1. METODA PRZEMIESZCZEŃ - WSTĘP

1.1 WPROWADZENIE

etoda przemieszczeń jest jedną z podstawowych - obok metody sił - metodą Mrozwiązywania układów prętowych, a stosowana obecnie dość powszechnie metoda elementów skończonych w przypadku układów prętowych ma podobne podstawy teoretyczne.

W ramach kursu rozpatrywać będziemy płaskie układy prętowe, a w szczególności belki i ramy.

Przyjmować będziemy, że ustroje prętowe zbudowane są z prętów prostych, pryzmatycznych.

W celu zapoznania się z metodą przemieszczeń rozpatrzmy ramę pokazaną na rys. 1.1.

ϕ

ϕ

ϕ

1

1

2

3

2

3

u

u

1

u2

3

v

v

v

1

2

3

A

B

C

Rys. 1.1

Rozpatrzmy pręt 1-2 w powyższej ramie. Gdybyśmy znali przemieszczenia węzłów 1 i 2, a więc kąty obrotów ϕ1 i ϕ2 oraz przesuwy u1 v1 u2 v2 to moglibyśmy wyznaczyć siły przekrojowe (momenty zginające, siły tnące i siły osiowe) dla tego pręta. Aby wyznaczyć siły przekrojowe -

znając stan przemieszczeń obu końców pręta - musielibyśmy rozwiązać belkę sztywno-sztywną, której końce doznały przemieszczeń ϕ1 ϕ2 u1 v1 u2 v2 - rys 1.2

1

2

u2

ϕ

v2

1

v1

u1

ϕ2

Rys. 1.2

Zadanie to można rozwiązać stosując metodę sił lub całkując równania różniczkowe pręta z uwzględnieniem warunków brzegowych. Z powyższych rozważań wynika, że gdybyśmy znali przemieszczenia końców wszystkich prętów to moglibyśmy wyznaczyć poszukiwane siły przekrojowe (wewnętrzne) a także reakcje. Stąd w metodzie przemieszczeń dzielimy ustrój prętowy za pomocą przekrojów przywęzłowych na zbiór węzłów i prętów, a wielkościami 5

niewiadomymi, które będziemy wyznaczać są przemieszczenia węzłów - przesuwy i obroty.

Liczbę nieznanych przesuwów i obrotów węzłów pozwalających określić siły przekrojowe we wszystkich prętach nazywamy stopniem geometrycznej niewyznaczalności.

Zanim przystąpimy do budowania równań metody przemieszczeń konieczne jest określenie przywęzłowych sił przekrojowych (momentów zginających, sił tnących i sił osiowych) dla pręta pryzmatycznego o różnych warunkach brzegowych i danych obciążeniach. Oznacza to, że musimy wyprowadzić tzw. wzory transformacyjne dla pręta.

1.2 WZORY TRANSFORMACYJNE wg teorii I-rzędu

Wzorami transformacyjnymi nazywamy zależności między siłami brzegowymi a przemieszczeniami brzegowymi pręta. Zanim przejdziemy do wyprowadzenia tych związków zauważmy, że każdy stan odkształcenia pręta może być rozłożony na :

‰ wydłużenie lub skrócenie pręta,

‰ odkształcenia wynikające ze zmiany odległości końców pręta w kierunku prostopadłym do jego osi (∆ij)

‰ obroty węzłów (ϕi, ϕj)

Przesunięcie równoległe nie powoduje odkształceń, a więc nie wywołuje także sił. Wydłużenie lub skrócenie ( l

∆ ) pręta wywołane przemieszczeniami u

ij

i oraz uj związane jest tylko z siłami

osiowymi. W przypadku stałej siły osiowej związek ten ma postać : EA

EA

ij

ij

N = N =

⋅ l

∆ =

⋅ u − u

ij

ji

ij

( j i)

l

l

ij

ij

(1.1)

gdzie :

E - moduł sprężystości podłużnej materiału,

Aij - pole poprzecznego przekroju pręta

lij - długość pręta

∆lij - wydłużenie lub skrócenie pręta

uj ui - przemieszczenia końców pręta wzdłuż jego osi

i'

j'

i

j

N

N

ij

u

ji

i

u j

lij

Rys. 1.3

Momenty zginające i siły tnące wywołane są obrotami końców pręta ϕi, ϕj oraz przesunięciami prostopadłymi do osi pręta vi oraz vj. Ponieważ przemieszczenia wzdłuż osi pręta nie wywołują 6

momentów zginających i sił tnących stąd na rysunku 1.4 przedstawiono pręt, którego końce doznają obrotów i przesunięć prostopadłych do osi pręta.

p (x)

ij

l EJ

i

ij

ij

j

M

v

ij

i

ϕ

v

i

j

ψ ij

T

M

ij

ji

ϕ j

Tji

Rys. 1.4

UWAGA !!! Brzegowe momenty zginające, obroty węzłów oraz obrót pręta będziemy traktowali jako dodatnie jeśli są zgodne z ruchem wskazówek zegara.

Momenty brzegowe Mij , Mji oraz siły tnące brzegowe Tij , Tji są funkcjami kątów ϕi, ϕj, kąta obrotu cięciwy pręta ψij = (vj - vi)/lij = ∆ij / lij oraz obciążenia na pręcie pij(x). Zależności między przemieszczeniami brzegowymi a siłami brzegowymi można wyprowadzić w różny sposób.

Tutaj pokażemy jak można to zrobić wykorzystując równanie różniczkowe pręta, a także wykorzystując poznaną wcześniej metodę sił.

Jak wiemy z wytrzymałości materiałów przemieszczenia prostopadłe do osi pręta zginanego w(x) określa zależność różniczkowa

∂4 w( x)

EJ

= p

(1.2)

4

( x)

x

∂

Rozwiązanie równania (1.2) można przedstawić jako sumę całki ogólnej wo(x) i szczególnej ws(x), a więc

w( x) = w

+

(1.3)

o ( x )

ws ( x)

Całka szczególna ws(x) zależy od obciążenia p(x) na pręcie i spełnia równanie analogiczne do równania (1.2), a całka ogólna wo(x) spełnia równanie jednorodne 4

∂ w ( x)

EJ

o

= 0

(1.4)

4

∂ x

Z równania (1.4) po wykonaniu całkowania otrzymujemy rozwiązanie 2

3

w ( x) = C + C x + C x + C x (1.5)

o

o

1

2

3

7

a stałe Co C1 C2 C3 wyznaczamy z warunków brzegowych dla pręta. W przypadku braku obciążenia p(x)=0 rozwiązanie w(x)=wo(x). Dla przykładu rozpatrzmy przypadek pręta, który na brzegu "i" doznał obrotu ϕi (rys. 1.5).

Mij

i

j

M

ϕ

ji

i

Tij

Tji

Rys. 1.5

Warunki brzegowe (ugięcia i obroty końców pręta) tym przypadku wyglądają następująco : lewy koniec x = 0

prawy koniec x = l

ugięcie w(x)

w(0) = 0

w(l) = 0

dw

dw

dw

obrót

= ϕ

= 0

dx

i

dx

dx

x=0

x= l

Podstawiając rozwiązanie (1.5) do powyższych warunków brzegowych otrzymujemy układ równań (1.6), z którego wyznaczmy stałe Ci (i=0, 1, 2, 3)

 C 0 = 0

 Co + C l C l C l

1

+

2

2

+

3

3

= 0



(1.6)

 C

ϕ

1 =

i

 C C l C l

1 + 2

2

+ 3

2

3

= 0

Po rozwiązaniu układu (1.6) otrzymujemy stałe

2ϕ

ϕ

C = 0 C = ϕ

C

i

= −

C

i

=

(1.7)

0

1

i

2

3

2

l

l

Rozwiązanie (1.5) przyjmuje w tym wypadku postać :

2ϕ

ϕ



2

3

x

x

x



i

2

i

=3

 

 

w ( x)

ϕ

ϕ

(1.8)

o

= x

i

−

x +

x

= l

2

2

i 

−   +   

l

l

 l

 l 

 l  

i na podstawie niego określamy zależności na momenty brzegowe : 8

d 2 w

EJ

M = − EJ

= 4

ϕ

ij

2

i

dx

l

x=0

(1.9)

d 2 w

EJ

M

= EJ

= 2

ϕ

ji

2

i

dx

l

x= l

W podobny sposób można wyznaczyć momenty brzegowe Mij Mji a także siły tnące Tij Tji gdy dane są kąty ϕj oraz ψij. Wyznaczanie tych wielkości można dość szybko zautomatyzować przy użyciu pakietów takich jak Mathematica®, Mathcad® czy Derive® - co polecam ambitniejszym studentom.

Jak wspomniano wcześniej odpowiednie zależności można wyprowadzić także wykorzystując poznaną wcześniej metodę sił. Dla jej przypomnienia rozwiążemy ponownie belkę podaną na rysunku 1.5, ale tym razem metodą sił. Belka ta jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna.

Jako wielkości hiperstatyczne przyjmiemy momenty podporowe X1=Mij oraz X2=Mji. Schemat podstawowy metody sił jest pokazany na rysunku 1.6 poniżej.

X1

i

l EJ

j

X2

Rys. 1.6

Wykresy momentów dla stanów jednostkowych wyglądają następująco : i

l EJ

j

M1

1

1

i

j

M2

Rys. 1.7

Układ równań kanonicznych metody sił ma postać :

δ X + δ X + ∆ P = 0

11

1

12

2

1

δ X + δ X + ∆ P = 0

21

1

22

2

2

A po przemnożeniu odpowiednich wykresów:

l

− l

X

X = ϕ

3

1

EJ

6

2

EJ

i

− l

+ l

X

X = 0

6

1

EJ

3

2

EJ

Rozwiązaniem (X1=Mij oraz X2=Mji) są te same momenty brzegowe co w (1.9) - SPRAWDZIĆ !!!

W celu nabrania wprawy można rozwiązać inne schematy statyczne - gdy występują obroty ϕj 9

oraz ψij. Poniżej zestawimy wzory transformacyjne dla różnych schematów statycznych prętów, przypominając, że zawsze można je wyprowadzić np. jedną z pokazanych powyżej metod, czego jednak w praktyce się nie robi - stąd to zestawienie.

WZORY TRANSFORMACYJNE - zestawienie

Wzory transformacyjne dla dowolnego pręta prostego można przedstawić w postaci : EJ ij

M

(a ϕ b ϕ c

o

=

⋅

⋅

+

⋅

− ⋅ ψ +

ij

ij

ij

ji

ij

ij )

M

ij

L

ij

ij

EJ ij

M

(a ϕ b ϕ c

o

=

⋅

⋅

+

⋅

−

⋅ ψ +

(1.10)

ji

ji

ji

ij

ji

ij )

M

ji

L

ji

ij

EJ ij

T

( c ϕ c ϕ d

o

=

⋅ − ⋅

− ⋅

+

⋅ ψ +

2

ij

ij

ij

ji

ij

ij )

T

ij

L

ij

ij

EJ ij

T

( c ϕ c ϕ d

o

=

⋅ − ⋅

− ⋅

+

⋅ ψ +

2

ij

ij

ij

ji

ij

ij )

T

ji

L

ji

ij

gdzie współczynniki aij, aji, bij = bji, cij = aij + bji, cji = aji + bij, dij = dji = cij + cji w teorii I-go rzędu są liczbami zależnymi od typu pręta. Oznaczenia i wartości tych współczynników dla wybranych typów prętów o stałej sztywności zestawiono w tabeli 1 poniżej.

Tabela 1

i j

aij

aji

bij = bji

cij

cji

dij = dji

4

4

2

6

6

12

3

0

0

3

0

3

1

1

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Składniki wzorów typu

o

M i

o

M są brzegowymi momentami i siłami tnącymi w stanie ij

ij

zerowych przemieszczeń brzegowych (ϕ

ψ

ij = ϕji = ∆

=

⋅ L = 0) i mogą być wyznaczane

ij

ij

ij

np. z wykorzystaniem metody sił. Dla typowych obciążeń wartości te zestawiono dla różnych typów prętów w tabelach 2 do 6 poniżej.

10

Tabela 2

Mi

Mj

PRĘT SZTYWNO-SZTYWNY

Ti

Tj

2

ql

q

2

−

ql

12

M

12

M

j

i

EJ, L

ql

ql

−

2

Ti

Tj

2

P

Pl

−

M

M

j

Pl

i

EJ, L

8

8

T

P

i

L/2

L/2

Tj

P

−

2

2

P

2

Pab

Mj

2

−

M

Pa b

i

EJ, L

2

l

2

l

2

b

2

−

a

b

T

a

P

a − ab − l

i

Tj

− P

ab − b + l

4 (

2

2 )

4 ( 2

2 )

l

l

M

Mb

3 b

Mj

Ma

3 a

(2 −

)

Mi

−

EJ, L

(2

)

l

l

l

l

T

T

M

i

a

b

j

−

M

−

3 ( l 2

6 ab)

3 ( l 2

6 ab)

l

l

t

EJ

g

−

Mj

EJ

t

α ′

Mi

α ′

EJ, L, h

t

h

td

h

t' = t -t

d g

T

0

i

Tj

0

Tabela 3

Mi

Mj

PRĘT SZTYWNO-PRZEGUBOWY

Ti

Tj

q

2

ql

−

M

0

M

j

i

8

EJ, L

3 ql

−

5 ql

Ti

Tj

8

8

P

3 Pl

−

i

j

M

0

M

j

i

16

EJ, L

5 P

−

11 P

L/2

L/2

Ti

Tj

16

16

11

P

Pab

−

i

j

0

( l + b)

M

M

j

i

2 2

l

EJ, L

Pa b + bl − 2 l

3 [ 2

2 ]

Pb [

Ti

Tj

a( b + l)

2

+ 2 l

2 l

3

]

2 l

a

b

M

M 

2

b



 

i

j

M

0



j

1 − 

3

 

Mi

EJ, L

2 

 l  

3 M

T

b − l

3 ( 2

2 )

i

Tj

3 M

2 l

b − l

a

b

3 ( 2

2 )

2 l

Tabela 4

Mi

Mj

PRĘT SZTYWNY-ŁYŻWA

Ti

Tj

q

2

qL

2

−

M

qL

M

j

i

−

3

EJ, L

6

qL

Ti

Tj

0

P

3 PL

−

i

j

M

PL

M

j

−

i

8

EJ, L

8

Ti

T

P

j

0

L/2

L/2

PL

−

P

PL

−

2

i

j

2

M

M

j

i

EJ, L

P

0

Ti

Tj

P

Pa 

2

−

i

j

Pa

2 − a 



M

M

j

i

−

2 

L 

EJ, L

2 L

Ti

Tj

P

0

a

b

Mb

M

−

i

j

M

Ma

M

j

−

i

L

EJ, L

L

0

Ti

Tj

0

a

b

12

Tabela 5

EJ

EJ

M =

a

M =

b

i

ij

j

ij

L

JEDNOSTKOWE

L

EJ

STANY ROTACYJNE

EJ

T = −

c

T = −

c

i

ij

j

ij

2

L 2

L

fi = 1

EJ

EJ

4

2

L

i

j

M

M

j

L

i

EJ, L

EJ

−

EJ

6

Ti

− 6

2

Tj

L

2

L

fi = 1

EJ

0

3 L

i

j

M

M

j

i

EJ

EJ, L

− 3

EJ

−

2

3

L

2

L

Ti

Tj

fi = 1

EJ

EJ

−

L

j

i

M

M

j

L

i

EJ, L

0

T

0

i

Tj

Tabela 6

EJ

EJ

M = −

c

M = −

c

i

ij

j

ji

L

JEDNOSTKOWE STANY

L

EJ

TRANSLACYJNE ψij =1

EJ

T =

d

T =

d

i

ij

j

ij

2

L 2

L

i

j

Mj

EJ

−

Mi

EJ

6

EJ, L

∆

− 6

L

L

EJ

Ti

Tj

EJ

12

12

2

L

2

L

i

EJ, L

j

Mj

EJ

Mi

−

0

3

∆

L

EJ

T

3

EJ

i

Tj

2

3

L

2

L

13

Na koniec wyjaśnijmy jeszcze przypadki, gdy mamy do czynienia z obciążeniem równomiernie rozłożonym, działającym na pręt pod danym kątem.

Przypadek 1

obciążenie śniegiem

p

q = p = p cos 2(α)

EJ

n

α

L

EJ, L

Przypadek 2

obciążenie wiatrem

p

q = p = p sin 2(α)

EJ

n

α

L

EJ, L

Przypadek 3

obciążenie ciężarem własnym

p

q = p = p cos (α)

n

α

EJ

L

EJ, L

14