WYKA
AD 4 CAA
KA NIEOZNACZONA
Def. 5.1 (funkcja pierwotna)
Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X, jeżeli
/
F (x) = f (x) dla każdego x " X.
Uwaga. Nie każda funkcja posiada funkcję pierwotną. Ponadto funkcja pierwotna funkcji
2
ex sin x
elementarnej nie musi być funkcją elementarną, np. dla funkcji ex , , , ich funkcje pierwotne
x x
nie są funkcjami elementarnymi.
Tw. 5.2 (podstawowe o funkcjach pierwotnych)
Niech funkcja F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X. Wtedy
a) funkcja G(x) = F(x) +C, gdzie C " R, jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X,
b) każdą funkcję pierwotną funkcji f na przedziale X można przedstawić w postaci sumy F(x)+D,
gdzie D " R.
Tw. 5.3 (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)
Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale X, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale.
Def. 5.4 (całka nieoznaczona)
Niech funkcja F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X. Całką nieoznaczoną funkcji f
na przedziale X nazywamy zbiór funkcji
{F(x) + C : C " R}.
Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczmy przez f (x)dx .
+"
Fakt 5.5 (całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych)
Funkcja Całka nieoznaczona Zakres zmienności
0 C x " R
n " N *" {0}, x " R
xn xn+1
+ C
n + 1
p p+1
p " {-2, -3, -4, ...}, x `" 0
x x
+ C
p + 1
ą " R \ {-1}, x > 0
xą xą +1
+ C
ą + 1
1 x `" 0
ln x + C
x
x x
0 < a `" 1, x " R
a a
+ C
ln a
x " R
ex ex + C
sin x - cos x + C x " R
cos x sin x + C x " R
x `" kĄ , gdzie k " Z
1 - ctg x + C
2
sin x
Ą
1 tg x + C
x `" + kĄ , gdzie k " Z
2
cos2 x
1 arctgx + C x " R
1 + x2
1 arcsin x + C
x <1
1 - x2
Uwaga. W powyższej tabeli symbol C oznacza dowolną stałą rzeczywistą.
Tw. 5.6 (o liniowości całki nieoznaczonej)
Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne na przedziale X �" R, to
a) funkcja f ą g ma funkcję pierwotną na przedziale X oraz
f (x)dx ą g(x)dx dla każdego x " X,
+"( f (x) ą g(x))dx = +" +"
b) funkcja cf, gdzie c jest dowolną stałą, ma funkcję pierwotną na przedziale X oraz
f (x)dx dla każdego x " X.
+"cf (x)dx = c+"
Tw. 5.7 (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale X �" R, to
/ /
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) - f (x)g(x)dx dla każdego x " X.
+" +"
Tw. 5.8 (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli
1. funkcja f :T R jest ciągła na T,
2. funkcja jest ciągła i ma ciągłą pochodną na X,
� : X T
to
/
f �(x) � (x)dx = f (t)dt , gdzie t = � x .
( ) ( )
+" +"
Uwaga. Po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku wrócić do podstawienia
t = � x .
( )
CAA
KOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Def. 5.9 (funkcja wymierna właściwa)
L(x)
Funkcję wymierną W (x) = nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest
M (x)
mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.
Uwaga. Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu (być może
równego zeru) i funkcji wymiernej właściwej.
Def. 5.10 (ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju)
Funkcję wymierną właściwą postaci
A
n
x
( - a
)
gdzie n " N oraz a, A " R, nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.
Funkcję wymierną właściwą postaci
Px + Q
n
(x2 + px + q)
gdzie n " N oraz p, q, P, Q " R oraz - 4q <0 , nazywamy ułamkiem prostym drugiego
"= p2
rodzaju.
Tw. 5.11 (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Niech W będzie funkcją wymierną właściwą oraz niech mianownik tej funkcji ma rozkład na
czynniki postaci:
m1 ms
n1 nr
(x - a1) �" ... �" (x - ar ) �"(x2 + p1x + q1) �" ... �"(x2 + ps x + qs ) ,
gdzie r, s " N ni " N ai " R 1 d" i d" r m " N p , q " R " = p2 - 4q < 0 1 d" j d" s .
, , dla oraz , , dla
j j j j j j
Wtedy
�łłł
A1 A2 An
1
W (x) = +...
�ł(x - a1) + (x - a1)2 +& + (x - a1)n śł
1
�ł�ł
�łłł
B1 B2 Bn
r
+ +
�ł(x - ar ) + (x - ar )2 +& + (x - ar )n śł
r
�ł�ł
�ł
Pm x + Qm łł
Px + Q1 P2x + Q2
1 1 1
�łśł
+++& + + ...
m1
�ł
x2 + p1x + q1 x2 + p1x + q1 2
()
x2 + p1x + q1 śł
() ()
�ł�ł
�ł
Rm x + Sm łł
Rx + S1 R2x + S2
1 s s
�łśł
+++& +
ms
�ł
x2 + psx + qs x2 + psx + qs 2
()
x2 + psx + qs śł
() ()
�ł�ł
gdzie A1, & , B1, & , P1, Q1, & , R1, S1, & są odpowiednio dobranymi liczbami rzeczywistymi.
Uwaga. Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych pierwszego i drugiego
rodzaju.
Całki ułamków prostych pierwszego rodzaju
A
Wyznaczamy całki ułamków prostych pierwszego rodzaju , n"N, a, A"R.
n
x
( - a
)
2
f x
( )
1). Niech n=1. Wykorzystujemy tu wzór dx =ln f x + C i otrzymujemy
( )
+"
f x
( )
Adx dx
= A = Aln x - a + C .
+"+"
x - a x - a
2). Niech n > 1. Korzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.
x - a = t
Adx dx dt t-n+1 A
-n
= A = A = A dt = A + C = - + C .
nn n-1
+"+" +" +"t
dx = dt tn -n +1
x
( - a x n
) ( - a
) ( -1 x - a
)( )
Całki ułamków prostych drugiego rodzaju
Px + Q
Wyznaczamy całki ułamków prostych drugiego rodzaju , gdzie n " N oraz p, q, P,
n
(x2 + px + q)
Q " R oraz - 4q < 0 .
"= p2
1). Niech n=1.
Px + Q dx 2x + p dx - pP dx
( ) ( ) 2Q
P
=+ =
+"+" +"
x2 + px + q 2 x2 + px + q 2 x2 + px + q
.
P 2Q - pP 2x + p
= ln x2 + px + q + arctg + C
()
2
4q - p2 4q - p2
dx
Aby wyznaczyć całkę musimy trójmian kwadratowy zapisać w postaci kanonicznej,
+"
x2 + px + q
tj.
�ł�ł p �ł2 -" łł
ax2 + px + q = a x + + , gdzie - 4qa < 0 .
"= p2
�ł�ł �ł śł
�ł�ł 2a łł 4a2 śł
�ł�ł
Otrzymujemy (dla a =1 )
4q - p2
p
4q - p2
x + = t
dt
dx dx 2 dt
2 2
2
== = =
2
+"+" +" +"
x2 + px + q 4q - p2
p 4q
�ł �ł - p2
4q - p2
t2 +1
x + + ( )4q - p2 t2 +1
2).
�ł �ł dx = dt
4
24
�ł łł
2
22 2x + p
= arctgt + C = arctg + C
4q - p2 4q - p2 4q - p2
Niech n > 1.
Px + Q dx 2x + p dx
( ) ( ) 2Q - pP dx
P
=+ =
nn n
+"+" +"
22
x2 + px + q x2 + px + q x2 + px + q
() () ()
.
1-n - pP
P 2Q dx
= x2 + px + q +
()
n
+"
2 1- n 2
( )
x2 + px + q
()
Pierwsza z całek wyznaczona jest następująco
2x + p dx x2 + px + q = t 1-n
( ) dt t-n+1 1
= = + C = x2 + px + q + C .
()
n
+"+"
2x + p dx = dt tn -n +1 1- n
( )
x2 + px + q
()
Dla drugiej całki stosujemy poniższy wzór rekurencyjny
dx 1 x 2n - 3 dx
=+.
nn-1
+"+" n-1
2 n -1
x2 +11+ x2 2n - 2 1+ x2
( )( ) ( ) ( )
CAA
KOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
Fakt 5.12 (całkowanie funkcji postaci sinn x cosm x , n, m" N )
1). n, m" N i przynajmniej jedna z potęg jest nieparzysta. Na przykład niech m=2k+1, wówczas
sin x = t
kk k
n n n n
I = x cosm xdx = x cos2 x cos xdx = x 1- sin2 x cos xdx = 1- t2 dt
( ) ( ) ( )
+"sin +"sin +"sin +"t
cos xdx = dt
Uwaga Analogicznie postępujemy, gdy n=2k+1 lub gdy obydwa wykładniki są nieparzyste.
2). n, m" N oraz n i m są liczbami parzystymi. Wówczas przekształcamy następująco
l k
2k 2k 2k
1- cos2 x cos2l xdx .
() ()
+"sin x cos2l xdx = +"sin x 1- sin2 x dx lub +"sin x cos2l xdx = +"
Następnie stosujemy odpowiedni wzór rekurencyjny
1 n -1
n n-1 n-2
+"sin xdx = - n cos x sin x + n +"sin xdx , n e" 2,
1 n -1
n n-2
+"cos xdx = n sin x cosn-1 x + n +"cos xdx , n e" 2.
Fakt 5.13 (całkowanie funkcji postaci R(sinx,cosx,tgx))
Do obliczania całek postaci
R(sin x,cos x,tgx)dx
+"
gdzie R jest funkcją wymierną, stosujemy następujące podstawienie (tzw. podstawienie
uniwersalne)
x
tg = t .
2
Wówczas
2dt 2t 1- t2 2t
dx = , sin x = , cos x = , tgx = .
1+ t2 1+ t2 1+ t2 1- t2
Stosując powyższe podstawienie otrzymujemy całkę funkcji wymiernej.
CAA
KOWANIE FUNKCJI Z NIEWYMIERNOŚCIAMI
p1 p2 pk
�ł�ł
ax + b ax + b ax + b
�ł
Fakt 5.14 (całki postaci R x,�ł �ł q1 ,�ł �ł q2 ,...,�ł �ł qk �łdx )
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
+"
�ł�ł
cx + d cx + d cx + d
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł�ł
�łłł
Dla całki postaci
p1 p2 pk
�ł�ł
ax + b ax + b ax + b
�ł
R x,�ł �ł q1 ,�ł �ł q2 ,...,�ł �ł qk �łdx
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
+"
�ł�ł
cx + d cx + d cx + d
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł�ł
�łłł
gdzie R- funkcja wymierna, stosujemy następujące podstawienie
ax + b
= tS
cx + d
gdzie s = NWW q1, q2,..., qk a następnie obliczamy x oraz dx
{ }
Wn x
( )
Fakt 5.15 (całki postaci dx )
+"
ax2 + bx + c
Wn x
( )
Dla całki postaci dx , gdzie Wn x - wielomian n- tego stopnia, stosujemy metodę
( )
+"
ax2 + bx + c
współczynników nieoznaczonych, tzn. całkę zapisujemy następująco
Vn-1(x) - wielomian (n-1)-ego stopnia o współczynnikach nieoznaczonych. W celu wyznaczenia
współczynników wielomianu Vn-1(x) oraz stałej  różniczkujemy obustronnie powyższą
tożsamość i otrzymujemy
następnie mnożymy obustronnie przez ax2 + bx + c i otrzymujemy
Otrzymujemy równość dwóch wielomianów. Porównując współczynniki przy zmiennej w tej samej
potędze uzyskujemy współczynniki wielomianu Vn-1(x) oraz wartość stałej  .
Ostatnim etapem jest obliczenie I1
dx
I1 =
+"
ax2 + bx + c
Całkę I1 da się sprowadzić do jednej z dwóch postaci w zależności od znaku współczynnika a
dx
+"
ax2 + bx + c
a > 0
a < 0
dt
dt
= ln t + t2 + p + C
= arcsin t + C
+"
+"
t2 + p
1- t2
Fakt 5.16 (ważniejsze wzory dla całek funkcji z niewymiernościami)
Wzór Założenia
dx x
x < a
= arcsin + C
+"
a2 - x2 a
dx
x2 + k > 0
= ln x + x2 + k + C
+"
x2 + k
xa2 x x d" a
a2 - x2 dx = a2 - x2 + arcsin + C
+"
22 a
x2 xa2 x x < a
dx =- a2 - x2 + arcsin + C
+"
a
a2 - x2 22
xk
x2 + k e" 0
x2 + kdx = x2 + k + ln x + x2 + k + C
+"
22
x2dx x k x2 + k > 0
= x2 + k - ln x + x2 + k + C
+"
x2 + k22