-

by l równoleg lobokiem. Znaleźć pole równoleg loboku ABCD i jego środek symetrii.

8. Znaleźć kosinus kata nierozwartego, który tworza p laszczyzny o równaniach y + z = 0 i

-

-

2 x + 2 y + z = 0 . Znaleźć iloczyn wektorowy wektorów ~v = [0 , 1 , 1] i ~

w = [2 , 2 , 1] oraz kat

-

jaki tworzy wektor ~v × ~

w z prosta wspólna obu p laszczyzn. Niech ~u = [1 , − 1 , 1] . Obliczyć

-

-

~

u · ( ~

v × ~

w) .

inf. Informacje przer´

ożne (przydatne albo i nie):

√

sin 5 π = 1 ;

sin 5 π = − 2 ;

1 + x ≤ ex dla x ∈

;

sin x < x < tg x , gdy π > x > 0 .

6

2

4

2

.

2

27 = 128 , 29 = 1024 , 212 = 4096 , 220 = 1048576 , 34 = 81 , 38 = 6561 , 313 = 1594323 .