METODY OBLICZENIOWE DLA INŻYNIERÓW

Analiza matematyczna I: obliczanie granic i pochodnych OBLICZANIE GRANIC

limit ( wyraż enie, punkt, kierunek) punkt – równanie określające punkt, w którym obliczana jest granica np. x = x 0. Zamiast skończonych wartości x 0 można padać nazwę infinity (nieskończoność).

kierunek – dodatkowy parametr umożliwiający liczyć granice jednostronne. Przyjmuje wartości right lub left.

OBLICZANIE POCHODNYCH

diff ( wyraż enie, symbol) symbol – określa zmienną ze względu na którą liczona jest pochodna. Dla pochodnych wyższych rzędów drugim parametrem komendy jest sekwencja odpowiednich symboli.

D [ n]( funkcja) n – numer argumentu funkcji, ze względu na który liczona jest pochodna lub, dla pochodnych wyższych rzędów, sekwencja odpowiednich liczb całkowitych.

funkcja – nazwa funkcji lub procedury zdefiniowanej przez użytkownika zawierającej różniczkowane wyrażenie, albo nazwa wbudowanej funkcji matematycznej Maple’a.

Zadania

1. Obliczyć następujące granice: a)

tg( x)

tg( x)

tg( x)

lim 2

, lim 2

, lim 2

Odp: nieokreślona, ∞, 0

π

−

+

π

π

x→

x→

x→

2

2

2

cos( t) − sin( t) 2

b) lim

Odp.

π

t →

cos(2 t)

2

4

n



1 

c) lim 1+ 

Odp. e

n→∞ 

n 

2. Za pomocą komendy diff i operatora D obliczyć następujące pochodne: 10 cos(2 x)

a) f (

′ x),

f ( x) = 5 arctg (sin(2 x)) Odp.

2

1+ sin (2 x)

b)

2

f ′ (

′ x),

f ( x) = x ln( x) w punkcie x = 0.5

Odp. 1.6137

3

2

∂ f ( x, y) x

3

c)

,

f ( x, y) =

+ e x y w punkcie x = 1, y = 2

− Odp.

2

2

x

∂

y

∂

y

4

3. Wyznaczyć ekstrema funkcji 2

( ) =

+ 3 − e x

f x

x

x

. Określić ich charakter (minimum, maksimum).