OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów
Sierpień 2011
Sierpień 2011
wykład 12
wykład 12
Składowe symetryczne
Dowolny ( niesymetryczny ) układ napięć mo\
na rozło\
yć na
napięcia trzech generatorów o kolejności zgodnej, przeciwnej i zerowej.
U U2
U U1
0
L1
L1 L1
U
U1
U
L2 U
0
2
L2
L2
a"
U U
U
L3 0 U
2
1
L3
L3
Składowe symetryczne
UL3
UL1
U = U +U +U
L1 0 1 2
U = U + a2U + aU
L2 0 1 2
UL2
U = U + aU + a2U
L3 0 1 2
U
L10
U
U
L1,2
L1,3
U
L20
U
L30
U
L1,1
+
U
+
L1,1
U
L1,3
U
L1,2
a"
Składowe symetryczne
w postaci macierzowej
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
U U
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
L1 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚U śł ïÅ‚U śł
czyli U = S U
= [ ] [ ][ ]
L2 ïÅ‚1 a2 a śł 1 Li i
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚1 a a2 śł
ïÅ‚U L3 śł ïÅ‚U 2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
U = U - macierz skladowych niesymetrycznych
[ ] [ ]
Li
gdzie
U = U - macierz skladowych symetrycznych
[ ] [ ]
i
S
S - macierz przeksztacenia skladowych niesymetrycznych
[ ]
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 a2 śł
S = a
[ ]
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚1 a a2 śł
ûÅ‚
Składowe symetryczne
Przekształcenie odwrotne  z napięć UL1, UL2, UL3 wyznaczyć U0, U1, U2
dodając stronami równania i dzieląc przez 3 otrzymamy
U0=1/3(UL1 + UL2 + UL3 )
mno\
ąc równania przez a2 , dodając i dzieląc przez 3 otrzymamy
U1=1/3( UL1 + aUL2 + a2UL3 )
mno\
ąc równania przez a , dodając i dzieląc przez 3 otrzymamy
U2=1/3( UL1 + a2UL2 + aUL3 )
Składowe symetryczne
1
U = U +U +U
( )
0 L1 L2 L3
3
-1
U = S U
[ ] [ ] [ ]
1
i Li
czyli
U = U + aU + a2U
( )
1 L1 L2 L3
3
1
U = U + a2U + aU
( )
2 L1 L2 L3
3
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
gdzie
1
-1
ïÅ‚1 a
S = a2 śł
[ ]
ïÅ‚ śł
3
ïÅ‚
ðÅ‚1 a2 a śł
ûÅ‚
Składowe symetryczne
składowa przeciwna jest z
ródłem pola wirującego w przeciwnym kierunku
 zjawisko niekorzystne
stopień niesymetrii napięciowej w %
U2
100%
U1
na ogół wymaga się aby był mniejszy od 5%
Składowe symetryczne
Szczególne przypadki:
Zasilanie 3-fazowe symetryczne, to:
U0=0; U1=UL1; U2=0
w układzie 3-przewodowym
3
= 0 I = 0
"I Li 0
i=1
napięcia międzyfazowe
3
"U = 0 U = 0
Lij 0
i=1
j=2
Składowe symetryczne
Prawo Ohma dla składowych symetrycznych
- ogólnie dla odbiorników niesymetrycznych
U Z Z Z I
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
L1 L1 L12 L13 L1
czyli
ïÅ‚U śł ïÅ‚Z śł ïÅ‚I śł
U = Z I
[ ] [ ][ ]
= Z Z
L2 L21 L2 L23 L2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Z Z ale
L31 L32 L3 L3
L3 ûÅ‚ ðÅ‚Z
ðÅ‚U śł ïÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚I ûÅ‚
[U]=[S] [U]S oraz [I]=[S] [I]S
stÄ…d
[S] [U]S=[Z] [S] [I]S
[U]S=[S]-1[Z] [S] [I]S
gdzie
[Z]S=[S]-1[Z] [S]
Z
[U]S=[Z]S [I]S
macierz impedancji składowych symetrycznych
Składowe symetryczne
Z Z Z
îÅ‚ Å‚Å‚
0 01 02
ïÅ‚Z
Z = Z1 Z12 śł
[ ]
10
S
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Z Z
20 21 2
ðÅ‚Z ûÅ‚
w przypadku symetrii odbiornika lub generatora symetrycznego, tj.
ZL1 =ZL2 =ZL3
ZL12 = ZL23 = ZL31 oraz ZL21 = ZL32 = ZL13
ogólnie
ZL12 `"ZL21 ( np. generatory )
wówczas [Z]S jest macierzą diagonalną
Składowe symetryczne
Z 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
0
ïÅ‚ śł
Z = 0 Z1 0
[ ]
S
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 Z
2
ðÅ‚ ûÅ‚
przy czym
Z = Z + Z + Z
0 L1 L12 L21
Z1 = Z + a2 Z + aZ
L1 L12 L21
Z = Z + aZ + a2 Z
2 L1 L12 L21
wniosek, gdy:
Z `" Z Ò! Z1 `" Z
Z = Z Ò! Z1 = Z
L12 L21 2
L12 L21 2
Składowe symetryczne
z diagonalności macierzy [Z]S, tj. w przypadku symetrii odbiornika
wynika,\
e
[U]S=[Z]S [I]S
U = Z I
0 0 0
U1 = Z1I1
U = Z I
2 2 2
przy symetrii następuje separowanie składowych, co ma
podstawowe znaczenie dla obliczeń.
Składowe symetryczne
U = Z I
0 0 0
U1 = Z1I1
U = Z I
2 2 2
ogólnie przy symetrii odbiornika
Z I Z1I1 Z I
0 0 2 2
L1 Z
L1
M12 M21 M31
Z I Z1I1
0 0 Z I
2 2
L2 Z
L2
a"
M23
M23
M13 Z1I1
Z I Z I
0 0 2 2
L3 Z
L3
N
Składowe symetryczne
Pomiar impedancji własnych składowych silnika
1. pomiar impedancji silnika składowej zerowej
I
0
I
L1
I
0
S
I
0
3I
0
U
0
U0 UV 3UV
Z = = =
0
IA
I0 ëÅ‚ öÅ‚ IA
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
PW
cosÕ0 =
UV IA
jÕ0
Z = Z0e
0
Składowe symetryczne
2. Pomiar impedancji dla składowej zgodnej
EL1 = U1
I1
EL2 = a2U1 U = I1Z1 = U1
L1
a2 I1
S
U = a2 I1Z1 = a2U1
L2
EL3 = aU1
aI1
U = aI1Z1 = aU1
L3
U1 UV
Z1 = =
I1 IA
PW
cosÕ1 =
UV IA
jÕ1
Z1 = Z1e
Składowe symetryczne
3. pomiar impedancji dla składowej przeciwnej
EL1 = U
2
I
2
U = I Z = U
L2 2 2 2
U = a I Z = a U
EL2 = a U
L2 2 2 2
2
a I
2
S
U = a2 I Z = a2U
L3 2 2 2
EL3 = a U
2
a2 I
2
U2 UV
Z = =
2
I2 IA
PW
cosÕ2 =
UV IA
silnik obracamy przeciw polu
jÕ2
Z = Z2e
2
ogólnie Z1`"Z2
Składowe symetryczne
Moc w metodzie składowych symetrycznych
S = U I* +U I* +U I* =
L1 L1 L2 L2 L3 L3
T *
T *
= U I = S U S I =
[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ]
( ) ( )
S S
T T * * T *
= U S S I = 3 U I =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
S S S S
*
= 3 U I* +U1I1 +U I*
( )
0 0 2 2
zatem
*
P = Re 3U I* + Re 3U1I1 + Re 3U I* = P0 + P1 + P2
{ } { } { }
0 0 2 2
*
Q = Im 3U I* + Im 3U1I1 + Im 3U I* = Q0 + Q1 + Q2
{ } { } { }
0 0 2 2
Składowe symetryczne
Obliczanie zakłócenia poprzecznego metodą składowych symetrycznych
EL1
Z1S ; Z ; Z
2S 0S
EL2
EL3
Z1G; Z ; Z
2G 0G
I I I
L1 L2 L3
Z1L; Z ; Z
2L 0L
Z
NS
Z
NG
U
L1
ObciÄ…\
enie niesymetryczne przedstawia siÄ™ jako trzy generatory U0; U1; U2
Składowe symetryczne
Stosuje siÄ™ zasadÄ™ superpozycji
1. Schemat dla składowej zgodnej
E1
Z1G + Z1L
Z1S
a2 E1
Z1G + Z1L Z1S
aE1 Z1G + Z1L
Z1S
a2U1
aU1
U1
I1
a2 I1
aI1
schemat jednofazowy
Składowe symetryczne
schemat jednofazowy
E1
Z1G + Z1L
Z1S
I1
U1
I1S
I1G
lub
E1zast
Z1zast I1
U1
Składowe symetryczne
2. schemat dla składowej przeciwnej
Z + Z
2G 2L Z
2S
I
2
U I
2 2S
I
2G
schemat zastępczy
Z I
2zast 2
U
2
Składowe symetryczne
3. schemat dla składowej zerowej
Z + Z
0G 0L Z
0S
Z + Z Z
0G 0L 0S
Z + Z
0G 0L Z
0S
U
0
U
0
U
Z
0 NS
Z
NG
I I I
0 0 0
3I
0S
3I
0G
Składowe symetryczne
schemat jednofazowy
Z
0S
Z + Z
0G 0L
I
0
3Z
NS
3Z
U
NG
0
I
0S
I
0G
schemat zastępczy
Z I
0zast 0
U
0
Składowe symetryczne
ka\
demu schematowi odpowiadajÄ… :
- dwa równania oczkowe
- jedno równanie węzłowe
schematyczne przedstawienie sieci dla
składowych zgodnych (+), przeciwnych (-) i zerowych (0)
I1 I I
(+) (-) (0)
2 0
U
U1 U
0
2
zgodnie z tw. Thevenina istniejÄ… takie schematy
Składowe symetryczne
przykłady
jednofazowe zwarcie doziemne
L1
I = 0
L2
L2
I
L1
I = 0
L3
L3
U
L1
Z
U
U U = Z I
L3
L2
L1
L1
I1 = I = I ; I = 3I
2 0 L1 0
to
U = U +U1 +U = Z I + I1 + I = 3Z I
( )
L1 0 2 0 2 0
Składowe symetryczne
(+)
U1
I = I1 = I
0 2
I1
Analiza:
jednakowy prąd  połączenie szeregowe
(-)
suma napięć -jedno oczko
3Z
U
2
wniosek  połączenie szeregowe
I
2
(0)
U
0
Składowe symetryczne
EL1 = E1 Z1G + Z1L
np. poprzedni układ przy odłączonym silniku
U1
I
0
E1 = Z1G + Z1L I +U1
Z + Z ( )
2G 2L 0
3Z
0 = Z + Z I +U
( )
2G 2L 0 2
U
0 = 3Z + Z + Z I +U
( )
3Z + Z + Z
NG 0G 0L 0 0
NG 0G 0L
U
I = 3I
L1 0
E1
I =
0
Z1G + Z + Z + Z1L + Z + Z + 3Z + 3Z
( )
2G 0G 2L 0L NG
EL1
I =
L1
Z1G + Z + Z Z1L + Z + Z
2G 0G 2L 0L
+ + Z + Z
NG
3 3
Składowe symetryczne
Zwarcie doziemne dwóch przewodów
L1
L2
L3
I = 0
I
L1
L2 I
L3
U = I + I Z
( )
Z
L2 L3
L2
U = I + I Z
( )
L3 L2 L3
to
Składowe symetryczne
1. I = 0 I + I1 + I = 0
L1 2
0
2. U = U a2 U1 + aU = aU1 + a2U
L2 L2 2 2
a2 - a U1 = a2 - a U
( ) ( )
2
U1 = U
2
U = U = U + a2U1 + aU = U + a2U1 + aU1 =
L2 L2 0 2 0
=U + a2 + a U1 = U -U1
( )
0 0
3. U = I + I + I Z = 3I Z
( )
L2 L2 L3 L1 0
Analiza
węzeł I1+I2+I0=0
wspólne napięcie U1=U2 - to połączenie równoległe
oczko U1 + 3 Z I0  U0=0
Składowe symetryczne
I
0
I1
3Z
I
2
(+) (-) (0)
U
U1 U
0
2
Składowe symetryczne
Obliczanie awarii podłu\
nej
U
L1
I I
L1 L1
U
L2
I I
L2 L2
a"
U
L3
I
L3
I
L3
schematy zgodnie z tw. Thevenina dla składowych
+ - 0
( ) ( ) ( )
U
U1 U
0
2
I1 I I
2 0
Składowe symetryczne
np. przerwa w jednym przewodzie
U
L1
I
L1
I = 0
L1
I
L2
U = 0
L2
I
L3
U = 0
L3
to
Analiza
U = U1 = U
0 2
oczko
węzeł
I + I1 + I = 0
0 2
połączenie równoległe
Składowe symetryczne
Przykład : Zwarcie jednofazowe na zaciskach prądnicy.
Dane: - zasilanie symetryczne  zgodne.
Wyznaczyć wskazania amperomierza i woltomierza.
Równania opisujące awarię:
EL1
a2 EL1
U = 0
L1
aEL1
IL1
I = 0
L2
I = 0
L3
Składowe symetryczne
czyli
U +U +U = 0
0 1 2
I0 + a2 I1 + aI = 0
2
I0 + aI1 + a2 I = 0
2
dodajÄ…c i odejmujÄ…c stronami , otrzymamy
I0 = I1 = I
2
uwzględniając
E0 = 0, E1 = EL1 , E2 = 0
Składowe symetryczne
schematy dla składowych symetrycznych przyjmują postać
Z0 = Z0g + 3ZNg E1 = EL1
Z2 = Z2g
E0= 0
E2= 0
I0 I2
U0 U2
stąd równania odpowiadające
U = -Z0 I0
0
U = EL1 - Z1I1
1
U = -Z I
2 2 2
Składowe symetryczne
po podstawieniu , otrzymujemy
EL1
-Z0 I0 + EL1 - Z1I1 - Z I = 0 Ò! I0 = I1 = I =
2 2 2
Z0 + Z1 + Z
2
stÄ…d obliczamy
3EL1
I = I0 + I1 + I =
L1 2
Z0 + Z1 + Z
2
Z0 Z0 + Z Z
2 2
U = - EL1 , U = EL1 , U = - EL1
0 1 2
Z0 + Z1 + Z Z0 + Z1 + Z Z0 + Z1 + Z
2 2 2
-Z0 + a Z0 + Z - a2 Z
( ) aZ - Z0
2 2
2
U = U0 + aU1 + a2U = EL1 = 1- a EL1
( )
L3 2
Z0 + Z1 + Z Z0 + Z1 + Z
2 2
Składowe symetryczne
czyli ostatecznie
3EL1 aZ - Z0
2
IL1 = I = Uv = U = 3 EL1
L1 L3
Z0 + Z1 + Z Z0 + Z1 + Z
2 2
Składowe symetryczne
Filtry składowych symetrycznych
Składowa zerowa napięcia
L1 L1
L2 L2
L3 L3
N
N
L1
L2
L3
N
Składowe symetryczne
składowa zerowa prądu
L1
L2
w układzie 4-przewodowym
L3
N
przekładnik Ferrantiego
Składowe symetryczne
Składowa przeciwna prądu
w układzie 3-przewodowym I0=0
to
I I
L1 L2 Z I Z Z I
I L1 L1 L1 L2 L2
L1
Z
I
L2
L2
Z Z
L1 L2
Z
L1
Z
L2
Z I1 + I + Z a2 I1 + aI
( )
( )
Z I + Z I L1 2 L1 2
L1 L1 L2 L2
I = =
amp
Z + Z + Z Z + Z + Z
L1 L2 amp L1 L2 amp
I1 Z + a2 Z + I Z + aZ
( )
( )
L1 L2 2 L1 L2
I =
amp
Z + Z + Z
L1 L2 amp
Składowe symetryczne
ëÅ‚ öÅ‚
1 3
Z + a2 Z = 0 Z = -a2 Z = -ìÅ‚ - - j Z
( ) ÷Å‚
filtr I2 gdy
L1 L2 L1 L2 L2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 3
Z = + j Z
ìÅ‚ ÷Å‚
L1 L2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
przyjmujÄ…c
Z = R
L2
ëÅ‚ öÅ‚
1 3 R R 3
Z = + j Z = + j
ìÅ‚ ÷Å‚
L1 L2
R 3
ìÅ‚ ÷Å‚
R
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2 R
2
to
Z + aZ
L1 L2
Iamp = I2 = kI2
Z + Z + Z
L1 L2 amp
Składowe symetryczne
składowa zgodna prądu ( I1 )
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 3
Z + aZ = 0 Z = - Z = -a2 Z = -ìÅ‚ - - j Z
( )
÷Å‚
L1 L2 L2 L1 L1 L2
ìÅ‚ ÷Å‚
a 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 3
Z = + j Z przyjmujÄ…c
ìÅ‚ ÷Å‚
L2 L1
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Z = R
L1
ëÅ‚ öÅ‚
1 3 R R 3
Z = + j Z = + j
ìÅ‚ ÷Å‚
L2 L2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
to
R 3
R
R
2
2
Z + a2 Z
L1 L2
Iamp = I1 = kI1
Z + Z + Z
L1 L2 amp
Składowe symetryczne
składowa przeciwna napięcia
1 1
U + U
L12 L23
Z Z
L12 L23
U = =
wolt
1:1
1 1 1 1:1
+ +
Z Z Z
L12 L23 wolt
Z
Z L23
L12
1 1
U1 +U + a2U1 + aU
( )
( )
2 2
Z Z
L12 L23
= =
1 1 1
+ +
Filtr U2 gdy
Z Z Z
L12 L23 wolt
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ 1 a2
1 a2 1 a
U1 ìÅ‚ + +U +
+ = 0
÷Å‚ 2 ìÅ‚ ÷Å‚
Z Z Z Z
íÅ‚ L12 L23 Å‚Å‚ íÅ‚ L12 L23 Å‚Å‚
Z Z
= L12 L23
1 1 1
+ +
Z = -a2 Z =
Z Z Z
L23 L12
L12 L23 wolt
ëÅ‚ öÅ‚
1 3
= + j Z
ìÅ‚ ÷Å‚
L12
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Składowe symetryczne
przyjmujÄ…c
Z = R
L12
ëÅ‚ öÅ‚
1 3
Z = + j R 1:1
ìÅ‚ ÷Å‚
L23
1:1
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
R
R
2
V
ëÅ‚ öÅ‚
R R 3
= + j
ìÅ‚ ÷Å‚
R 3
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
wowczas
ëÅ‚ öÅ‚
1 a
+
ìÅ‚ ÷Å‚
Z Z
íÅ‚ L12 L23 Å‚Å‚
Uwolt = U2 = kU2
1 1 1
+ +
Z Z Z
L12 L23 wolt
przyjmujÄ…c
Składowe symetryczne
Filtr U1 gdy
Z = R
L23
ëÅ‚ öÅ‚
1 a
1 3
+ = 0 Z = + j R
ìÅ‚ ÷Å‚
L13
ìÅ‚ ÷Å‚
Z Z 2 2
L12 L23
íÅ‚ Å‚Å‚
1
ëÅ‚ öÅ‚
R R 3
Z = - Z = -a2 Z =
L12 L23 L23
= + j
ìÅ‚ ÷Å‚
a
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 3
wowczas
= + Z
ìÅ‚ ÷Å‚
L23
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 a2
+
ìÅ‚ ÷Å‚
Z Z
íÅ‚ L12 L23 Å‚Å‚
Uwolt = U1 = kU1
1 1 1
+ +
Z Z Z
L12 L23 wolt
1:1
1:1
R
R
2
V
R 3
2
Składowe symetryczne
inne rozwiązanie filtra składowej zgodnej i przeciwnej napięcia
Napięcie na zaciskach wejściowych filtru jest proporcjonalne
2
= 0,385
( ) do składowej zgodnej lub przeciwnej w zale\
ności od poło\
enia
3 3
przełącznika w1.
Egzamin
EGZAMIN Z OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH, 30.06.2010
Nazwisko ImiÄ™ Nr indeksu
Skrótowa legenda poleceń: Podaj  wzory, Opisz, Wyjaśnij  słownie, Wyznacz  wyprowadz
,wylicz
Nr Treść pytania / Odpowiedz
Punktacja
1 1
2 1
- pytań 15
- punktów 30
- zaliczenie >15
- obowiÄ…zuje dokument ( indeks )
- długopis + kalkulator ( ale nie komórka )
- brudnopis dołączony do zestawu