METODY OBLICZENIOWE DLA INŻYNIERÓW
Analiza matematyczna I: obliczanie granic i pochodnych OBLICZANIE GRANIC
limit ( wyraż enie, punkt, kierunek) punkt – równanie określające punkt, w którym obliczana jest granica np. x = x 0. Zamiast skończonych wartości x 0 można padać nazwę infinity (nieskończoność).
kierunek – dodatkowy parametr umożliwiający liczyć granice jednostronne. Przyjmuje wartości right lub left.
OBLICZANIE POCHODNYCH
diff ( wyraż enie, symbol) symbol – określa zmienną ze względu na którą liczona jest pochodna. Dla pochodnych wyższych rzędów drugim parametrem komendy jest sekwencja odpowiednich symboli.
D [ n]( funkcja) n – numer argumentu funkcji, ze względu na który liczona jest pochodna lub, dla pochodnych wyższych rzędów, sekwencja odpowiednich liczb całkowitych.
funkcja – nazwa funkcji lub procedury zdefiniowanej przez użytkownika zawierającej różniczkowane wyrażenie, albo nazwa wbudowanej funkcji matematycznej Maple’a.
1. Obliczyć następujące granice: a)
tg( x)
tg( x)
tg( x)
lim 2
, lim 2
, lim 2
Odp: nieokreślona, ∞, 0
π
−
+
π
π
x→
x→
x→
2
2
2
cos( t) − sin( t) 2
b) lim
Odp.
π
t →
cos(2 t)
2
4
n
1
c) lim 1+
Odp. e
n→∞
n
2. Za pomocą komendy diff i operatora D obliczyć następujące pochodne: 10 cos(2 x)
a) f (
′ x),
f ( x) = 5 arctg (sin(2 x)) Odp.
2
1+ sin (2 x)
b)
2
f ′ (
′ x),
f ( x) = x ln( x) w punkcie x = 0.5
Odp. 1.6137
3
2
∂ f ( x, y) x
3
c)
,
f ( x, y) =
+ e x y w punkcie x = 1, y = 2
− Odp.
2
2
x
∂
y
∂
y
4
3. Wyznaczyć ekstrema funkcji 2
( ) =
+ 3 − e x
f x
x
x
. Określić ich charakter (minimum, maksimum).