OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Kurs powtórkowy
Kurs powtórkowy
Sierpień 2011
Sierpień 2011
w8
w8
Obwody magnetycznie sprzÄ™\one
Transformator
Transformator jest układem przetwarzającym napięcie wejściowe na napięcie wyjściowe
za pośrednictwem strumienia magnetycznego, przy braku bezpośredniego połączenia
galwanicznego między zaciskami (wejściowymi i wyjściowymi).
Transformatory mogą być stosowane do ró\nych celów, ale podstawowym ich zadaniem
jest zmiana wartości napięcia wejściowego na inną wartość napięcia wyjściowego.
Mo\e to być zarówno zwiększenie jak i zmniejszenie tej wartości.
Przy zmianie napięcia ulegają odpowiedniej zmianie równie\ prądy w uzwojeniach
transformatora.
Przekazywanie energii elektrycznej z jednego obwodu do drugiego następuje za
pośrednictwem pola elektromagnetycznego (strumienia magnetycznego).
Uzwojenie, do którego zazwyczaj jest doprowadzone zródło energii elektrycznej,
nazywamy uzwojeniem pierwotnym, natomiast uzwojenie, do którego dołączony jest
odbiornik, nazywamy uzwojeniem wtórnym. Zaciski uzwojenia pierwotnego stanowią
wejście układu, a zaciski uzwojenia wtórnego - wyjście. Odpowiednie napięcia i prądy
w transformatorze nazywamy pierwotnymi lub wtórnymi. Wszystkie wielkości i parametry
związane z uzwojeniem pierwotnym będziemy oznaczali indeksem 1,
a wielkości i parametry związane z uzwojeniem wtórnym - indeksem 2.
Obwody magnetycznie sprzÄ™\one
Transformator dwuuzwojeniowy uzwojenie pierwotne i wtórne
Zaciski pierwotne wejściowe
Zaciski wtórne wyjściowe
W zale\ności od środowiska, w jakim zamyka się wytworzony wokół uzwojeń
strumień magnetyczny, rozró\niamy transformatory powietrzne
(rdzeń transformatora wykonany jest z dielektryka o przenikalności magnetycznej
względnej bliskiej jedności) i transformatory z rdzeniem ferromagnetycznym
(rdzeń wykonany jest z materiału ferromagnetycznego).
Transformator idealny -
w1
n =
jest w pełni opisany przez tak zwaną przekładnię zwojową,
w2
określającą stosunek napięcia pierwotnego do wtórnego (przekładnia napięciowa)
na podstawie liczby zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Przekładnia napięciowa transformatora idealnego, niezale\nie od sposobu
wykonania i od obcią\enia, powinna być równa przekładni zwojowej
Obwody magnetycznie sprzÄ™\one
relacja między napięciem pierwotnym i wtórnym jest następująca
U1 w1
= n U1 = U2
U2 w2
zało\enie o braku strat w transformatorze idealnym oznacza, \e moc dostarczona
na zaciski pierwotne równa się mocy na zaciskach wtórnych
*
U1I1 = U I*
2 2
a stąd relacja między prądem pierwotnym i wtórnym transformatora idealnego
1
I1 = I2
n
Obwody magnetycznie sprzÄ™\one
Transformator powietrzny jest układem dwu cewek magnetycznie sprzę\onych,
nawiniętych na korpusie wykonanym z dielektryka o względnej przenikalności
magnetycznej bliskiej jednoÅ›ci ( µr H" 1 )
R2
R1
I1 I2
M
" "
Zo
L1
L2 U2
Indukcyjności własne uzwojeń są U1
oznaczone przez L1 i L2, a indukcyjność
wzajemna przez M, . SprzÄ™\enie
po rozprzęgnięciu schemat zastępczy
magnetyczne tego typu transformatora
nie jest zbyt dobre i charakteryzuje siÄ™
L2 - M
R2 I2
stosunkowo du\ym współczynnikiem
R1 L1 - M
I1
rozproszenia, a zatem małym
współczynnikiem sprzę\enia k
M
Zo
U1 U2
M = k L1L2
Obwody magnetycznie sprzÄ™\one
U1 = R1 + jÉL1 I1 - jÉM I
( )
2
U1 U1
-U = R2 + jÉL2 I - jÉM I1 I1 = Z1we =
( )
2 2
Z1we I1
U = Z I
o 2
2
ze schematu zastępczego
Z1we = R1 + jÉ L1 - M + jÉM R2 + jÉ L2 - M + Z =
( ) ( )
( )
o
jÉM îÅ‚R2 + jÉ L2 - M + Z Å‚Å‚
( )
o
ðÅ‚ ûÅ‚
= R1 + jÉ L1 - M +
( )
R2 + jÉL2 + Z
o
w stanie jałowym Zo "
Z1weo =R1+jÉL1
Obwody magnetycznie sprzÄ™\one
Wykres wskazowy
jÉL2 I2
- jÉM1I2
R2I2
U1
U2 jXo I2
Ro I2
I2
I1
Obwody magnetycznie sprzÄ™\one
Zauwa\my, \e nawet dla transformatora powietrznego współczynnik sprzę\enia
2
k<<1, stąd Oznacza to, \e napięcie
XM = kX1X2 j" X1X2
wyjściowe transformatora zale\y bardzo silnie od prądu obcią\enia, co jest cechą
niepo\ądaną, gdy\ oznacza du\e wahania napięcia wyjściowego przy zmianie
obciÄ…\enia.
Relacja napięciowa między napięciami pierwotnym i wtórnym transformatora idealnego
jest dokładnie realizowana przez transformator powietrzny jedynie w stanie jałowym.
Niestety, obcią\enie transformatora powietrznego powoduje zniekształcenie tej relacji
przez prÄ…d obciÄ…\enia.
W związku z powy\szym transformator powietrzny w stanie obcią\enia nie mo\e być
uwa\any za transformator idealny.
Transformator ferromagnetyczny
Ogromną poprawę własności transformatora uzyskuje się stosując zamiast cewek
powietrznych cewki z rdzeniem ferromagnetycznym (np.. \elazem). Rdzeń
ferromagnetyczny tworzy zamknięty obwód magnetyczny, stanowiący drogę o
małej oporności dla strumienia magnetycznego , powstałego w wyniku działania
zródła pola magnetycznego.
Napięcie wtórne transformatora zale\y wyłącznie od przekładni zwojowej i
napięcia wejściowego układu. Jest to zatem realizacja podstawowej zale\ności
charakterystycznej dla transformatora idealnego.
Czwórniki
I2
I1
1 2
U1
1-1 zaciski wejściowe
U2
2-2 zaciski wyjściowe
I '1 I '2
1' 2'
W odró\nieniu od czwórbiegunnika w czwórniku jest spełniony warunek
I1 = I 1 ; I2 = I 2
Czwórniki są elementami układu łączącymi najczęściej dwójnik zródłowy z
dwójnikiem bezzródłowym.
Czwórniki
Rozwa\ane będą czwórniki:
-liniowe, tzn. między wielkościami U1, U2, I1, I2 zachodzą zale\ności liniowe,
-pasywne wszystkie gałęzie są pasywne ( Re"0; Le"0; Ce"0 ) i gdy nie zawiera zródeł
energii tzn., \e przy dowolnej częstotliwości oddaje więcej energii ni\ pobiera
Re{ U1I*1 U2I*2} e" 0
-odwracalne - spełniona zasada wzajemności
Czwórnik odwracalny mo\e być symetryczny.
Czwórnik jest symetryczny, je\eli nie zmieniają się rozpływy prądów poza czwórnikiem
przy zamianie miejscami zacisków wejściowych i wyjściowych.
Równania czwórnika
równania postaci łańcuchowej
U1=AU2 + BI2
I1=CU2 + DI2
U1=A11U2 + A12I2
I1=A21U2 + A22I2
lub w postaci macierzowej
U1 A B U
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2
=
ïÅ‚ śł ïÅ‚C Dśł ïÅ‚ śł
I1 I
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
U1 A11 A12 U
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2
=
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
I1 A21 A22 śł ïÅ‚ I
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
wielkości : A,B,C,D lub A11,A12,A21,A22 stałe zespolone
Równania czwórnika
Admitancyjne parametry mo\na uzale\nić od parametrów łańcuchowych.
1 A
I = U1 - U2
2
B B
1 A D AD
îÅ‚ ëÅ‚C - öÅ‚U
I1 = CU + D U1 - U2 Å‚Å‚ = U1 +
2 ìÅ‚ ÷Å‚ 2
ïÅ‚ śł
B B B B
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 A
-I = - U1 + U2
2
B B
Ó!
D AD 1 A
Y11 = ;Y12 = C - ;Y = - ;Y =
21 22
B B B B
Równania czwórnika
Czwórnik odwracalny spełnia zasadę wzajemności
I1 I
E
A
U = 0 oraz U1 = 0
2
U1 = E -I = I
2
U = E -I1 = I
I
2
E
A
Równania czwórnika
stÄ…d
I = -I = Y E oraz I = I1 = Y12 E
2 21
StÄ…d
Y21 = Y12
warunek odwracalności
a w języku parametrów łańcuchowych
1 AD
- = C - czyli AD - BC = 1
B B
Równania czwórnika
Czwórniki pasywne są odwracalne
Czwórniki aktywne nieodwracalne
Równania czwórnika symetrycznego nie zmieniają się je\eli zmienią się wielkości
wejściowe
I1 -I ; U1 U
2 2
-I = Y11U + Y12U1
2
2
I1 = Y U + Y U1
21 2 22
I1 = Y U1 +Y U
po uporzÄ…dkowaniu
22 21
2
-I = Y12U1 +Y11U
2 2
przy symetrii
I1 = Y11U1 +Y12U
2
-I = Y U1 +Y U
2 21 22 2
Równania czwórnika
postać admitancyjną
I1 = Y11U1 + Y12U2
-I2 = Y21U1 + Y22U2
I1 Y11 Y12 U1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
I = Y U
= lub
[ ] [ ][ ]
ïÅ‚-I śł ïÅ‚Y śł ïÅ‚U śł
Y
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ 21 22 ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
Y12=Y21 - warunek odwracalności, poznany wcześniej
Y11=Y22 - warunek symetrii
Dla parametrów łańcuchowych
A=D - warunek symetrii
AD-BC=1 warunek odwracalności
Czwórnik symetryczny jest odwracalny.
Czwórnik odwracalny nie musi być symetryczny.
Równania czwórnika
Postać impedancyjna równań czwórnika
U1 = Z11I1 + Z12(-I )
2
U = Z I1 + Z (-I )
2 21 22 2
lub w postaci macierzowej
U1 Z11 Z12 I1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
=
ïÅ‚U śł ïÅ‚Z śł ïÅ‚-I śł
Z
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ 21 22 ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
[U]=[Z][I]
wygodna przy analizie pasywności czwórnika
P1-P2=Re{U1I*1-U2I*2} e" 0
Równania czwórnika
Postać mieszana ( hybrydowa ) równań czwórnika
U1 h11 h12 I1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
=
ïÅ‚ śł ïÅ‚h
I h22 śł ïÅ‚U 2 śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ 21 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Równania czwórnika
Wyznaczanie stałych czwórnika typu T i
T
Z Z
2
I1 Z1 I1
I
I
2
2
Y Y
U1 U1 Y1
U 2 U
2 2
Równania czwórnika
Spośród 4 parametrów macierzy łańcuchowej definiującej czwórnik pasywny 3
sÄ… niezale\ne, gdy\ AD-BC=1
W przypadku czwórnika symetrycznego niezale\ne są dwa parametry gdy\
dochodzi warunek A=D
3 parametry mo\na odwzorować przy pomocy 3 gałęzi impedancyjnych
Połączenie tych impedancji w gwiazdę czwórnik typu T
Połączenie tych impedancji w trójkąt czwórnik typu
Du\o rzeczywistych urządzeń mo\na przedstawić za pomocą jednego z tych
schematów np, transformator
T
I1 = Y U + Z I + I = YU + 1+Y Z I
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
U1 = Z1 îÅ‚YU + 1+ Y Z I Å‚Å‚ +U + Z I =
( )
2 2 2 2
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
= 1+ Y Z1 U + Z1 + Z + Z1Z Y I
( ) ( )
2 2 2
2
U1 = 1+Y Z1 U + Z1 + Z + Z1Z Y I
( ) ( )
2 2 2
2
I1 = YU + 1+ Y Z I
( )
2 2
2
to
A = 1+ Z1Y; B = Z1 + Z + Z1Z Y ; C =Y; D = 1+ Z Y
2 2 2
U1 = Z I + Y U +U = 1+ ZY U + Z I
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
I1 = Y1 îÅ‚Z I + Y U +U Å‚Å‚ +U Y + I =
( )
2 2 2 2 2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
= Y1 + Y + Y1Y Z U + 1+Y Z1 I
( ) ( )
2 2 2 2
U1 = 1+ ZY U + Z I
( )
2 2 2
I1 = Y1 + Y + Y1Y Z U + 1+Y Z1 I
( ) ( )
2 2 2 2
to
A = 1+ Y Z; B = Z ; C =Y1 + Y + Y1Y Z; D = 1+ Y1Z
2 2 2
Równania czwórnika
czwórnik typu:
Z
Z I1
I
2
I1 Z1 2
I
2
Y
U1 Y1
2 U
Y
U1 2
U
2
A = 1+ Z1Y; B = Z1 + Z + Z1Z Y ; C =Y; D = 1+ Z Y
T
2 2 2
A = 1+Y Z; B = Z ; C =Y1 + Y + Y1Y Z; D = 1+ Y1Z
2 2 2
1 1
Dla czwórnika symetrycznego
Z1 = Z = Z; Y1 = Y = Y
2 2
2 2
1
A = D =1+ ZY
2
Czwórnik
Dla czwórnika symetrycznego
1 1
Z1 = Z = Z; Y1 = Y = Y
2 2
2 2
1
A = D =1+ ZY
2
B, C = ?
Wyznaczanie stałych czwórnika z
pomiarów
A
W
V
stan jałowy I2 = 0
stan zwarcia U2=0
Wyznaczanie stałych czwórnika z
pomiarów
stanie zwarcia
stan jałowy
U10
U10 = AU A =
20
U1zw = BI
2zw
U
20
I1zw = DI
I10
2 zw
I10 = CU C =
20
U
U1zw B
20
Z1zw = =
U10 A
I1zw D
Z10 = =
I10 C
Wyznaczanie stałych czwórnika z
pomiarów
dla czwórnika symetrycznego wystarczą wielkości Z10 i Z1zw
A = D; A2 - BC = 1
A = CZ10; B = DZ1zw = AZ1zw
Z1zw
A2 - A2
Z10
Z10 1
A = ; B = AZ1zw; C = A
Z10 - Z1zw Z10
Wyznaczanie stałych czwórnika z
pomiarów
stan jałowy I2 = 0
A
W
V
stan zwarcia U2=0
dla czwórnika symetrycznego
A = D; A2 - BC =1
A = CZ10; B = DZ1zw = AZ1zw
Z1zw
A2 - A2
Z10
Z10 1
A = ; B = AZ1zw; C = A
Z10 - Z1zw Z10
Połączenia czwórników
łańcuchowe
I3
I1 I2
I2
U2
U1 A''
[ ]
A' U3
[ ]
U A'' B '' U
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
U1 A' B ' U
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 3
2
=
=
ïÅ‚ śł ïÅ‚C '' D ''śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚C ' D 'śł ïÅ‚ śł
I I
I1 I
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 3 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
Połączenia czwórników -
łańcuchowe
U1 A' B ' U A' B ' A" B" U
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 3
= =
ïÅ‚ śł ïÅ‚C ' D 'śł ïÅ‚ śł ïÅ‚C ' D 'śł ïÅ‚C " D"śł ïÅ‚ śł
I1 I I3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
U1 A B U
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3
=
ïÅ‚ śł ïÅ‚C Dśł ïÅ‚ śł
I1 I3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
iloczyn macierzy
A=A A +B C ; B=A B +B D
C=C A +D C ; D=C B +D D
W przypadku połączenia łańcuchowego n czwórników
[ A ] = [ A1 ][ A2 ][ A3].........[ An ]
Połączenia czwórników -
szeregowe
I1
I '1
I '2 I2
U '2
U '1
Z '
[ ]
U1
U2
I ''1
I "2
Z '' U ''2
[ ]
U ''1
Połączenia czwórników -
szeregowe
U1 U '1 U "1
I1 I '1 I "1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
i
= +
= =
ïÅ‚U śł ïÅ‚U '2 śł ïÅ‚U "2 śł
ïÅ‚I śł ïÅ‚I '2 śł ïÅ‚I "2 śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
równania impedancyjne czwórników mają postać
U ''1 I ''1
îÅ‚ Å‚Å‚
U '1 I '1
îÅ‚ Å‚Å‚
= Z ''
[ ]îÅ‚I ''2 Å‚Å‚
i ïÅ‚U ''2 śł ïÅ‚ śł
= Z '
[ ]îÅ‚I '2 Å‚Å‚
ïÅ‚U '2 śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
dodając stronami i pamiętając o warunku prądowym otrzymamy, \e
U1 I1 I1
îÅ‚ Å‚Å‚
= Z '+ Z " = Z
[ ]îÅ‚I Å‚Å‚ [ ]îÅ‚I Å‚Å‚
ïÅ‚U śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
Wniosek ten jest słuszny dla dowolnej liczby n czwórników połączonych szeregowo
Połączenia czwórników -
szeregowe
Czy dla dowolnych dwóch czwórników połączonych szeregowo
słuszna jest ta zale\ność ?
1 1
1
1 1
1
Połączenia czwórników -
szeregowe
2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
i
Z " =
Z ' = [ ]
[ ]
ïÅ‚-1 2 śł
ïÅ‚-1 2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
natomiast macierz impedancyjna czwórnika wynosi
3,5 -2,5
îÅ‚ Å‚Å‚
Z =
[ ]
ïÅ‚-2,5 3,5 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
i nie jest sumÄ… macierzy [Z ] i [Z ]
Połączenia czwórników -
szeregowe
widzimy, \e nie zawsze macierz impedancji czwórników połączonych szeregowo
jest sumą macierzy impedancji pojedynczych czwórników.
Dzieje się to gdy zostanie naruszony warunek równości prądów płynących przez
oba zaciski ka\dej pary jego zacisków.
Warunek regularności połączenia szeregowego czwórników
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na spełnienie addytywności macierzy
impedancji połączenia szeregowego czwórników jest aby napięcie U
w obu układach było równe zeru.
Połączenia czwórników -
szeregowe
I1 I1
I '1 I '1
I '2 I2 I '2 I2
U '2 U '2
U '1 U '1
Z ' Z '
[ ] [ ]
U1 U1
U2 U = 0 U2
U = 0
I ''1 I ''1
I "2 I "2
Z '' U ''2 Z '' U ''2
[ ] [ ]
U ''1 U ''1
Połączenia czwórników -
szeregowe
praktyczna realizacja tego warunku
I1
I '1
I '2 I2
1/1
" "
U '2
'
U1
Z '
[ ]
U1
U2
I ''1
I "2
Z '' U ''2
[ ]
U ''1
czerwone tędy mógłby się zamknąć prąd
Połączenia czwórników -
równoległe
I '1
I1 I '2
I '2 I2
'
U1 U '2
Y '
[ ]
U1
U2
I ''1
I "2
Y ''
[ ]
U ''2
U ''1
Połączenia czwórników -
równoległe
U1 U '1 U "1
I1 I '1 I "1 îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= =
= +
i
ïÅ‚U śł ïÅ‚U '2 śł ïÅ‚U "2 śł
ïÅ‚I '2 śł ïÅ‚I "2 śł
ïÅ‚I śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
równania admitancyjne czwórników mają postać
I ''1 U ''1
I '1 U '1
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
i
= Y ''
= Y ' [ ]îÅ‚U ''2 Å‚Å‚
[ ]îÅ‚U '2 Å‚Å‚
ïÅ‚I ''2 śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚I '2 śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
dodając stronami i pamiętając o warunku napięciowym otrzymamy, \e
I1 U1 U1
îÅ‚ Å‚Å‚
= Y '+Y " = Y
[ ]îÅ‚U Å‚Å‚ [ ]îÅ‚U Å‚Å‚
ïÅ‚I śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
Wniosek ten jest słuszny dla dowolnej liczby n czwórników połączonych równolegle.
Warunek regularności połączenia równoległego jest wymaganie aby U=0
w obu układach połączonych równolegle.
Połączenia czwórników -
równoległe
I '2 I2
I '1
I1
I '2 I2
'
U1
Y '
[ ]
Y '
[ ]
U2
U = 0
U1
U = 0
I ''1
I "2
I ''1
I "2
Y ''
[ ]
U ''2
Y ''
[ ]
U ''1
Połączenia czwórników -
równoległe
praktyczna realizacja tego warunku
I '1
I1 I '1 I '2
I '2 I2
1/1
" "
U '2
'
U1
U1
U2
I ''1
I "2
U ''2
U ''1
W przypadku połączenia łańcuchowego nie jest wymagany warunek regularności .
impedancja falowa
Czwórnik symetryczny
A=D, AD-BC=1
to Z1=Z2
czyli
U1 U
2
- tzw. impedancja charakterystyczna lub falowa
= = Z
c
I1 I
2
U1 AU + BI (AZ + B)I AZ + B
2 c 2 c
2
Z = = = =
c
I1 CU + DI (CZ + D)I CZ + D
2 c 2 c
2
z warunku symetryczności D=A otrzymamy, \e
B
jÕc
Z = = Zce
c
C
impedancja falowa
Przekładnia napięciowa ( przy obcią\eniu falowym Zc )
U1 AU + BI B B
2 2
= = A + = A + = A + BC
U U Z
B
2 2 c
C
Przekładnia prądowa ( przy obcią\eniu falowym Zc )
I1 CU + DI B
2 2
= = CZ + A = C + A = A + BC
c
I I C
2 2
czyli przekładnia napięciowa i prądowa jest jednakowa przy
obcią\eniu czwórnika symetrycznego impedancją falową.
Współczynnik przenoszenia
Rozpatrzmy czwórnik obcią\ony impedancją charakterystyczną,
a więc w stanie dopasowania falowego.
U1 I1
jb
= = A + BC = Ń = eg = eae
U I
2 2
gdzie g=a+jb - współczynnik przenoszenia
U1 I1
a - współczynnik tłumienia
a = ln = ln
U2 I2
b współczynnik fazowy
b =ÈU -ÈU
1 2
b =È -È
I1 I2
Współczynnik przenoszenia
Jednostką tłumienia jest neper: 1Np
np. je\eli U1/U2 = e = 2,718... to a = 1Np
Rozró\nia się jeszcze tłumienie mocowe -a
jednostką tłumienia mocowego jest bel =1B
np. je\ali P1/P2 = 10 to wówczas a = 1B
Częściej stosujemy jednostkę mniejszą
decybel dB=0,1B
John Napier [Neper] Lord of Merchiston
(ur.1550 - zm. 1617) - szkocki matematyk ,
powszechnie uwa\any za wynalazcÄ™
logarytmów.
Współczynnik przenoszenia
2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
P1 U1I1 cosÕc U1I1 U1 U1
a ' = lg = lg = lg = lgìÅ‚ ÷Å‚ = 2lg
ìÅ‚U ÷Å‚
P2 U2I2 cosÕc U2I2 U2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ 2 Å‚Å‚
Je\eli U1/U2=e to a=1Np
ëÅ‚ öÅ‚
U1
a ' == 2lg = 2lg e = 0,8686B = 8,686dB
ìÅ‚U ÷Å‚
íÅ‚ 2 Å‚Å‚
Alexander Graham Bell (ur. 1847 w Edynburgu, zm. 1922 w Beinn Bhreagh, w Kanadzie
szkocki wynalazca telefonu i kilkudziesięciu innych wynalazków telekomunikacyjnych
Z zawodu był logopedą i nauczycielem muzyki.
Graham Bell był te\ współzało\ycielem dwóch znanych czasopism Science i
National Geographic.
Czwórniki - postać hiperboliczna
Równania czwórników symetrycznych w postaci hiperbolicznej
Ń = eg = A + BC
1 A - BC
e- g = = = A - BC
A2 - BC
A + BC
Ó!
= 1
symetria
Czwórniki - postać hiperboliczna
sinus hiperboliczny : sinh g (oznaczany równie\ shg)
cosinus hiperboliczny: cosh g (oznaczany równie\ chg)
shg
chg
thg
eg - e-g
shg =
2
eg + e- g
chg =
2
Czwórniki - postać hiperboliczna
dodajÄ…c stronami i dzielÄ…c przez 2 otrzymamy
A = chg = D ( z symetrii )
shg = BC
po odjęciu stronami i podzieleniu przez 2, otrzymamy
ale
B B2 B B
B
Zc = = = =
= Z
c
C BC shg
BC
C
to
B BC BC shg
B = Z shg
Z = = = =
c
c
C C2 C C
1
C = shg
Z
c
Czwórniki - postać hiperboliczna
podstawiamy do postaci łańcuchowej
U1 = chgU + Z shgI
2 c 2
shg
chg Z shg
îÅ‚ Å‚Å‚
I1 = U + chg I
c
2
2
U1 ïÅ‚ U
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2
śł
Z
c
=
1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
śł
shg chg
I1 ïÅ‚ I
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
Z
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ c ûÅ‚
w stanie zwarcia; U2=0
w stanie jałowym, I2=0
shg
U1zw = Z shg I ; I1zw = chg I
U10 = chgU ; I10 = U
c 2zw 2 zw
20 20
Z
c
to
to
U1zw
= Z1zw = Z thg
U10
c
= Z10 = Z cthg
I1zw
c
I10
Czwórniki - postać hiperboliczna
stÄ…d
Z = Z10 Z1zw
c
a
Z1zw
thg =
Z10
Aańcuch jednakowych czwórników symetrycznych
2 3 n
1
I1 In+1
Zc Zc
Zc Zc
U3 Un Un+1
U1 U2 U4
g g
g g
dla czwórnika dopasowanego falowo
Z = Z1; Z = Z
c c nn
Czwórniki - postać hiperboliczna
U1 U1 U U U
2 3 n
= Å"Å"Å" = Ńn = eng
U U U U U
n+1 2 3 4 n+1
Równanie postaci hiperbolicznej łańcucha n symetrycznych czwórników
U1 = chngU + Z shngI
n+1 c n+1
shng
I1 = U + chngI
n+1 n+1
Z
c
Z
c
ng Un+1
U1
Czwórniki - postać hiperboliczna
Un+1 = 0
C "Un
C0
2
C0
2
"U1
C0 C
2
U1
C0=0,1C
Czwórniki - postać hiperboliczna
1 1 1 C0
A = chg =1+ ZY =1+ jÉC0 = 1+ H" 1,05
2 2 jÉC 2C
przy Un+1 = 0
U1 = Z shng I
c n+1
U = Z sh(n -1)gI
2 c n+1
"U1 = U1 -U
2
stÄ…d
"U1 shg - sh(n -1)g sh(n -1)g
= = 1-
U1 shg shng
"U1
przy n=8 i C0=0,1C Å"100 H" 28%
U1
największy spadek przy pierwszym izolatorze.
Czwórniki - postać hiperboliczna
Rozkaład napiecia na lancuchu izolatorow
kolpakowych
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5 6 7 8
ogniwo
bez uszkodzenia z uszkodzeniem
U
Czwórniki - postać hiperboliczna
Rozkład napięcia
35
30
25
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8
Bez uszkodzenia Z uszkodzeniem łańcucha
U
Inwertory impedancji
Są to czwórniki aktywne, których macierz łańcuchowa ma parametry
U1 0 B U
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2
=
ïÅ‚ śł ïÅ‚C 0 śł ïÅ‚ śł
I1 I
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
impedancja wejściowa
U1 BI B 1
2
Z1 = = =
I1 CU C Z
2 2
Oznaczmy B/C = Ki - współczynnik inwersji ( dodatni lub ujemny )
1
Z1 = Ki
Z
2
Inwertory impedancji
zale\nie od znaku Ki :
-PIV positive impedance inverter inwertory dodatnio-impendancyjne,
-NIV negative impedance inverter inwertory ujemno-impendancyjne
znaczenie praktyczne: ( \yrator ).
I
I1
2
R
U1 îÅ‚ 0 RÅ‚Å‚ U2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
=
1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
U1
U2 ðÅ‚ I1 ûÅ‚ ïÅ‚ 0śł ðÅ‚ I2 ûÅ‚
ðÅ‚R ûÅ‚
Inwertory impedancji
B
1
Ki = = R2
Z1 = R2
C
Z
2
I1 I2
1
U1
1
U1 U2
R
U2
R
z dwóch \yratorów mo\na zrobić idealny transformator , je\eli do zacisków wyjściowych
dołączyć kondensator o pojemności C.
Wówczas od strony zacisków wejściowych , układ mo\na traktować jako element
indukcyjny o L=R2C.
śyrator idealny jest bezstratny i nieodwracalny.
Inwertory impedancji
śyrator jest układem elektronicznym ( czwórnikiem ) umo\liwiającym "odwracanie
impedancji. Innymi słowy układ zbudowany na elementach pojemnościowych będzie
przejawiał właściwości indukcyjne.
Idea \yratora została opracowana około 1948 w laboratoriach firmy Philips.
Stosuje się go głównie w układach filtrów aktywnych.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Oe i To1 w1Oe i To1 w11Oe i To1 w2Oe i To1 w10Oe i To1 w12BD W8Logika W8 zadaniaw8w8 kratownice 08KMGP 20 5D B2 Y 5x40 I V H0 Oe tp20 ms 6w8 (2)w8 7w8 zaoczw8st TPK w7 w8 14w8 powierzchnie topograficzneKMGP 20 5D B2 Y 5x40 I V H0 Oe tp20 ms 3więcej podobnych podstron