Sygnały i Systemy
Sygnały i Systemy
Wykład 4
Sygnały impulsowe w układach analogowych
Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Zakład Podstaw Elektrotechniki i Informatyki
Sem. zimowy 2002/2003
Związek pomiędzy sygnałem
Związek pomiędzy sygnałem
wejściowym i wyjściowym
wejściowym i wyjściowym
Układy analogowe przetwarzają wejściowe sygnały analogowe
dając na wyjściu również sygnał analogowy zależny od:
- sygnału wejściowego
- parametrów układu liniowego
Bardzo duże zastosowanie praktyczne znalazły układy liniowe, dla
których sygnał wejściowy x(t) i wyjściowy y(t) jest związany
poprzez równanie różniczkowe:
dn y(t) dn-1y(t) dy(t) dk x(t) dk-1x(t) dx(t)
an + an-1 + ... + a1 + a0 y(t) = ak + ak-1 -1 + ... + a1 + a0x(t)
dtn dtn-1 dt dtk dtk dt
2
Związek pomiędzy sygnałem wejściowym i
Związek pomiędzy sygnałem wejściowym i
wyjściowym w układach liniowych
wyjściowym w układach liniowych
Równanie różniczkowe opisuje związek pomiędzy sygnałem wejściowym i
jego pochodnymi oraz sygnałem wyjściowym i jego pochodnymi.
Jeśli znamy sygnał wejściowy to znamy też jego pochodne i równanie
różniczkowe się wtedy upraszcza :
dn y(t) dn-1y(t) dy(t)
an + an-1 + ... + a1 + a0 y(t) = f (t)
dtn dtn-1 dt
an,an-1,...,a0
Współczynniki bezpośrednio są związane z parametrami
opisującymi układ.
3
Wyznaczanie odpowiedzi y(t)
Wyznaczanie odpowiedzi y(t)
Przy zadanym sygnale wejściowym wyznaczenie odpowiedzi
sprowadza się zatem do rozwiązania równania różniczkowego.
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą dwóch
rozwiązań:
- Rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego
(składowa ustalona)
- rozwiązania ogólnego równania jednorodnego
(składowa przejściowa lub składowa swobodna)
dn y(t) dn-1y(t) dy(t)
an + an-1 + ... + a1 + a0 y(t) = 0
dtn dtn-1 dt
4
Reakcja elementów R, L i C
Reakcja elementów R, L i C
na skok jednostkowy
na skok jednostkowy
Napięcie na rezystorze nie powoduje przesunięcia względem prądu,
więc kształt obydwu sygnałów jest taki sam z dokładnością do
czynnika skalujÄ…cego R
Cewka będzie przeciwdziałać zmianom prądu w obwodzie,
wytwarzając siłę elektromotoryczną samoindukcji przeciwnie
skierowaną do wzrastającego napięcia
Nienaładowany idealny kondensator po podłączeniu zasilania
można traktować w zasadzie jak zwarcie, teoretycznie prąd zmienia
się skokowo od zera do nieskończoności (w praktyce rezystor
ogranicza wartość tego prądu, a jeśli jest on bardzo mały to może
się zdarzyć, że  wyparują przewody)
Jeśli elementy R, L i C są połączone szeregowo to kształt prądu w
takim obwodzie, będzie zależał od wartości poszczególnych
elementów.
5
R
Przykład -
Przykład -
uwy(t)
uwe(t)
C
Układ RC
Układ RC
t
1
u (t ) = Ri (t ) +
we
+"i (t )dt
C
0
lub
duC (t ) duC (t )
u (t ) = RC +uC (t ) gdzie i (t ) = C
we
dt dt
6
Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli wyznaczamy jak układ
Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli wyznaczamy jak układ
zachowuje się w stanie przejściowym:
zachowuje się w stanie przejściowym:
-RC lnuC (t ) = t + K
p
duC (t )
p
RC +uC (t ) = 0
p
-RC lnuC (t ) = t + K
dt
p
t +K
-
RC duC p (t ) = -uC (t )dt
RC
p
uC (t ) = e
p
t K
- -
RC RC
duC (t )
uC (t ) = e e
p
p
- RC = dt
uC (t )
p
t
-
RC
duC (t )
uC (t ) = K e
p
1
p
- RC =
+"+"dt
uC (t )
p
7
Stan ustalony można odgadnąć bez rozwiązywania równania
niejednorodnego, gdyż po dostatecznie długim czasie na kondensatorze
ustali się takie napięcie jak na wejściu układu
Jeśli na wejściu pojawi się
uwe (t ) =U 1(t )
napięcie stałe w chwili t=0, tzn.
To napięcie jakie będzie na
kondensatorze w stanie
uCu (t ) =U
ustalonym wyniesie:
Zatem rozwiązanie składa się z
sumy napięcia przejściowego i
uC (t ) = uC u (t ) +uC p (t )
ustalonego, czyli:
t
-
RC
uC (t ) =U + K e
Teraz można wyznaczyć stałą 1
całkowania K1, ponieważ dla
0 =U + K
1
t=0 napięcie na kondensatorze
K = -U
również było równe zero
1
8
Ostateczna postać napięcia na kondensatorze
Ostateczna postać napięcia na kondensatorze
t
-
RC
uC (t ) =U -Ue
t
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚1 - e - ÷Å‚
Ä
u (t ) = U
C
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
jest tzw. stałą czasową układu RC
Ä = RC
Gdzie
-1
t = Ä
Gdy otrzymujemy uC (t ) =U (1-e )H" 0,63U
Zatem stała czasowa to taki czas, po którym kondensator
naładuje się do około 63% napięcia zasilającego
9
Prąd w układzie i napięcie na rezystorze
Prąd w układzie i napięcie na rezystorze
t
ëÅ‚ öÅ‚
duC (t ) d
ìÅ‚U -Ue - RC
÷Å‚
i (t ) = C = C
ìÅ‚ ÷Å‚
dt dt
íÅ‚ Å‚Å‚
t t
ëÅ‚ öÅ‚
-
d CU
ìÅ‚e - RC RC
÷Å‚
i (t ) = -CU = e
ìÅ‚ ÷Å‚
dt RC
íÅ‚ Å‚Å‚
t
t
-
-
U
RC
RC
u (t ) =Ue
i (t ) = e R
R
U
t = 0 i (0) =
t = 0 u (0) =U
R
R
t " u = 0
Ru
t " iu = 0
10
Wnioski z analizy układu szeregowego RC
Wnioski z analizy układu szeregowego RC
Obwód RC jest bardzo ważny w elektronice, gdyż stosowany jest jako:
- filtr dolnoprzepustowy
- bierny układ całkujący
- układ sprzężenia zwrotnego
Jednym z najważniejszych parametrów układu RC jest jego stała
czasowa
Ä = RC
- jeśli stała czasowa jest mała w porównaniu z czasem trwania impulsu
wymuszającego to sygnał napięcia na kondensatorze jest również
impulsem prostokÄ…tnym, ale o zaokrÄ…glonych zboczach
- jeśli stała czasowa jest dostatecznie duża w stosunku do czasu trwania
impulsu wymuszającego to mamy układ całkujący, w którym impulsy
prostokątne na wejściu zamieniane są na impulsy w przybliżeniu
trójkątne na wyjściu (napięcie na kondensatorze).
t
+"Udt =Ut
0
11
R
Przykład -
Przykład -
L uwy(t)
uwe(t)
Układ RL
Układ RL
di (t )
u (t ) = Ri (t ) + L
we
dt
di (t )
gdzie u (t ) = L
L
dt
12
Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli wyznaczamy jak układ
Rozwiązujemy równanie jednorodne, czyli wyznaczamy jak układ
zachowuje się w stanie przejściowym:
zachowuje się w stanie przejściowym:
L
- ln i (t ) = t + K
p
R
di (t )
t + K
p
ln i (t ) = -
L + Ri (t ) = 0
p
p
L
dt
R
L
t +K
-
di (t ) = -i (t )dt
p p
L
R
R
i (t ) = e
p
t K
- -
di (t )
L
p
L L
- = dt
R R
R i (t )
i (t ) = e e
p
p
t
-
di (t )
L
p
L
- =
+"+"dt
R i (t )
R
p
i (t ) = K e
p 1
13
Stan ustalony można odgadnąć bez rozwiązywania równania
niejednorodnego, gdyż po dostatecznie długim czasie napięcie na cewce
zmaleje do zera, a prÄ…d wyniesie U/R
Jeśli na wejściu pojawi się napięcie stałe w
uwe (t ) =U 1(t )
chwili t=0, tzn.
u (") = 0
L
To napięcie na cewce i prąd w obwodzie w
u
U
stanie ustalonym wyniesie:
i (") =
u
R
Zatem rozwiązanie składa się z sumy
i (t ) = i (t ) + i (t )
u p
prądu przejściowego i ustalonego, czyli:
t
-
L
Teraz można wyznaczyć stałą
U
R
i (t ) = + K e
całkowania K1, ponieważ dla t=0 prąd na
1
R
cewce również wynosił zero
U U
0 = + K K = -
1 1
R R
14
Ostateczna postać prądu w obwodzie RL
Ostateczna postać prądu w obwodzie RL
t
-
L
U U
R
i (t ) = - e
R R
t
ëÅ‚ öÅ‚
U
ìÅ‚1 - e - ÷Å‚
Ä
i (t ) =
ìÅ‚ ÷Å‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
L
jest tzw. stałą czasową układu RL
Ä =
Gdzie
R
U U
-1
t = Ä
Gdy otrzymujemy i (t ) = (1-e )H" 0,63
R R
Zatem stała czasowa to taki czas, po którym prąd płynący
przez cewkę osiągnie około 63% wartości pradu ustalonego
15
Napięcie na cewce i rezystorze
Napięcie na cewce i rezystorze
ëÅ‚U U -t öÅ‚
di (t ) d
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä
u (t ) = L = L - e
L
ìÅ‚ ÷Å‚
dt dt R R
íÅ‚ Å‚Å‚
t t
ëÅ‚ öÅ‚
- -
L L
ìÅ‚ ÷Å‚
U d LUR
ìÅ‚e R ÷Å‚ R
u (t ) = -L = e
L
ìÅ‚ ÷Å‚
R dt RL
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
t
ëÅ‚ öÅ‚
t
-
ìÅ‚1-e - ÷Å‚
Ä
u (t ) = Ri (t ) =U
Ä
R
u (t ) =Ue
L
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
t = 0 u (0) =U
t = 0 u (0) = 0
L
R
t " u = 0
t " u =U
Lu
Ru
16
Analogie pomiędzy układem RC i RL
Analogie pomiędzy układem RC i RL
Układ RC Układ RL
L
Ä =
Ä = RC
R
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ t
t ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ u (t ) = U - exp - ÷Å‚
u (t ) = U - exp - ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚
R
C
ìÅ‚1 ÷Å‚
ìÅ‚1 ÷Å‚
Ä
Ä
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Napięcie na rezystorze
Napięcia na kondensatorze
(również kształt prądu)
t
t öÅ‚
öÅ‚
u (t ) =U expëÅ‚- ÷Å‚
u (t ) =U expëÅ‚- ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚
L
R
Ä
Ä
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Napięcia na rezystorze Napięcia na cewce
(również kształt prądu)
17
Wnioski z analizy układu szeregowego RL
Wnioski z analizy układu szeregowego RL
Czwórnik LR ma identyczne własności jak czwórnik RC, natomiast
czwórnik RL ma identyczne własności jak czwórnik CR (analogie
pomiędzy układami), pod warunkiem, że stałe czasowe układów są
równe co do wartości.
Jednakże ze względów technologicznych czwórniki zawierające cewki
rzadko są wykorzystywane do budowy układów elektronicznych
(np. filtrów).
Sygnał napięcia na rezystorze w układzie RC i napięcia na cewce w
układzie RL realizuje funkcję różniczkowania, gdyż wejściowy impuls
prostokÄ…tny zamieniany jest na tych elementach na impuls szpilkowy
(bierny układ różniczkujący).
18
L
R
uwy(t)
Przykład -
Przykład -
uwe(t)
C
Układ RLC
Układ RLC
u (t ) = u (t ) +u (t ) +uC (t )
we R L
u (t ) = Ri (t )
R
di (t )
u (t ) = L
L
duC d2uC
dt
u (t ) = RC + LC +uC (t )
we
2
dt
duC (t )
dt
i (t ) = C
dt
d2uC duC
R 1
u (t ) = + + uC (t )
we
2
L dt LC
dt
19
Rozwiązanie równania różniczkowego
Rozwiązanie równania różniczkowego
jednorodnego drugiego rzędu opisującego własności
jednorodnego drugiego rzędu opisującego własności
układu RLC
układu RLC
Aby rozwiązać nasze równanie różniczkowe należy
znalez
ć pierwiastki równania charakterystycznego
R 1
2
s + s + = 0
L LC
W zależności od znaku " wyróżniamy trzy typy rozwiązań
2
R 1
ëÅ‚ öÅ‚
" = - 4
ìÅ‚ ÷Å‚
L LC
íÅ‚ Å‚Å‚
20
Trzy typy składowych swobodnych układu RLC
Trzy typy składowych swobodnych układu RLC
-s1t -s2t
RozwiÄ…zanie aperiodyczne
uCp = C e +C e
1 2
L
s1 i s2
gdzie sÄ… pierwiastkami
" > 0 Ò! R > 2
C
równania charakterystycznego
RozwiÄ…zanie aperiodyczne krytyczne
R
- t
2L
L
uCp = (C +C t )e
1 2
" = 0 Ò! R = 2
C
Á t
uCp = Ae sin(ÉN t +Ä…)
RozwiÄ…zanie oscylacyjne
Pulsacja własna
L
stała tłumienia
(charakterystyczna) układu
" < 0 Ò! R < 2
C
R
1
2
Á = -
ÉN = - Á
2L
LC
21
Sygnał skoku jednostkowego
Sygnał skoku jednostkowego
Każdy z przedstawionych układów został podłączony w chwili t=0 do
napięcia stałego, które teoretycznie trwa nieskończenie długo.
W teorii sygnałów tego typu sygnał wejściowy zdefiniowany jest za
pomocą tzw. skoku jednostkowego określonego poprzez parę wzorów:
1
1 dla t e" 0
1(t ) =
0 dla t < 0 t
Dowolny sygnał skokowy (np. napięciowy) otrzymujemy oczywiście z
zależności
U
U1(t)
t
22
Idealny impuls prostokÄ…tny i jego parametry
Idealny impuls prostokÄ…tny i jego parametry
Sygnał skoku jednostkowego jest sygnałem teoretycznym, który nie
można zrealizować praktycznie. Chcąc badać odpowiedz
układów na
skok jednostkowy, wykorzystujemy impuls prostokątny lub całą ich
seriÄ™.
23
Rzeczywisty impuls prostokÄ…tny
Rzeczywisty impuls prostokÄ…tny
i jego parametry
i jego parametry
24
Seria impulsów prostokątnych (fala prostokątna)
Seria impulsów prostokątnych (fala prostokątna)
Taka funkcja jest zaimplementowana w programie PSpice. Jeśli chcemy
obserwować stan ustalony układu to szerokość impulsu prostokątnego powinna
być odpowiednio duża.
25