Wahadło

Tadeusz Paszkiewicz

Katedra Fizyki

Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Politechniki Rzeszowskiej

Wahadło płaskie

Układ mechaniczny składający się z punktu

materialnego umieszczonego w jednorodnym

polu grawitacyjnym i poddany takim więzom,

które zezwalają na ruch tego punktu

materialnego wokół pewnego położenia

równowagi.

Jeżeli więzy nałożone na ruch wahadła albo

warunki początkowe zostały dobrane tak, aby punkt materialny poruszał się w pewnej

płaszczyźnie pionowej mówimy o wahadle

płaskim.

Więzy

Realizowane są przez umieszczenie punktu

materialnego na pewnej krzywej albo

powierzchni, zamknięcie w ciasnej rurce,

zawieszenie na nierozciągliwej nici, sztywnym pręcie.

Założenie

Ruch punktu materialnego odbywa się bez tarcia i w ośrodku nie stawiającym oporu.

Wahadło kuliste

Punkt materialny, który znajduje się w polu sił ciężkości (jednorodnym polu grawitacyjnym) i podczas ruchu musi pozostawać na powierzchni kuli. Ruch zachodzi bez tarcia i oporu powietrza.

Wahadło stożkowe

Punkt materialny o masie m porusza się po okręgu będącym podstawą stożka.

Wahadło cykloidalne

Punkt okręgu o promieniu R toczący się po prostej bez poślizgu zatacza krzywą nazywaną cykloidą.

Równanie cykloidy:

równanie parametryczne : x = R (t − sin t), z = R (t − cos t); równanie ogólne : x = R arccos (R - z) / R − z (2R − z).

Wahadło cykloidalne

Punkt materialny stale porusza się po wybranym łuku cykloidy. Więzy wymuszają ruch po tym łuku.

Dla takiego ruchu: okres T nie zależy od wychylenia: 2π

T =

= 4π R / g .

ω

Własności wahadła cykloidalnego Ruch jest tautochroniczny: jeżeli prędkość

początkowa punktu materialnego v =0, to czas 0

T potrzebny na przebycie drogi od dowolnego 0

punktu na cykloidzie do jej wierzchołka jest zawsze taki sam:

T = π R / g .

0

Łuk cykloidy jest brachistochroną: czas zsuwania się punktu ważkiego wzdłuż cykloidy od

najwyższego do najniższego punktu jest

najkrótszy spośród wszystkich krzywych płaskich.

Wahadło koliste (matematyczne) Krzywą więzów jest okrąg

R

φ

m

F = −mgˆz

Położenie równowagi

Początkowe wychylenie z położenia równowagi może być małe, albo duże. Rozwiązanie zależy warunków początkowych.

Zależność ruchu wahadła kolistego od warunków początkowych

Warunki początkowe określa początkowy kąt

wychylenia φ i pocz

0

ątkowa prędkość kątowa

φɺ = φɺ t

.

0

( )

Ruch punktu materialnego zależy od

t =0

warunków początkowych.

Dopuszczalne ruchy

wahadła kolistego

Wprowadzimy częstość kątową ω:

ω = R / g

1. Jeżeli

k

= ɺ

φ /

2

ω > 1 , to z upływem czasu kąt φ

0

rośnie nieograniczenie – ruch obrotowy po okręgu (przypadek rotacyjny).

2. Jeżeli k=1 i φ =0, to czas potrzebny do osi 0

ągnięcia

górnego punktu okręgu (φ=π) jest nieskończenie długi.

3. Jeżeli k<1, to mamy do czynienia z ruchem oscylacyjnym. Wtedy

φɺ ( t ) cyklicznie zmienia znak.

Wyprowadzenie równania ruchu wahadła kolistego

Przyjmijmy, że wahadło nie uczestniczy w ruchu postępowym – oś obrotu jest nieruchoma. Punkt materialny pod wpływem momentu siły porusza się po okręgu.

Ruchowi po okręgu towarzyszy nieznikający moment pędu.

Moment siły i moment pędu dla wahadła kolistego

z

Moment siły M :

M = R × F = −mgR × ˆz =

x = −mgR ( ˆx × ˆz sin φ + ˆz × ˆz cos φ) =

φ R

v ⊥ R

st

= −(mgR sin φ) ˆy (za ekran).

m

F

Moment pędu

L :

r

F

st

F





L = R × p = m (R × v) =  mR v ˆ

 y = (

2

mR )

ωˆy = Iωˆy.



R

ω 

I

Równanie ruchu dla wahadła kolistego

dL (t)

dω(t)

= M (t)

I

ˆy = − (mg sin φ) ˆy

dt

dt

2

d φ(t)

I

= −mgsin φ t .

2

( )

dt

2

mR φ

ɺɺ(t) + mgR sin φ(t) = 0.

φɺɺ(t) + (g / R)sin φ(t) = 0.

2

ω

Ostateczna postać równania ruchu wahadła matematycznego

φɺɺ( )

2

t + ω sin φ(t) = 0 .

Dla dowolnego kąta wychylenia rozwiązanie wyraża się przez funkcję specjalną – całkę eliptyczną F(k,ψ): ( ψ) ψ

dϕ

F k,

= ∫

.

0

2

2

1− k sin ϕ

Ograniczymy się do małych drgań dookoła położenia równowagi, wtedy

3

sin φ = φ − φ / 6 +… ≈ φ .

Wahadło matematyczne –

małe drgania

φɺɺ( )

2

t + ω φ(t) = 0 .

Częstość ω nie zależy od masy m

ω = g / R .

Okres drgań:

T = 2π R / g .

Rozwiązanie:

φ(t) = φ cos ωt + α .

max

(

)

Wahadło fizyczne

d – odległość punktu

zawieszenia od

środka masy c.

Wszystkie siły

działające na

poszczególne

elementy bryły

zastępujemy siłą

wypadkową

F = −mgˆz

zaczepioną w środku

masy bryły.

Moment siły i bezwładności

Moment siły względem osi obrotu:

M = r × (−mgˆz) = −mgd sin θ ˆy .

Moment pędu względem osi obrotu:

L = I

= I dφ / dtˆy = I φɺ

ω

ˆy .

0

0

0

ωˆy

I jest momentem bezwładności bryły

0

względem osi obrotu zamocowanej

w punkcie 0.

Równanie ruchu

wahadła fizycznego

dL

= M ,

dt

2

d θ

I

+ mgdsin θ = 0.

0

2

dt

2

d θ

mgd

+

sin θ = 0.

2

dt

I

0

2

ω

Częstość drgań

wahadła fizycznego

mgd

ω =

≡ ω .

f

I0

Częstość drgań wahadła fizycznego zależy od masy m, momentu bezwładności, odległości osi od środka masy d i przyśpieszenia swobodnego spadku g.

ω cz

f

ęstość drgań wahadła fizycznego.

Porównanie częstości

wahadła matematycznego i fizycznego

Równania dla wahadła matematycznego i

fizycznego pod względem matematycznym nie

różnią się.

Ich rozwiązania też nie różnią się

Dla wahadła matematycznego:ω =

g / d.

m

Przyjmijmy d = d = I / md.

0

0

g

g

mgd

ω =

=

=

= ω

m

d

(I / md)

f

I

0

0

0

Zredukowana długość

wahadła fizycznego

Długość d0

d = I / md

0

0

nazywamy długością zredukowaną wahadła

fizycznego. Wahadło fizyczne waha się tak

jak wahadło matematyczne o długości d .

0

Wykorzystanie

twierdzenia Steinera

2

I = md + I

0

c

I – moment bezwładności względem środka masy.

c

d0

d=d0

d

d = I / md =

0 (

) 0

2

md + I

I

c

c

=

= d +

.

md

md

d

dmin

Minimum funkcji d (d)

0

dd

x

d 

I 

I

0 (

)

c

c

=

 x +

 = 1−

= 0.

2

dx

dx 

mx 

mx

I

2

c

x =

→ x = I / m .

c

m

d

= I / m .

min

c

Długość zredukowana

odpowiadająca wartości dmin

(min)

I

I

I

m

c

c

c

d

= d +

= d +

= d +

=

0

min

min

min

md

m I / m

m I

min

c

c

= d + I / m = 2d .

min

c

min

dmin

Środek wahań

Na prostej łączącej środek masy C

i oś obrotu z punktu 0 odłożymy

odcinek o długości d . Koniec tego

0

θ

d

d odcinka określa punkt 0’, który

0 nazywamy jest ś rodkiem wahań.

d

Twierdzenie:

0 -d

Jeżeli oś obrotu umieścimy

w punkcie 0’, to okres oscylacji

wahadła fizycznego będzie taki

sam jak dla wahadła z osią

obrotu w punkcie 0.

Dowód

Z twierdzenia Steinera:

2

I = I + md

0

c

d = I / md = d + I / md.

0

0

c

m (d − d = I / d.

0

) c

Dowód

Długość zredukowana dla osi obrotu przechodzącej przez punkt 0’:

I

I + m d − d

I

/

0'

(

)2

c

0

c

d =

=

=

+ d − d =

0

m (d − d

m d − d

m d − d

0

)

( 0 )

( 0 ) ( 0 )

I / d

c

= d + (d − d = d

0

) 0

Okres drgań bryły zwieszonej w środku wahań T0’

T = 2π d/ / g = 2π d / g = T .□

0'

0

0

0

Dwa równoważne

punkty zawieszenia bryły

Jeżeli wahadło zostanie

zawieszone w punkcie 0’, to

θ

d

d0

długość zredukowana, a

więc i okres, są takie same

jak w przypadku zawieszenia

w punkcie 0.

Istnienie środka wahań

wykorzystywane jest w przypadku

wahadła rewersyjnego