id4138921 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com 2. Twierdzenie Kroneckera- Capellego
Rozwa¿my ukùad równañ liniowych, gdzie liczba równañ nie musi byã równa liczbie niewiadomych
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 x b n
n
1
a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 x b n
n
2
a 1 x 1 a 2 x 2 a
x b
m
m
mn
n
m
Przypomnijmy, ¿e macierz ukùadu to macierz utworzona ze wspóùczynników a przy ij
niewiadomych x , tzn.
k
a 11
a 12
a 1 n
a 21
a 22
a
macierz uk
2 n
ùadu A
a
ij
a 1
a 2
a
m
m
mn
macierz
Macierz¹ rozszerzon¹ ukùadu równañ nazywamy macierz utworzon¹ z macierzy rozszerzona ukùadu
ukùadu przez doù¹czenie kolumny wyrazów wolnych, tzn.
a 11
a 12
a 1
b
n
1
a 21
a 22
a 2
b
macierz rozszerzona
n
2
C
a 1
a 2
a
b
m
m
mn
m
twierdzenie
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Kroneckera-
Capellego
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 x b n
n
1
a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 x b Uk
n
n
2
ùad równañ liniowych
ma rozwi¹zanie wtedy i tylko
a 1 x 1 a 2 x 2 a
x b
m
m
mn
n
m
wtedy, gdy rz¹d macierzy ukùadu jest równy rzêdowi macierzy rozszerzonej tzn.
R( A) = R( C), przy czym:
je¿eli R( A) = R( C) = n ( n – liczba niewiadomych), to ukùad ma dokùadnie jedno rozwi
¹zanie (jest to ukùad oznaczony),
je¿eli R( A) = R( C) = r < n to ukùad ma nieskoñczenie wiele rozwi¹zañ zale¿nych od ( n – r) parametrów (jest to ukùad nieoznaczony).
…........................................................................................
PRZYK£AD
2 x y z 2
Znale
êã (je¿eli istnieje) rozwi¹zanie ukùadu równañ
x y 3 z 1 .
3 x 3 y 5 z
0
Rozwi¹zanie
Macierz ukùadu i macierz rozszerzona ukùadu maj¹ postaã:
2
1
1
2
1
1
2
A 1
1 3
C 1
1 3 1
3
3
5
3
3
5
0
Rozwi¹zanie ukùadu istnieje tylko wtedy gdy powy¿sze macierze maj¹ równe rzêdy.
Poniewa¿ macierz A jest macierz¹ kwadratow¹ obliczamy jej wyznacznik det A 10 9 3 3 18 5 0
Zatem R A 2 .
Przechodzimy do obliczania wyznacznik
ów z macierzy stopnia drugiego
2
1
2 1 3 0 , co oznacza, ¿e R ( A ) 2
1
1
W celu wyznaczenia rzêdu macierzy C obliczamy wyznacznik macierzy stopnia trzeciego, który wystêpuje w tej macierzy, ale nie jest równy wyznacznikowi macierzy A.
1
1
2
1 3 1 10 18 5 0 , zatem R ( C ) 3 .
3
5
0
Poniewa¿
R A R C
to na mocy twierdzenia Kroneckera-Capellego
stwierdzamy, ¿e ukùad równañ nie ma rozwi¹zañ (jest ukùadem sprzecznym).
...........................................................................................
PRZYK£AD
2 x y 3
Znale
êã (je¿eli istnieje) rozwi¹zanie ukùadu równañ
x 2 y 1.
3 x y
2
Rozwi
¹zanie
Macierz ukùadu i macierz rozszerzona ukùadu maj¹ postaã:
2
1
2
1
3
A 1
2
C 1
2
1
3
1
3
1
2
Obliczamy rzêdy macierzy A i C
2
1 4 1 5 R A 2
1
2
2
1
3
1
2
1 8 3 3 18 2 2 0
R C 2 .
3
1
2
Poniewa¿ R( A)=R( C)= 2, a liczba niewiadomych n=2 to na mocy twierdzenia Kroneckera-Capellego stwierdzamy,
¿e ukùad ten ma dokùadnie jedno rozwi¹zanie
(jest to ukùad jednoznaczny).
W celu znalezienia rozwi
¹zania ukùadu przeksztaùcamy go do postaci równowa¿nej,
bêd¹cej zarazem ukùadem Cramera (ostatnie równanie w wyjœciowym ukùadzie jako zale
¿ne od pozostaùych - pomijamy).
2 x y 3
Zatem rozwi¹zujemy nastêpuj¹cy ukùad
.
x
2 y
1
Obliczamy wyznacznik macierzy ukùadu i wyznaczniki pomocnicze
3
1
2
3
A 5 A
6 1 5
A
2
3 5
x
1
2
y
1
1
Niewiadome
x i y wyznaczamy ze wzorów Cramera
A
5
A
y
5
x
x
1
y
1
A
5
A
5
x 1
Rozwi¹zaniem ukùadu jest para liczb
.
y
1
...........................................................................................
PRZYK£AD
x 2 y z 1
Znale
êã (je¿eli istnieje) rozwi¹zanie ukùadu równañ
2 x y 2 z 3 .
3 x
y
z
4
Rozwi
¹zanie
Macierz ukùadu i macierz rozszerzona ukùadu maj¹ postaã:
1
2
1
1
2
1
1
A 2
1
2
C 2
1
2
3
3
1
1
3
1
1 4
Poniewa¿ w obu macierzach III wiersz jest równy sumie I i II wiersza to wszystkie wyznaczniki macierzy stopnia trzeciego s
¹ równe zero. Oznacza to, ¿e rzêdy
macierzy A i C mog¹ byã co najwy¿ej równe 2.
Obliczamy zatem wyznaczniki macierzy stopnia drugiego.
1
2
5 0
2
1
to R ( A ) R ( C ) 2 .
Liczba niewiadomych uk
ùadu wynosi 3, zatem na mocy twierdzenia Kroneckera-
Capellego stwierdzamy, ¿e ukùad równañ ma nieskoñczenie wiele rozwi¹zañ zale
¿nych od 1 parametru (jest to ukùad nieoznaczony).
Przeksztaùcamy ukùad równañ w równowa¿n¹ postaã, tak by nowo powstaùy ukùad by
ù ukùadem Cramerowskim, przy czym jedn¹ ze zmiennych np. z przyjmujemy jako parametr.
Zatem korzystaj
x 2 y 1 z
¹c ze wzorów Cramera rozwi¹zujemy ukùad
.
2
3
2
x y
z
Obliczmy wyznaczniki
1
2
A
5 0
2
1
1
z
2
1
1 z
A
1 z 6 4 z 3 z 7
A
3 2 z 2 2 z 4 z 1
x
3
2 z
1
y
2
3 2 z
i niewiadome
A
3 z 7
3
7
Ay
x
4 z 1
4
1
x
z
y
z
A
5
5
5
A
5
5
5
3
7
x
z
Rozwi
5
5
¹zaniem ukùadu s¹ liczby postaci
.
4
1
z R
y
z
5
5
...........................................................................................
rozwi¹zania
zale¿ne od
PRZYK£AD
parametru
3 x 2 y z b
Dla jakich warto
œci parametrów a i b ukùad równañ 5 x 8 y 9 z 3 jest
2 x y az
1
oznaczony, dla jakich sprzeczny, a dla jakich nieoznaczony?
Rozwi¹zanie
Macierz ukùadu i macierz rozszerzona ukùadu maj¹ postaã:
3
2
1
3
2
1
b
A 5
8
9
C 5
8
9
3
2
1
a
2
1 a
1
Obliczamy wyznacznik macierzy ukùadu
det A 14 a 42
Wartoœã wyznacznika zale¿y od wartoœci liczby a.
det A 0
14 a 42 0
a 3 .
Rozwa
¿amy przypadki:.
0
1
Gdy a 3
w
ówczas det A 0 , co oznacza, ¿e R A R C 3 n n liczba niewiadomych.
Zatem ukùad jest ukùadem oznaczonym dla dowolnej wartoœci parametru b.
0
2
Gdy a 3 .
Wtedy det A 0 . Obliczamy wyznacznik macierzy stopnia drugiego.
3
2
2
4 10 14 0 , czyli R A 2 .
5
8
W celu wyznaczenia rzêdu macierzy rozszerzonej obliczamy wyznacznik macierzy stopnia trzeciego wybrany z macierzy C uprzednio podstawiaj¹c wartoœã parametru a.
2
1
b
2
1
b
:
a 3
8
9
3
8
9
3 15 b 5
1
a
1
1
3
1
Wartoœã wyznacznika zale¿y od wartoœci parametru b, mianowicie 1
15 b 5 0
b
R C 3
3
0
2a
Gdy a = -3 i b 1/3
Wtedy R
A 2 R ( A) R ( C ) zatem rozwa
¿any ukùad jest
R ( C ) 3
uk
ùadem sprzecznym.
0
2b
Gdy a = -3 i b =1/3
R
A 2
R ( A ) R ( C ) 2
r
R ( C ) 2
Wtedy
n 3
co oznacza, ¿e rozwa¿any
n r 3 2 1
ukùad jest ukùadem nieoznaczonym z rozwi¹zaniem zale¿nym od
jednego parametru.
Podsumowuj¹c:
0
1 je¿eli a -3 to ukùad jest oznaczony
0
2 je¿eli a=-3 i b 1/3 to ukùad jest sprzeczny
0
3 je¿eli a=-3 i b= 1/3 to ukùad jest nieoznaczony (1parametr).
...........................................................................................
rozwi¹zania
ax y 1
zale¿ne od
Zbada
parametru
ã rozwi¹zalnoœã ukùadu równañ 3 x y 1 w zale¿noœci od parametru a.
x y a
Rozwi¹zanie
Macierz ukùadu i macierz rozszerzona ukùadu maj¹ postaã:
a
1
a
1 1
A 3
1
C 3
1 1
1
1
1
1 a
3
1
Poniewa¿
to R ( A ) 2 bez wzglêdu na wartoœã parametru a.
1
1
Obliczamy wyznacznik macierzy rozszerzonej
2
C a 1 3 1 a 3
2
a a 4 a 5
Obliczamy dla jakich wartoœci parametru a wyznacznik ten przyjmuje wartoœã zero 2
a 4 a 5 0
16 20 36
6
4
6
4 6
a
1
a
5
1
2
2
2
Przeprowadzamy dyskusjê rozwi¹zañ:
0
1 je¿eli a 1
a 5
0
3
w
C
R C
ówczas
R ( A ) R ( C ) uk
ùad jest sprzeczny,
R ( A ) 2
0
2 je¿eli a 1
a 5
C 0
R ( C ) 3 R ( A ) R ( C ) 2
wówczas
uk
ùad jest oznaczony
n 2
Podsumowuj¹c:
0
1 je¿eli a 1
a 5
to ukùad jest sprzeczny
0
2 je¿eli a 1
a 5 to ukùad jest oznaczony.
...........................................................................................
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 x b n
n
1
a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 x b Uk
n
n
2
ùad równañ
nazywamy ukùadem jednorodnym, je¿eli ukùad
jednorodny
a 1 x 1 a 2 x 2 a
x b
m
m
mn
n
m
b 0 .
j
Ukùad jednorodny nigdy nie jest ukùadem sprzecznym, bo doù¹czenie do macierzy ukùadu kolumny o elementach zerowych nie zmienia jej rzêdu.
Ukùad jednorodny, je¿eli jest ukùadem Cramera , tzn. R( A) = R( C) = n , to jedynym rozwi¹zania uk
jego rozwi
ùadu
¹zaniem jest rozwi¹zanie zerowe. Je¿eli jednak R( A) < n to ukùad jednorodnego jednorodny posiada r
ównie¿ rozwi¹zanie niezerowe, które jest zale¿ne od
( n – r) parametrów.
...........................................................................................
PRZYK£AD
ax y z 0
Dla jakiej warto
œci parametru a ukùad równañ x ay z 0 ma rozwi¹zanie
2 x y z 0
niezerowe ?
Rozwi¹zanie
ax y z 0
Uk
ùad równañ x ay z 0 jest ukùadem jednorodnym (elementy kolumny wyrazów
2 x y z 0
a
1
1
wolnych s
¹ zerami). Zatem rz¹d macierzy ukùadu A 1
a
1 i macierzy
2
1
1
rozszerzonej s¹ równe.
Obliczamy wyznacznik macierzy ukùadu
a
1
1
2
2
A 1
a
1 a 2 1 2 a a 1 a a 3
2
1
1
Aby ukùad jednorodny miaù niezerowe rozwi¹zanie, nie mo¿e byã ukùadem Cramerowski, zatem musimy mieã det A = 0.
2
a 3 a 0
a( a )
3 0
a 0
lub
a 3
Czyli dla dwóch wartoœci parametru a ( a 3 lub a 0 ) ukùad ma rozwi¹zanie niezerowe.
Je¿eli zachodzi potrzeba obliczenia takiego rozwi¹zania postêpujemy w nastêpuj¹cy sposób. Przyjmujemy za parametr a jedn¹ z dwóch wyznaczonych wartoœci, np. a = -3.
3 x y z 0
x 3 y z 0
2 x
y
z
0
Poniewa¿ jest to ukùad nieoznaczony, to obliczmy wyznacznik macierzy stopnia drugiego, który jako ró¿ny od zera decyduje o rzêdzie macierzy.
3 x y z 0
1 3
x 3 y z 0 B
1
6 5
2
1
2 x
y
z
0
Przeksztaùcamy ukùad wykreœlaj¹c pierwsze równanie jako zale¿ne od pozostaùych.
Jednoczeœnie przyjmujemy, ¿e zmienna z staje siê parametrem
x 3 y z
x 3 y z
2
2
x y z
x y z
Obliczamy wyznaczniki
z
3
1
z
B
z 3 z 2 z ,
B
z 2 z z
x
z
y
1
2
z
i niewiadome
B
2
B
z
y
x
z
x
,
y
B
5
B
5
2
x
z
5
1
Rozwi¹zaniem ukùadu s¹ liczby postaci y z .
5
z R
Jeœli w miejsce parametru z podstawimy ró¿ne wartoœci, otrzymamy inne postaci rozwi¹zania ukùadu, np.
2
1
Dla z 1 rozwi¹zanie: x
y
z 1 .
5
5
Dla z 5 rozwi¹zanie: x 2
y 1
z 5 .
Sprawdzenie poprawnoœci obliczeñ :
6
1
z
z z 0
5
5
2
3
z
z z 0
5
5
4
1
z
z z 0
5
5
...........................................................................................