OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Kurs powtórkowy
Kurs powtórkowy
Sierpień 2011
Sierpień 2011
w2
w2
Obwody elektryczne
" Analiza obwodu  zajmuje siÄ™ poszukiwaniem
napięć i prądów w poszczególnych częściach
obwodu przy danych parametrach elementów i
schemacie obwodu
" Synteza obwodu  zajmuje siÄ™ poszukiwaniem
schematu obwodu i parametrów elementów,
przy których mo\
na uzyskać dane napięcia lub
prądy przy danych niektórych napięciach lub
prądach w określonych częściach obwodu.
Obwody SLS
Obwody: stacjonarne, liniowe , o parametrach skupionych
Własności:
Liniowość obwodu
Obwód elektryczny nazywamy liniowym je\
eli jest on utworzony z elementów
liniowych. Obwód ten spełnia warunki jednorodności i addytywności:
x1(t) y1(t)
Je\
eli dla : obwód jest liniowy
ax1(t) + bx2(t) = ay1(t) + by2(t;
)
Ô!
x2(t) y2(t)
gdzie a i b  dowolne wartości stałe.
Ó!
Zasada superpozycji: odpowiedz
obwodu liniowego na jednoczesne działanie kilku
wymuszeń jest równa sumie odpowiedzi na ka\
de wymuszenie z osobna.
Obwody SLS
Stacjonarność obwodu
Obwód zło\
ony z elementów liniowych jest stacjonarny jeśli:
x1(t) y1(t) Ò! x1(t + b) y1(t + b)
gdzie b  dowolna stała wartość
Przyczynowość obwodu
jeśli dla t < b x(t)=0, to dla t < b y(t)=0;
gdzie b - dowolna stała wartość.
Reakcja obwodu nie mo\
e nastąpić przed jego pobudzeniem.
Pasywność obwodu
Obwód zło\
ony z elementów pasywnych liniowych jest zaliczany do obwodów
pasywnych.
Obwód o parametrach skupionych
Je\
eli rozmiary obwodu są małe w porównaniu z długością fali elektromagnetycznej
sygnału to wówczas mówimy, ze obwód ma skupione elementy ( parametry ) 
pomijamy rozmiary geometryczne elementu.
Sygnały
Wielkości fizyczne zmienne, zale\
ne od czasu, takie jak u(t), i(t) nazywamy sygnałami.
Klasyfikacja sygnałów:
- nieokresowe
-okresowe ( sinusoidalne, przemienne, tętniące , szczególny przypadek DC)
Nieokresowe:
- jednokierunkowe
-zmiennokierunkowe
- wykładnicza malejąca
- wykładnicza rosnąca
- specjalne:
- sygnał jednostkowy
- sygnał impulsowy
Sygnały
- wykładnicza malejąca
- jednokierunkowe
- wykładnicza rosnąca
- zmiennokierunkowe
f (t)
f (t)
e-at
t
t
f (t)
f (t)
eat
t
t
Sygnały
- sygnał jednostkowy
- sygnał impulsowy
f (t)
0 dla t < 0
Å„Å‚
µ (t) = 1(t) =
òÅ‚1 dla t e" 0
ół
µ(t)
1
µ (t) - µ (t - a)
t
´ (t, a) = , ´ (t) = lima0 ´ (t, a)
a
Impuls Dirac a
f (t)
0 dla t `" 0
Å„Å‚
´(t)
´ (t) =
òÅ‚
ół" dla t = 0
własność
t
+"
´ (t)dt =1
+"
-"
Sygnały okresowe
Okresowe: f(t+T)=f(t)
f (t) f (t)
symetryczna
tętniąca - pulsująca
T
f (t + ) = f (t)
t0+T
2
f (t)dt `" 0
+"
t0
t
t
T
T
f (t)
f (t)
przemienna antysymetryczna
t0 +T
T
f (t + ) = - f (t)
f (t)dt = 0
+"
2
t0
t
T
t
T
Obwody elektryczne
Napięcia i prądy wymuszone przez z
ródła energii nazywa się wymuszeniem i oznacza
x(t).
Reakcja na wymuszenie nazywa siÄ™ odpowiedziÄ… i oznacza y(t).
Schematycznie układ o jednym wejściu i wyjściu
x(t)
y(t)
SLS
wejscie wyjscie
i(t)
przykład:
z
ródło niesterowalne napięcia
Rw Ro
wymuszenie  e(t); odpowiedz
 i(t)
e(t)
W zło\
onej sieci wymuszeniem mo\
e być zbiór wszystkich
z
ródeł a odpowiedzią zbiór prądów we wszystkich gałęziach.
Obwody elektryczne
W obwodach elektrycznych stałość parametrów R, L, C zapewnia liniowość,
stacjonarność i przyczynowość.
Prawo Ohma dla gałęzi szeregowej RLC ma postać:
u(t)
e(t)
i(t)
di
Ri
L
D
dt +"idt
1
di
gdzie
u = Ri + L + D D =
+"idt - e
dt
C
Obwody elektryczne
w zapisie macierzowym dla n gałęzi
di1
îÅ‚ d
îÅ‚
R1i1 + L1 + D1 1dt - e1 Å‚Å‚
L1 i1 Å‚Å‚
+"i
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
îÅ‚
dt
+"i Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
u1 ïÅ‚ R1i1 ïÅ‚ dt śł ïÅ‚ D1 1dt śł e1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
śł
Å"
Å"
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ Å" śł
Å" Å" Å"
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
dij
d
ïÅ‚ śł
u = ïÅ‚ śł Lj ij ïÅ‚Dj j - ïÅ‚ śł
+
Rjij + Lj + Dj jdt - ej = ïÅ‚Rjij śł + ïÅ‚ śł
j
+"i dtśł ïÅ‚ej śł
+"i
dt
ïÅ‚ śł dt ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Å" Å" Å"
Å"
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Å" ïÅ‚ śł
Å"
ïÅ‚un śł ïÅ‚Rnin śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚D dtśł ïÅ‚en śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
n n
ïÅ‚R in + Ln din + Dn dt - en śł +"i
ïÅ‚Ln d in śł
ðÅ‚ ûÅ‚
n n
+"i
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ dt ûÅ‚
ðÅ‚ dt ûÅ‚
R1 i1 L1 i1 D1 i1 e1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Å" 0 Å" Å" 0 Å" Å" 0 Å" Å"
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
d
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł śł - ïÅ‚ śł
Rj Å" ij + Lj ij + Dj
j
+"ïÅ‚i dt ej
dt
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 Å" Å" 0 Å" Å" 0 Å" Å" Å"
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚
Rn śł ïÅ‚in śł ïÅ‚ Ln śł ïÅ‚in śł ïÅ‚ Dn śł ïÅ‚in śł ïÅ‚en śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
czyli
d
U = R I + L I + D
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
+"[I]dt -[E]
dt
Prawo Ohma
lub umownie
d
U = { R + L + D
[ ] [ ] [ ] [ ]
+"dt}[I]-[E]
dt
Jest to rozszerzona postać prawa Ohma dla gałęzi obwodu liniowego i stacjonarnego.
- łącznie n równań dla n gałęzi.
Georg Simon Ohm (ur. 16.03.1789 w Erlangen, zm.
8.07.1854 w Monachium matematyk niemiecki,
profesor politechniki w Norymberdze w latach 1833=
1849 i uniwersytetu w Monachium po roku 1949 .
Prawa Kirchhoffa
Prądowe prawo Kirchhoffa (węzłowe, pierwsze )  PPK
Jest ono wynikiem prawa zachowania ładunku i jego przepływu stacjonarnego ładunku.
"q1 + "q2 + "q3 - "q4 - "q5 = 0 / : dt
stÄ…d
i1 + i2 + i3 - i4 - i5 = 0
Umowa  prądy do węzła z + czyli
Ä…ij = 0
"
węzle
Suma algebraiczna prądów w węz
le równa jest zeru.
Prawa Kirchhoffa
Wygodnie jest wykorzystać wyrazy macierzy węzłowej
+1 gdy galaz zorientowana na zewnatrz wezla
Å„Å‚
ôÅ‚
akj =
òÅ‚-1 gdy galaz zorientowana do wezla
ôÅ‚0 gdy galaz nie jest skorelowana z wezlem
ół
Macierz incydencji węzłowa
galaz
îÅ‚ Å‚Å‚
1 Å" j Å" n
ïÅ‚ śł
wezel
ïÅ‚ śł
1 a11 a1 j a1n śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
Å"
= A
[ ]
ïÅ‚ śł
k ak1 akj akn śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
Å"
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ w aw1 awj awn śł
ðÅ‚ ûÅ‚
gdzie n  liczba gałęzi a w  liczba węzłów niezale\
nych ( o jeden mniej o liczby
wszystkich węzłów w obwodzie ).
Prawa Kirchhoffa
dla k  tego węzła
akjij = 0
"
węzel (k )
a w zapisie macierzowym
A I = 0
[ ][ ] [ ]
galaz
îÅ‚ Å‚Å‚
1 Å" j Å" n
ïÅ‚ śł
wezel i1 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1 a11 a1 j a1n śł ïÅ‚ Å" śł ïÅ‚0śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Å"
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Å" ij = 0
ïÅ‚ śł
k ak1 akj akn śł ïÅ‚ Å" śł ïÅ‚0śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Å"
ïÅ‚in śł ïÅ‚0śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ w aw1 awj awn śł
ðÅ‚ ûÅ‚
z PPK otrzymujemy tyle równań ile jest węzłów niezale\
nych ( w ).
Prawa Kirchhoffa
Napięciowe prawo Kirchhoffa ( oczkowe, drugie )  NPK
Jest ono wyrazem potencjalności .
Dla dowolnego oczka przy przyjętej orientacji
u2
V2
V3
u2
V1 V1
( -V2 + V2 -V3 + V3 -V4 -( -V4 = 0
) ( ) ( ) )
u3
u1
u1
u3
u4 E4
u1 + u2 + u3 - u4 = 0
V1 V4
u4
Czyli w oczku
Ä…uj = 0
"
oczko
Prawa Kirchhoffa
Wygodnie jest wykorzystać wyrazy macierzy oczkowej
+1 gdy zgodnie
Å„Å‚
ôÅ‚-1 gdy przeciwnie
bkj =
òÅ‚
ôÅ‚
0 brak korelacji
ół
Macierz incydencji oczkowa
galaz
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚oczko 1 Å" j Å" n śł
ïÅ‚ śł
1 b11 b1 j b1n śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
Å"
= B
[ ]
ïÅ‚ śł
k bk1 bkj bkn śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
Å"
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ m bm1 bmj bmn śł
ðÅ‚ ûÅ‚
m= n-w liczba oczek niezale\
nych
bkju = 0
"
j
zgodnie z tym mo\
emy zapisać
oczko(k )
Prawa Kirchhoffa
B Å" U = 0
[ ] [ ] [ ]
napięcia gałęzi mo\
na wyrazić równaniem
T
U = A V
[ ] [ ] [ ]
T
B Å" U = B Å" A V = 0 Å" V = 0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
T
gdy\
mo\
na pokazać, \
e
B A = 0
[ ][ ] [ ]
NPK  m równań niezale\
nych
Prawa Kirchhoffa
Gustav Robert Kirchhoff (ur. 12.03.1824 w Królewcu,
zm. 17.10.1887 w Berlinie)  niemiecki fizyk.
Podsumowanie:
n  równań na prawo Ohma
w  równań na PPK
m  równań na NPK
To
n + w + m = 2n równań dla 2n niewiadomych ( uj,ij ).
Bilans mocy
Bilans mocy w układzie elektrycznym
Suma mocy pobieranych przez wszystkie gałęzie obwodu
i1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
Å"
n ïÅ‚ śł
T
T T T T
[ ] [ ] [ ] [ ]Å‚Å‚ [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
"u ij = îÅ‚ Å" uj Å" un Å‚Å‚ ïÅ‚ij śł = U I = îÅ‚ A V ûÅ‚ I = V A I = V 0 = 0 = 0
j
ðÅ‚u1 ûÅ‚
ðÅ‚
ïÅ‚ śł
j=1
Å"
ïÅ‚ śł
ïÅ‚in śł
ðÅ‚ ûÅ‚
n
czyli
"u ij = 0
j
j=1
suma mocy chwilowych pobieranych przez wszystkie gałęzie obwodu jest równa zero.
Niektóre gałęzie są z
ródłami energii i dla tych gałęzi ukik < 0.
W gałęziach pobierających energię w danej chwili ukik > 0.
Obwody elektryczne
Klasyfikacja obwodów
Ze względu na liniowość
- liniowe, spełniają zasadę superpozycji
i nieliniowe, nie spełniają zasady superpozycji
Obwód jest liniowy gdy wszystkie jego elementy są liniowe.
Obwód zawierający przynajmniej jeden element nieliniowy jest obwodem
nieliniowym.
y
ródło napięcia jest liniowe, je\
eli jego napięcie z
ródłowe oraz rezystancja i
indukcyjność wewnętrzna nie zale\
ą od płynącego przez nie prądu.
W układzie SLS przy zasilaniu napięciem stałym ( DC ) ( lub prądem stałym ze
z
ródła prądowego ) przez pewien czas po załączeniu zasilania przebiegi
zmieniają się w czasie . Po pewnym czasie ustala się stan równowagi między
energią zasilania a energią rozpraszaną na rezystorach. Ustalają się wartości
stałe napięć i prądów na wszystkich elementach obwodu. Mówimy, ze wystąpił
stan ustalony w obwodzie.
Przy zasilaniu okresowym ,
Po pewnym czasie równie\
ustalajÄ… siÄ™ przebiegi okresowe na wszystkich
elementach obwodu SLS. Dla następuje stan ustalony ( a praktycznie
t "
dla t > 5Ä )
Obwody elektryczne
Prąd przepływając przez opornik liniowy R wywołuje skutki cieplne ( prawo
Joul a  Lenza )
Np. w okresie T wydziela energię w postaci ciepła
T T T T
2
W = pdt = Ri2dt =R dt
+" +"uidt =+" +"i
0 0 0 0
Taką samą ilość energii w czasie T na oporniku R wydzieli prąd stały o o
odpowiednio dobranej wartości Is.
T T
2
W = RIs2 dt =RIs2
+" +"dt = RIs T
0 0
stÄ…d
T
1
2
Is =
+"i dt
T
0
Jest to tzw. wartość skuteczna prądu zmiennego okresowo.
Wartością skuteczną prądu okresowego nazywamy taką wartość prądu stałego ,
który przepływając przez niezmienny rezystor R wydzieli w czasie okresu T taką
samą ilość ciepła ciepła co prąd okresowy w tym samym czasie.
Obwody elektryczne
Dla dowolnego sygnału okresowego w ten sposób definiuje się wartość
skutecznÄ…, chocia\
nie ma ona ju\
takiej interpretacji fizycznej.
T
1
2
Fs = f dt
+"
T
0
W przypadku sygnału sinusoidalnego obliczamy
T T T T
1 1 1
2 2 2 2 2 2
f dt = Fm sin2(Ét + ¨i )dt = Fm
+" +" +"sin (Ét + ¨i )dt = Fm +"[2 - 2 cos(2Ét + 2¨i )]dt = 2 TFm
0 0 0 0
1 1 Fm Fm 2
Fs = ( TFs2) = = = 0,707Fm
a więc T 2 2
2
często Fs oznaczamy jako F
Fm
ksz = = 2 = 1, 41
współczynnik szczytu
Fs
Obwody elektryczne
dla przebiegów okresowych wprowadza się wartość średnią ( algebraiczną )
T
1
Fsr = fdt
+"
T
0
Dla przebiegów przemiennych Fsr=0, dlatego wprowadza się pojęcie wartości
średniej przebiegu wyprostowanego ( lub wartość średnią połówkową ).
T
T
2
1 2
Fsr1 2 = f dt = fdt
+" +"
T T
0 0
W przypadku sygnału sinusoidalnego obliczamy
T
2
T
2 2Fm 2Fm 4Fm 2Fm
2
Fsr 1 = Fm sinÉtdt = - cosÉt = - (-1-1) = = = 0,636Fm
+" 0
2
T TÉ TÉ 2  
0
2Fm
współczynnik kształtu
F  2
2
kk = = = = 1,11
2Fm
Fsr 4

sygnały harmoniczne
sygnały harmoniczne podgrupa przebiegów okresowych przemiennych i
symetrycznych określona poprzez funkcję sinus
f (t) = Fm sin(Ét + ¨)
w technice wytwarzania i przesyłu i rozdziału energii elektrycznej
występuje bardzo często ze względu na :
- łatwość wytwarzania ( generatory napięcia przemiennego )
- powtarzanie kształtu w stanie ustalonym
- łatwość analizy przy zastosowaniu metody symbolicznej.
"
Wskaz wirujÄ…cy
Rzut wskazu wirujÄ…cego na oÅ› pionowÄ… jest przebiegiem chwilowym
i(t) = Im sin(Ét + ¨)
Wskaz wirujÄ…cy
Wskaz wirujący na płaszczyz
nie zespolonej mo\
e być zapisany w postaci
j¨ jÉt j(Ét+¨)
I (t) = Ime e = 2Ie
Im
Im
t `" 0
t = 0
Imej(Ét+¨)
Im sin(Ét +¨)
Imej¨
Ét
Im sin¨
Re
¨
Re
¨
Im cos(Ét + ¨)
Im cos¨
Obwody elektryczne
jego część urojona jest przebiegiem prądu
i(t) = Im I (t) = Im sin(Ét + ¨)
{ }
Zwykle wskaz wirujÄ…cy rysuje siÄ™ w pozycji dla t=0
Im j¨
j¨
nazywa się wartością zespoloną
LiczbÄ™ zespolonÄ…
I = e = Ie
przebiegu sinusoidalnego.
2
Im
I = I wartość skuteczna
moduł
I
faza poczÄ…tkowa
argument
¨
jÉt
I (t) = 2Ie
Re
¨
Wartości zespolone są powszechnie stosowane dla przebiegów harmonicznych w
elektrotechnice.
Liczby zespolone
Liczby zespolone
Liczby zespolone
Liczby zespolone
Liczby zespolone
Liczby zespolone
Metoda symboliczna
Gałąz
szeregowa RLC ( wartości stałe ) zasilana napięcie sinusoidalnym.
L
R
i(t) = ?
u(t) =Um sin(Ét + ¨u)
C
w stanie ustalonym równie\
prąd będzie przebiegiem sinusoidalnym o tej samej pulsacji.
Dane: R, L, C, Um, É, Èu
Obliczyc : Im=?, Èi=?
u(t) = uR (t) + uL (t) + uC (t)
Z NPK
di 1
Ri + L + (*)
czyli
+"idt = Um sin(Ét + ¨u )
dt C
Metoda symboliczna
podstawiamy
i(t) = Im I(t) ; u(t) = Im U (t)
{ } { }
d 1
R Im I (t) + L Im I (t) +
{ } { }
+"Im{I(t)}dt = Im{U (t)}
dt C
lub
d 1
stÄ…d
Im[R I(t) + L I(t) +
{ } { }
+"{I(t)}dt] = Im{U (t)}
dt C
je\
eli funkcje w nawiasach będą sobie równe to równie\
ich części urojone będą
sobie równe
d 1
RI(t) + L I(t) + I(t)dt = U (t) (**)
+"
dt C
Metoda symboliczna
z tej równości wynika równość fizyczna (*)
U (t) ; I (t)
Równość (**) jest zapisem równania obwodu dla funkcji zespolonych
zamiast funkcji czasu u(t) ; i(t).
jÉt
I (t) = 2Ie
Podstawiamy
d
jÉt
I(t) = 2 I jÉe = jÉI(t)
dt
1 1
jÉt
I(t)dt = 2 I e = I (t)
+"
jÉ jÉ
stąd równanie (**)
1
RI(t) + jÉI (t) + I (t) = U (t)
jÉC
Metoda symboliczna
lub dla chwili t=0
1
R 2I + jÉ 2 I + 2I = 2U : 2
jÉC
1
RI + jÉI + I = U
jÉC
sumowanie wartości chwilowych odpowiada sumowaniu wartości zespolonych !
caÅ‚kowanie dzielenie przez jÉ
ró\
niczkowanie mno\
enie przez jÉ
Zapis zespolony napięć obwodu
U +U +U = U
R L C
Metoda symboliczna
- wartość zespolona napięcia na rezystorze R
U = RI
R
- wartość zespolona napięcia na cewce L
U = jÉLI
L
1
- wartość zespolona napięcia na kondensatorze C
U = I
C
jÉC
UL
na płaszczyz
nie zespolonej
UC
Im
Im
UL UR
U UR
I
I
"
Re
¨I
Õ
i
¨U
Re
¨I
UC
Metoda symboliczna
 
j j(¨I + )
j¨I j¨I
2 2
U = jÉLI = jÉIe = ÉLIe e = ÉLIe
L
ÉL=XL reaktancja indukcyjna cewki
 
- j j(¨I - )
1 1 1 1
j¨I j¨I
2 2
U = I = - j Ie = Ie e = Ie
C
jÉC ÉC ÉC ÉC
1/ÉC=XC reaktancja pojemnoÅ›ciowa kondensatora
Interpretacja wykresu dla przebiegów chwilowych
UL
i(t) = Im sin(Ét + ¨I )
  I
i
j j (¨I + )
j¨I j¨I
2 2
U = jÉLI = jÉIe = ÉLIe e = ÉLIe
L

jÉt
uL(t) = Im U 2e = 2ÉLI sin(Ét + ¨I + ) = 2UL sin(Ét + ¨uL)
{ }
2
gdzie UL=ÉLI ; ÈuL=ÈI+ /2
Metoda symboliczna
bez u\
ycia licz zespolonych
d 
uL(t) = L (Im sin(Ét + ¨I )) = ÉLIm cos(Ét + ¨I ) = 2ÉLI sin(Ét + ¨I + )
dt 2

¨uL - ¨I =
2
Napięcie na cewce idealnej wyprzedza prąd o kąt /2 lub równowa\
nie prÄ…d
opóz
nia siÄ™ o kÄ…t /2.
Metoda symboliczna
Wartość zespolona napięcia na kondensatorze
 
- j j(¨I - )
1 1 1 1
j¨I j¨I
2 2
U = I = - j Ie = Ie e = Ie
C
jÉC ÉC ÉC ÉC

j(Ét+¨I - )
1 1 
jÉt
2
uC (t) = Im{ 2U e } = Im{ 2 Ie } = 2 I sin(Ét + ¨I - ) = 2UC sin(Ét + ¨uC )
C
ÉC ÉC 2
gdzie
I  
UC = , ¨uC = ¨I - , ¨uC - ¨I = -
ÉC 2 2
I
i
Napięcie na kondensatorze idealnym opóz
nia siÄ™
względem prądu o kat /2 lub prąd wyprzedza
napięcie o kat /2.
UC
Metoda symboliczna
Wartość zespolona napięcia na rezystorze
j¨I
U = RI = RIe
R
1
jÉt j(Ét+¨I )
uR (t) = Im{ 2U e } = Im{ 2RIe } = 2 I sin(Ét + ¨I ) = 2UR sin(Ét + ¨uR )
R
ÉC
gdzie
UR = IR, ¨uR = ¨I , ¨uR - ¨I = 0
UR
Napięcie na rezystorze jest w fazie z prądem.
I