Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
1. Przedstawić obszar ograniczony podanymi krzywymi w postaci
obszaru normalnego ( ze względu na Ox i Oy ).
1.1 x = 0 y = 0 x + 2y = 2
1.2 x = 0 y = x y = 1
"
1.3 y = x2 y = x
1.4 y = x2 x + y = 2 y = 0
1.5 y = x2 x + y = 2 x = 0 (x 0)
1.6 y = x2 x2 + y2 = 2x (y 0)
1.7 y = x2 x2 + y2 = 2y (y x2)
2. Zamienić porządek całkowania.
1 2 1 x
2.1 dx f(x, y)dy 2.2 dx f(x, y)dy
0 0 0 0
1 x 1 2-x

2.3 dx f(x, y)dy 2.4 dx f(x, y)dy
x
0 0
x2
1 x 2 2-x

2.5 dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy
0 0 1 0
0 x+2 1 2-x

2.6 dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy
-1 0
x2 x2
Ä„ sin x

2.7 dx f(x, y)dy
0 0
1
3. Obliczyć całki:

3.1 x2y dxdy gdzie D: y = x y = x2
D

3.2 x + y dxdy gdzie D: y = 0 x = 0 x + y = 1
D

3.3 xey cos y dxdy gdzie D: y = x2 y = 1
D

3.4 x3 + y dxdy gdzie D: x2 + y2 = 1
D
4. Obliczyć objętość ciała ograniczonego podanymi powierzchniami.
4.1 x = 0 y = 0 z = 0 x + y = 4 z = x2 + y2
4.2 y = 0 y = x z = 0 x + y = 2 z = y2
4.3 y = x y = 2x x = 1 z = 0 z = x + y
4.4 y = x2 x = y2 z = 0 z = x + y
" "
4.5 y = x y = 2 x z = 0 x + z = 4
x2
4.6 z = 0 y = z = 4 - y2
2
4.7 x2 + y2 = a2 x2 + z2 = a2
4.8 z = 0 x = 3 z = x2 - y2
4.9 y = ln x y = ln2 x z = 0 y + z = 1
" "
"
4.10 x + y + z = 1 x = 0 y = 0 z = 0
2
5. Opisać obszar ograniczony podanymi krzywymi używając
współrzędnych biegunowych.
5.1 x2 + y2 = 2 5.2 x2 + y2 = 2x
5.3 x2 + y2 = 2y 5.4 y = x y = x2
5.5 x2 + y2 = 2x x2 + y2 = 2y
5.6 x2 + y2 = 2x x2 + y2 = 1
5.7 x2 + y2 = 1 x2 + y2 = 2 y = x y = 2x (x, y 0)
5.8 x = 0 y = 1 x + 2y = 3
6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego podanymi krzywymi.
6.1 x2 + y2 = 1 x2 + y2 = 2 y = x y = 0 (x, y 0)
6.2 x2 + y2 = 2x y = x2 (y x2)
6.3 x2 + y2 = 2x y = 2x (y 2x)
6.4 x2 + y2 = 2x x2 + y2 = 2y x2 + y2 = 1 (x2 + y2 1)
6.5 (x2 + y2)2 = 2ax3
6.6 (x2 + y2)2 = 2a2(x2 - y2)
6.7 (x2 + y2)3 = x4 + y4
6.8 x3 + y3 = 2xy (x, y 0)
6.9 (x + y)3 = 2xy (x, y 0)
2
x2 y2 xy
6.10 + =
a2 b2 c2
3
7. Obliczyć objętość ciała ograniczonego podanymi powierzchniami.
7.1 x2 + y2 = 4 z = x + y + 3 z = 0
7.2 x2 + y2 = 2x z = x2 + y2 z = 0
7.3 x2 + y2 = ax x2 + y2 + z2 = a2
7.4 z = x2 + y2 z = x + y
7.5 z = x2 z = 1 - y2
7.6 x2 + y2 = 3z x2 + y2 + z2 = 4
7.7 x2 + y2 = a2 x2 + y2 + z2 = a(a - 2z) (z 0)
7.8 x2 + y2 + z2 = 1 x2 + y2 + z2 = 4 z2 = x2 + y2 (z 0)
7.9 (x2 + y2 + z2)3 = a2(x2 + y2)2
3
x2 y2 z2
7.10 + + = x2z
4 9 16
8. Znalez
ć współrzÄ™dne Å›rodka masy opisanego ciaÅ‚a (µ -gÄ™stość).
8.1 z = x2 + y2 z = 1 µ1 = 1, µ2 = z
8.2 x2 + y2 = 1 z = 0 z = 1 µ1 = 1, µ2 = z
8.3 z2 = x2 + y2 z = 1 µ1 = 1, µ2 = z
8.4 jednorodnego stożka o promieniu r i wysokości h
8.5 kuli o promieniu r jeśli gęstość jest proporcjonalna
do odległości od ustalonego punktu sfery
4
9. Obliczyć podane całki niewłaściwe lub wykazać ich rozbieżność.
" " " "

9.1 e-|x|-|y|dxdy 9.2 (x + y)e-(x+y)dxdy
-" -" 0 0
" " " "

dxdy dxdy
9.3 9.4
(1 + x2 + y2)2 1 + x2 + y2
-" -" -" -"
" " " "

2 2
9.5 xye-(x +y2)dxdy 9.6 dx e-y dy
x
0 0 0

dxdy
"
9.7 gdzie D : x2 + y2 1
x2 + y2
D
" "

dxdy
9.8
(x2 + y2)Ä…
-" -"
5
Całki krzywoliniowe i powierzchniowe

10. Obliczyć całkę f(x, y) dl ( f(x, y) dl, f(x, y, z) dl).
L L L
10.1 f(x, y) = x2 + xy L : odcinek AB; A(2, 1), B(-1, 3)
10.2 f(x, y) = x ln y L : odcinek AB; A(0, 1), B(3, -2)
10.3 f(x, y) = x ln3 y L : odcinek AB; A(0, 1), B(3, 1)
10.4 f(x, y) = xey L : Å‚amana ABC; A(0, 1), B(1, 0), C(2, 2)
10.5 f(x, y) = x2 + y2 + 2x L : łuk AB okręgu K(O, r); O(0, 0), r = 1,
(A(1, 0), B(0, 1))
10.6 f(x, y) = x L : okrÄ…g x2 + y2 - 2x = 0
"
10.7 f(x, y) = 2y L : Å‚uk cykloidy x = t - sin t y = 1 - cos t
z2
10.8 f(x, y, z) = L : pierwszy zwój linii śrubowej
x2 + y2
x = 2 cos t y = 2 sin t z = 3t
"
10.9 f(x, y, z) = 2y2 + z2 L : okrÄ…g x2 + y2 + z2 = 4 x = y
"
10.10 f(x, y) = x x2 - y2 L : połowa lemniskaty (x2 + y2)2 = x2 - y2 (x 0)
11. Obliczyć pole powierzchni części walca W wyciętej podanymi
powierzchniami.
11.1 W : x2 + y2 = 1 z = x2 z = 0
11.2 W : x2 + y2 = 4 z = x2 z = -y2
11.3 W : x2 + y2 = 9 6z = xy z = 0
6
11.4 W : x2 + y2 = 2x z = 3x + 5 z = 0
11.5 W : x2 + y2 = 1 z = x + y + 1 z = 0
11.6 W : x2 + y2 = 1 x2 + z2 = 1
11.7 W : x2 + y2 = x x2 + y2 + z2 = 1
"
11.8 W : y2 = 4x z = x - x2 z = 0
12. Obliczyć masÄ™ krzywej L (µ-gÄ™stość).
12.1 L : y = x2 (1 x 2) µ = x
12.2 L : y = ln x (1 x e) µ = x2
x x 1
2
12.3 L : y = e + e- 2
(0 x 2) µ =
y
12.4 L : x2 + y2 = 1 µ = |x|
x2 y2
12.5 L : + = 1 (x, y 0) µ = x
4 9
12.6 L : x = cos t, y = sin t, z = t (0 t 2Ä„) µ = x2 + y2 + z2
"
12.7 L : x = t cos t, y = t sin t, z = t2 (0 t 1) µ = z
12.8 L : x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 = x (x, y, z 0) µ = xy
7
13. Znalez
ć współrzÄ™dne Å›rodka masy krzywej L (µ-gÄ™stość).
13.1 L : x + 2y = 2 (x, y 0) µ = x2 + y
13.2 L : x2 + y2 = 1 µ = |x|
13.3 L : x = t - sin t, y = 1 - cos t (0 t 2Ä„) µ = 1
13.4 L : x = cos3 t, y = sin3 t (x, y 0) µ = 1
13.5 L : x = cos t, y = sin t, z = t (0 t 2Ä„) µ = 1
13.6 L : x = cos t, y = sin t, z = t (0 t 2Ä„) µ = z
14. Obliczyć całki:

14.1 (x2 + 2y) dx + (x - y3) dy AB : odcinek A(2, 1), B(-1, 3)
AB

14.2 ey dx - x2 dy ABC : Å‚amana; A(0, 1), B(1, 0), C(2, 2)
ABC

14.3 x dx + y dy AB : łuk okręgu; K((0, 0); 1), A(1, 0), B(0, 1)
AB

14.4 (x - 1) dx + y2 dy L : okrÄ…g x2 + y2 - 2x = 0
L

14.5 (2 - y) dx - (1 - y) dy AB : Å‚uk cykloidy x = t - sin t y = 1 - cos t
AB

14.6 x dx + y dy + z dz AB : pierwszy zwój linii śrubowej
AB
x = 2 cos t y = 2 sin t z = 3t

14.7 xy dx + y dy + z dz L : okrÄ…g x2 + y2 + z2 = 4 x = y
L
8
15. Obliczyć podane całki wykorzystując twierdzenie Greena
(niezależność od drogi całkowania).

15.1 2y dx + 3x dy L : okrÄ…g K((0, 0); 1)
L

15.2 (y3 + y2) dx + (x2 - 3xy2) dy L : okrÄ…g K((0, 0); 1)
L

15.3 (y2 + 2x3) dx - (2x - y2) dy L : x2 + y2 + 2x = 0
L
(-1,3)

15.4 (x4 + 4xy3) dx + (6x2y2 - 5y4) dy
(2,1)
(5,12)

x y
" "
15.5 dx + dy
x2 + y2 x2 + y2
(3,4)

15.6 (y - sin y) dx + x cos y dy AB : x2 + y2 = 1 y 0 A(1, 0) B(-1, 0)
ABC

15.7 (x - sin y) dx + x(2 + cos y) dy ABC : Å‚amana A(-1, 0) B(0, 2) C(2, 0)
ABC

15.8 (y + sin(x + y)) dx + sin(x + y) dy AB : x2 + y2 = 1 A(1, 0) B(0, 1)
AB

y x
15.9 dx - dy L : okrÄ…g K((0, 0); 1)
x2 + y2 x2 + y2
L
(0,1)

x y
15.10 dx - dy
x2 - y2 x2 - y2
(1,0)
9
16. Obliczyć pole obszaru ograniczonego podaną krzywą.
x2 y2
16.1 elipsÄ… + = 1
a2 b2
2 2
3 3
16.2 asteroidÄ… x + y = 1
16.3 kardioidÄ… = 1 + cos Õ
16.4 pętlą krzywej x = 1 - t2 y = t - t3
16.5 pętlą krzywej y2 = x3 + x2
16.6 liściem Kartezjusza x3 + y3 = 3xy

17. Obliczyć całkę f(x, y, z) dS.
S
17.1 f(x, y, z) = x - 2y + 3z S : x + y + 2z = 2 (x, y, z 0)
1
17.2 f(x, y, z) = S : x + y + 2z = 2 (x, y, z 0)
(x + 2y + 3z)2
"
17.3 f(x, y, z) = 1 S : z = 1 - x2 (|y| |x|)
17.4 f(x, y, z) = y S : x2 + y2 + z2 = 1 (x, y, z 0)
1
17.5 f(x, y, z) = S : x2 + y2 = 1 (0 z 1)
x2 + y2 + z2
10
18. Obliczyć pole części powierzchni S spełniającej
podane ograniczenia.
18.1 S : x + 2y + 3z = 6 x, y, z 0
18.2 S : 2z = x2 + y2 x2 + y2 1
18.3 S : z = xy x2 + y2 R2
18.4 S : z2 = x2 + y2 z2 2py
18.5 S : y2 + z2 = x2 x2 + y2 R2
18.6 S : x2 + y2 + z2 = a2 x2 + y2 R2
18.7 S : x2 + y2 + z2 = a2 Ä„/6 Õ Ä„/3 Ä„/6 È Ä„/4
x + y
18.8 S : z = 1 x2 + y2 4 x, y, z 0
x2 + y2
18.9 S : x2 + y2 + z2 = R2 x2 + y2 Rx
18.10 S : x2 + y2 = Rx x2 + y2 + z2 R2
19. Znalez
ć współrzÄ™dne Å›rodka masy powierzchni S (µ-gÄ™stość).
19.1 S : x + 2y + 3z = 6 x, y, z 0 µ = 1
19.2 S : x2 + y2 = z 0 z 1 µ = z
19.3 S : x2 + y2 = z2 0 z 1 µ = z
19.4 S : x2 + y2 = 1 0 z 1 µ = z
19.5 S : x2 + y2 = z3 0 z 1 µ = z
19.6 S : x2 + y2 + z2 = 1 0 z 1 µ = z
11
20. Obliczyć całki:

20.1 (x + z) dxdy
S
gdzie S - górna strona trójkąta A(1, 0, 0) B(0, 2, 0) C(0, 0, 3)

20.2 (x + z) dxdy
S
gdzie S - dowolna strona trójkąta A(1, 0, 0) B(0, 2, 0) C(1, 0, 3)

20.3 z2 dxdy
S
gdzie S - wewnętrzna strona części paraboloidy z = x2 + y2
ograniczonej płaszczyzną z = 1

20.4 z2 dxdz
S
gdzie S - wewnętrzna strona części paraboloidy z = x2 + y2
ograniczonej płaszczyzną z = 1

20.5 (x + z) dxdy + (y + x) dydz + (z + x) dzdx
S
gdzie S - dowolna strona trójkąta A(1, 0, 0) B(0, 2, 0) C(0, 0, 3)

20.6 z2 dxdy + x2 dydz + y2 dzdx
S
gdzie S - wewnętrzna strona części stożka z2 = x2 + y2
ograniczonej płaszczyzną z = 1 (x 0)

20.7 z dxdy + x dydz + y dzdx
S
gdzie S - dolna strona dolnej części sfery x2 + y2 + z2 = 1
12
21. Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, obliczyć całki:

21.1 z dxdy + 2x dydz + 3y dzdx
S
gdzie S - zewnętrzna strona powierzchni walca x2 + y2 = 1 z = 0 z = 1

21.2 z dxdy + x2 dydz + y2 dzdx
S
gdzie S - zewnętrzna strona powierzchni walca x2 + y2 = 1 z = 0 z = 1

21.3 z3 dxdy + x3 dydz + y3 dzdx
S
gdzie S - wewnętrzna strona sfery x2 + y2 + z2 = 1

21.4 y2z dxdy + xz dydz + x2y dzdx
S
gdzie S - zewnętrzna strona sfery bryły ograniczonej powierzchniami
z = x2 + y2 x2 + y2 = 1 x = 0 y = 0 z = 0 (x, y, z 0)

21.5 z2 dxdy + x2 dydz + y2 dzdx
S
gdzie S - górna strona górnej połowy sfery x2 + y2 + z2 = 1

21.6 z dxdy + xy dydz + y4 dzdx
S
gdzie S - dolna strona części parabolody z = x2 + y2
ograniczonej płaszczyzną z = 1
13