Obwody Elektryczne
i
Teoria Obwodów 1
sierpień 2011
w11
Spadek napięcia w linii trójfazowej
jX I
L L1
symetrycznej
'
U
L1
Z
L
L1
'
L1
RL I
Z
L2 L1
L
L'2
U
L1
Z
L3
L
L'3
'
I
L1
U + Z I = U
L1 L L1 L1
'
"U = UL1 -UL1
f
Identycznie na ka\
dej fazie
1
"U = I RL cosÕ + XL sinÕ = Pf RL + Qf XL
( )
( )
f f
U
f
Spadek napięcia w linii trójfazowej
symetrycznej
'
U
L1
definicja spadku napięcia międzyprzewodowego
'
' ' ' U
L12
"U = UL12 -UL12 = 3UL1 - 3UL1 = 3 UL1 -UL1
( )
U
L1
U
L12
"U = 3"U
f
3I U
f f
"U = 3I Rl cosÕ + Xl sinÕ = Rl cosÕ + Xl sinÕ =
( ) ( )
f
U
f
3 3 P Q 1
ëÅ‚
= RlPf + XlQf = Rl + Xl öÅ‚ = PRl + QXl
( )
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
U U 3 3 U
íÅ‚ Å‚Å‚
f
Spadek napięcia w linii trójfazowej
symetrycznej
Spadek napięcia względny
"U 100
"U% = 100% = PRl + QXl %
( )
2
U U
Poprawa współczynnika mocy cosĆ
S = P2 + Q2
odb.
sym.
Q = PtgÕ = 3Qf = 3U I sinÕ
f f
2
QC = 3ÉCU
Poprawa współczynnika mocy cosĆ
po kompensacji
Q ' = PtgÕ '
Q ' = Q - QC
2
PtgÕ ' = PtgÕ - 3ÉCU
2
3ÉCU = P tgÕ - tgÕ '
( )
P
C" = tgÕ - tgÕ '
( )
2
3ÉU
CY = 3C"
Wy\
sze harmoniczne w układach
trójfazowych
W układach symetrycznych  kształt krzywych napięcia jednakowy
T 2T
uL1 = f (t); uL2 = f (t - ); uL3 = f (t - )
3 3
dla harmonicznych rzędu k
uL1k = Ukm sin(kÉt + ¨k )
T
uL2k = Ukm sin[kÉ(t - ) + ¨k ]
3
2T
uL3k = Ukm sin[kÉ(t - ) + ¨k ]
3
Wy\
sze harmoniczne w układach
trójfazowych
w zale\
ności od k ró\
ne są przesunięcia fazowe harmonicznych w
poszczególnych fazach układu
przy k=3n ( n=1,2,3,4.......) w więc k=3,6,9,12,....
Wyra\
enia kT/3 stanowią wielokrotność kąta pełnego.
układ napięć fazowych jest układem symetrycznym zerowym.
U
L1,3
U
L2,3
U
L3,3
Wy\
sze harmoniczne w układach
trójfazowych
przy k=3n+1 ( n=1,2,3,4.......) w więc k=1,4,7,10,....
Układ napięć fazowych jest układem symetrycznym zgodnym
U
L3,1
U
L1,1
U
L2,1
Wy\
sze harmoniczne w układach
trójfazowych
przy k=3n-1 ( n=1,2,3,4.......) w więc k=2,5,8,11,....
układ napięć fazowych jest układem symetrycznym przeciwnym
U
L2,2
U
L1,2
U
L3,2
Wy\
sze harmoniczne w układach
trójfazowych
w układzie symetrycznym gwiazdowym 3  przewodowym w prądach
nie występują harmoniczne podzielne przez 3.
W układzie symetrycznym gwiazdowym 4  przewodowym harmoniczne
podzielne przez 3 płyną w przewodzie wyrównawczym ( zerowym ).
UL12=Ul1-Ul2  w napięciach międzyprzewodowych nie występują
harmoniczne podzielne przez 3.
je\
eli prąd przewodowy równa się
2 2
I = I12 + I2 + I3 + .....
to prÄ…d w przewodzie neutralnym wynosi:
2 2 2
IN = 3 I3 + I9 + I12 +.....
Wy\
sze harmoniczne w układach
trójfazowych
Je\
eli krzywa napięcia generowanego jest antysymetryczna to występują
jedynie harmoniczne nieparzyste.
2 2 2
U = U +U +U +.....
f f 1 f 3 f 5
2 2 2
U = 3 U +U +U + .....
f 1 f 5 f 7
brak składowych harmonicznych podzielnych przez 3,
a więc
U < 3U
f
Wy\
sze harmoniczne w układach
trójfazowych
uzwojenie generatora połączone w trójkąt
w uzwojeniach napięcia z
ródłowe
2 2 2
U0" = 3 U3 +U9 +U15 + .........
V
gdy trójkąt zwarty  w trójkącie płynie prąd. Napięcia na impedancjach
generatora kompensują napięcia z
ródłowe i na zaciskach nie pojawiają się
napięcia od harmonicznych rzędu k=3n
2 2
U = U = U12 +U5 +U7 + ............
f
w uzwojeniach mo\
e płynąć bardzo du\
y prąd  bo mała impedancja.
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
po rozwinięciu
i
i
×
Å"
B
rozkład indukcji
i
H´ E"
2´
i
B´ E" µ0
2´
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
przy kilku zwojach
i i i
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
przy du\
ej liczbie zwojów mo\
na przyjąć
B
1,0
0,5
N
x
0,0
S S
-0,5
-1,0

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
  długość fali sinusoidalnej
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
w maszynie o jednej parze biegunów NS, =2 r
Ä… x
=
2  
B
1,0
mo\
na zapisać
t1
0,8
t2
t3
0,6
B(t) = Bm(t)sinÄ…
2  t4
0,4
B(t) = Bm(t)sin x

0,2
x
0,0
jest to pole oscylujÄ…ce

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
2
fala stojąca ( zmienia się wartość i kierunek )
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
przy zmiennym prÄ…dzie
2 
Bm (t) E" ci(t) Ò! B(t) = ci(t)sin x

i(t) = Im sinÉt
2 
B(t) = cIm sinÉt sin x

równanie opisuje pole oscylujące.
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
Pole wirujÄ…ce dwufazowe
faza1
pocz.
faza 1
i1(t) = Im sinÉt
"
faza 2
faza2
faza2
"
i1(t) = Im sin(Ét - 900)
pocz.
kon.
"
Indukcja w szczelinie
2 
" "
"
B1(t) = Bm sinÉt sin x
faza1

kon.
 2  
B2(t) = Bm sin(Ét - )sin( x - )
2  2
pola są przesunięte w czasie i przestrzeni o 900.
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
Pole wypadkowe
2  2 
B(t) = B1(t) + B2(t) = Bm[sin(Ét)sin( x) + cos(Ét)cos( x) =
 
2 
öÅ‚
= Bm cosëÅ‚Ét - x
ìÅ‚ ÷Å‚

íÅ‚ Å‚Å‚
jest to pole przesunięte w czasie
fala postępuje  wiruje po obwodzie
warunki istnienia pola wirujÄ…cego:
- przesunięte bieguny względem siebie
- prądy przesunięte w fazie
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
prędkość poruszania się maksimum
B
t1 < t2 < t3 < t4
1,0 Bm
2 
B = Bm Ô! cos(Ét - x) = 1

0,5
2 
Ét - x = 0

x
0,0
x É
v = =
t 2 
-0,5
2 r
-1,0
 =
p
0 100 200 300 400
p  liczba par biegunów
Ér
v =
p
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
prędkość obrotowa
Ér
v 2 f p f
p
n = = = = [obr / sek]
2 r 2 r 2  p
60 f
n = [obr / min]
p
np.
p=1; f=50Hz to n=3000 obr/min
p=2; f=50Hz to n=1500 obr/min
ZmianÄ™ kierunku wirowania pola magnetycznego 2-fazowego uzyskujemy
przez zmianÄ™ zwrotu prÄ…du w uzwojeniu jednej z faz.
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
Pole wirujące trójfazowe
fazaL2
fazaL3
pocz.
kon.
"
"
"
fazaL1
1200
kon.
"
" fazaL1
pocz.
"
"
"
"
fazaL2
fazaL3
kon.
pocz.
rozmieszcza siÄ™ zwojnice co 1200
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
trzy prądy L1, L2, L3 o kolejności zgodnej
Indukcja magnetyczna w szczelinie
2 
B(t) = BL1(t) + BL2(t) + BL3(t) = Bm sinÉt sin x +

2  2 
+Bm sin(Ét -1200)sin( x -1200) + Bm sin(Ét - 2400)sin( x - 2400)
 
1 2  2 
B = Bm[cos(Ét - x) - cos(Ét + x) +
2  
2  2 
+ cos(Ét - x) - cos(Ét + x - 2400) +
 
2  2 
+ cos(Ét - x) - cos(Ét + x - 2Å"2400) =
 
3 2 
= Bm cos(Ét - x)
2 
Pole wypadkowe trzech przesuniętych w czasie o T/3 i przestrzeni o 1200
pól oscylujących jest polem wirującym o amplitudzie 150% i
długości fali   dla jednej fazy.
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
Rozmieszczając odpowiednio gęsto uzwojenie na obwodzie otrzymuje
się p- par biegunów NS.
60 f
n = [obr / min]
p
Pole porusza się w kierunku fazy opóz
nionej.
Zmianę zwrotu prędkości uzyskuje się przez zmianę połączeń dwóch
Dowolnych zacisków sieci zasilającej z zaciskami stojana.
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
Zasada działania maszyn synchronicznych
Pole wirujÄ…ce  porusza elektromagnes ( wirnik ),
Przy czym między osią pola wirującego
a osią wirnika występuje kąt opóz
nienia ´
N
Wirujący strumień elektromagnesu oddziałuje
na uzwojenie stojana  podobnie jak uzwojenie
S
wtórne transformatora na uzwojenie pierwotne.
oÅ› wirnika oÅ› stojanu( pola wirujÄ…cego )
( elektromagnesu
prądu stałego )
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
Strumień elektromagnesu jest dla uzwojenia ka\
dej fazy stojana
strumieniem sinusoidalnym.
Moc przekazywana do wirnika przez jednÄ… z faz
jX I
S S
Pf = EswIs cos(90 -´ ) = EswIs sin´
U
S
ŚSW  strumień wzajemny w fazie stojana
RS I
S
( wytworzony przez wirujÄ…cy elektromagnes )
ESW
US  napięcie zasilające fazę stojana
IS
ÅšSW
´
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
Zasada działania silników indukcyjnych ( asynchronicznych )
B
i
F
zgodnie ze wzorem
e = l(v× B)
w pręcie wirnika indukuje się siła elektromotoryczna e, a pod jej wpływem
płynie prąd i.
F = i(l × B)
zgodnie ze wzorem
Pola magnetyczne w maszynach
elektrycznych.
na przewód z prądem działa siła mechaniczna. Działa ona zgodnie z
ruchem pola, a więc porywa pręt wirnika.
Warunkiem istnienia  siły  momentu siły, jest względna prędkość wirnika
względem pola wirującego tzw. poślizg
np - nw
nw
s = =1-
np np
w stanie nieobciÄ…\
onym
w stanie obciÄ…\
enia
s% H"~ 3- 4%
s% d" 1%
Składowe symetryczne
Do rozwiązywania układów trójfazowych niesymetrycznych często
wykorzystywana jest metoda składowych symetrycznych. Metoda ta jest
szczególnie przydatna do obliczania układów trójfazowych niesymetrycznych
wówczas, gdy niesymetrię tworzą niesymetryczne napięcia z
ródłowe.
W praktyce zdarzają się ró\
ne niesymetryczne stany pracy układów
trójfazowych, wywołane np. zwarciem w sieciach elektroenergetycznych.
Wtedy, korzystajÄ…c z twierdzenia o kompensacji, niesymetryczne elementy
impedancyjne zastępujemy układem napięć niesymetrycznych.
UL3
UL1
UL2
Składowe symetryczne
Istota metody polega na tym, \
e układ napięć niesymetrycznych zastępujemy
trzema układami napięć symetrycznych skonstruowanych następująco
układ zerowy tworzą trzy napięcia UL10 , UL20 , UL30 równe co do modułu
i nie przesunięte względem siebie w fazie , czyli
UL10 = UL20 = UL30
UL10
UL20
UL30
Składowe symetryczne
Układ zgodny tworzą trzy napięcia UL1,1 , UL2,1 , UL3,1 równe co do modułu,
przesunięte
względem siebie w fazie o kat , z następstwem faz L1, L2,L3, czyli
UL1,3
UL1,1
UL1,2
2Ä„ 2Ä„
UL1,1 = UL1,1ejÕ1 , UL2,1 = UL2,1ej(Õ1- 3 ), UL3,1 = UL3,1ej(Õ1+ 3 )
Składowe symetryczne
Układ przeciwny tworzą trzy wektory UL1,2 , UL2,2 , UL3,2 równe co do modułu,
przesunięte
względem siebie w fazie o kąt , lecz z następstwem faz L1, L2,L3 czyli
UL1,2
UL1,1
UL1,3
2Ä„ 2Ä„
UL1,2 = UL1,2ejÕ2 , UL2,2 = UL2,2ej(Õ2+ 3 ), UL3,2 = UL3,2ej(Õ2- 3 )
Składowe symetryczne
WprowadzajÄ…c operator obrotu a mo\
emy
te trzy wprowadzone układy ująć następującym zapisem:
układ zerowy
UL1,0 = UL2,0 = UL3,0 = U0
układ zgodny
UL1,1 = UL2,1 = UL3,1 = U1
Układ przeciwny
UL1,2 = UL2,2 = UL3,2 = U2
Wprowadzone trzy układy tworzą w sumie początkowy układ
trójfazowy niesymetryczny
Składowe symetryczne
U = U +U +U
L1 0 1 2
U = U + a2U + aU
L2 0 1 2
U = U + aU + a2U
L3 0 1 2
1
U = U +U +U
( )
0 L1 L2 L3
3
1
U = U + aU + a2U
( )
1 L1 L2 L3
3
1
U = U + a2U + aU
( )
2 L1 L2 L3
3
Składowe symetryczne
Wygodnie jest powy\
sze równania zapisać w postaci macierzowej
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
U U
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
L1 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚U śł ïÅ‚U śł
=
L2 ïÅ‚1 a2 a śł 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚1 a a2 śł
ïÅ‚U L3 śł ïÅ‚U 2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Wprowadzimy oznaczenia:
-- macierz kolumnowa składowych niesymetrycznych i
składowych symetrycznych , odpowiednio
U U0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
L1
ïÅ‚U śł ïÅ‚U śł
U = , Us =
L2 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚U L3 śł ïÅ‚U 2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Składowe symetryczne
-- macierz przekształcenia i jej macierz odwrotna
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚ śł
S-1 =
ïÅ‚1 a a2 śł
S =
3
ïÅ‚1 a2 a śł
ïÅ‚1 a2 a śł
ïÅ‚1 a a2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
wówczas równania mo\
na napisać krótko w postaci:
U = SU , U = S-1U
s s
Składowe symetryczne
Identyczne rozumowanie mo\
na przeprowadzić rozkładając na
składowe symetryczne trzy niesymetryczne siły elektromotoryczne
EL1, EL2,EL3
lub trzy niesymetryczne prÄ…dy
IL1,IL2,IL3
otrzymamy wówczas odpowiednio :
E = SE , E = S-1E
s s
I = SI , I = S-1I
s s