OBWODY ELEKTRYCZNE
i
TEORIA OBWODÓW 1
Sierpień 2011
Sierpień 2011
wykład 10
wykład 10
Układy trójfazowe
Układy wielofazowe to zbiór obwodów, w których działają
siły elektromotoryczne z
ródłowe o jednakowej częstotliwości i
przesunięte względem siebie w fazie.
Siły te wytwarzane są przewa\
nie w jednym z
ródle energii zwanym
generatorem wielofazowym.
Poszczególne odwody nazywa się fazami.
Z reguły generatory wielofazowe są symetrycznymi tzn. siły elektromotoryczne
fazowe mają jednakowe amplitudy i są permutacyjnie przesunięte
o ten sam kÄ…t (2 /n ).
Układy trójfazowe
E7
E1 = EM sin(Ét + ¨)
n = 8
E8
2 
E6
E2 = EM sin(Ét + ¨ - )
n

2 
E3 = EM sin(Ét + ¨ - 2 )
4
E5
n
E1
......
2 
E4
En = EM sin(Ét + ¨ - (n -1) )
E2
n
E3
Najczęściej stosuje się układu trójfazowe n=3.
trzy fazy oznacza siÄ™:
L1, L2, L3
A, B, C,
R, S, T,
U, V, W,
itp.
Układ trójfazowy symetryczny
nieskojarzony
EL3
EL1
Z
EL1 L1
EL2
Z
L2
Z
L3
EL3
EL2
eL1(t)
eL2(t)
eL3(t)
T 2T
eL1(t); eL2 (t) = eL1(t - ); eL3(t) = eL1(t - );
3 3
T
T
3
3
Układ trójfazowy symetryczny
nieskojarzony
eL1(t) = EM sin Ét + ¨1
( )
2 
ëÅ‚Ét öÅ‚
eL2(t) = EM sin + ¨1 -
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
2  2 
ëÅ‚Ét öÅ‚ ëÅ‚Ét öÅ‚
eL3(t) = EM sin + ¨1 - 2 = EM sin + ¨1 +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Jest to układ symetryczny trójfazowy zgodny sił elektromotorycznych.
Mówimy w skrócie:
faza L2 opóz
nia się względem fazy L1
faza L3 opóz
nia się względem fazy L2
j¨L1
EL1 = Ee
2 
öÅ‚
2 
jëÅ‚ ¨L1-
- j
ìÅ‚ ÷Å‚
j¨L 2
3
íÅ‚ Å‚Å‚
3
EL2 = Ee = Ee = EL1e
2 
öÅ‚
2  2 
jëÅ‚ ¨L1-2
- j j
ìÅ‚ ÷Å‚
j¨L3
3
íÅ‚ Å‚Å‚
3 3
EL3 = Ee = Ee = EL2e = EL1e
Układ trójfazowy symetryczny
nieskojarzony
eL1(t) + eL2(t) + eL3(t) = 0
mo\
na zauwa\
yć, \
e
i
EL1 + EL2 + EL3 = 0
Je\
eli ZL1=ZL2=ZL3 to odbiornik jest symetryczny i wówczas
iL1(t) + iL2(t) + iL3(t) = 0
i
I + I + I = 0
L1 L2 L3
wówczas przewody powrotne są zbędne,
lub wprowadzając jeden przewód wspólny otrzymuje się
symetryczny układ trójfazowy skojarzony
Układ trójfazowy symetryczny skojarzony
EL1
Z
L1
E EL2 Z
L3 L2
Z
L3
z symetrii z
ródła i odbiornika wynika, \
e prÄ…dy
iL1(t), iL2(t), iL3(t) ( IL1, IL2, IL3 ) są przesunięte
w fazie o T/3 ( 2 /3) względem siebie
i mają jednakowe amplitudy ( wartości skuteczne ).
Układ trójfazowy symetryczny skojarzony
Przy pełnej symetrii suma mocy chwilowych wszystkich faz
uL1iL1+ uL2iL2+ uL3iL3=const.
jest stała i niezale\
ny od czasu.
Układ taki nazywamy zrównowa\
onym.
Wspólny punkt nazywamy punktem zerowym lub neutralnym.
qznaczmy: N
W przypadku asymetrii odbiornika ( ZL1`"ZL2`"ZL3) punkty neutralne Å‚Ä…czymy
czwartym przewodem ( neutralnym, zerowym ).
Płynie przez niego tzw. prąd wyrównawczy .
Pozostałe przewody nazywamy przewodami fazowymi.
Układ trójfazowy symetryczny skojarzony
Rozró\
niamy układy :
- trójprzewodowe
- czteroprzewodowe
Rozró\
niamy napięcia:
- fazowe
- międzyfazowe (liniowe, międzyprzewodowe )
PrÄ…dy:
- przewodowy ( w przewodzie )
- fazowy ( płynący przez odbiornik )
Rozró\
niamy odbiorniki
- czteroprzewodowe gwiazdowe
- - trójprzewodowe gwiazdowe
- trójprzewodowe trójkątne
Układ trójfazowy symetryczny skojarzony
EL1
Z
I L1
L1
EL1
I
L1
EL2
Z
I L2 Z
L2 L12
I
E L31
L2
I
I L12
L2
Z
L31
EL3
Z
L3
I
L3
I
EL3 L23
I Z
L3 L 23
I
N
Generatory z reguły są łączone w gwiazdę.
Odbiornik symetryczny niesymetryczny
Z = Z = Z Z `" Z `" Z
L1 L2 L3 L1 L2 L3
Z = Z = Z Z `" Z `" Z
L12 L23 L31 L12 L23 L31
Obliczanie układów trójfazowych
symetrycznych - Gwiazda
EL1
Z
I L1
L1
EL2
Z
I L2
L2
EL3
Z
L3
I
L3
I
N
j¨L1
EL1 = Ee
2 
öÅ‚
2 
jëÅ‚ ¨L1-
- j
ìÅ‚ ÷Å‚
j¨L 2
3
íÅ‚ Å‚Å‚
3
EL2 = Ee = Ee = EL1e
2 
öÅ‚
2  2 
jëÅ‚ ¨L1 -2
- j j
ìÅ‚ ÷Å‚
j¨L3
3
íÅ‚ Å‚Å‚
3 3
EL3 = Ee = Ee = EL2e = EL1e
Obliczanie układów trójfazowych
symetrycznych - Gwiazda
Wprowadzamy operator obrotu o kÄ…t 2 /3 = 120o
a
2 
j
0
1 3
j120 o 0
3
a = e = e = cos 120 + j sin 120 = - + j
2 2
4 
j
0
1 3
2 o 0
3 1
a = e = e- j120 = cos( -120 ) + j sin( -120 ) = - - j
2 2
3 0
a = a = 1
2
a + a + 1 = 0
a2
j¨L1
EL1 = Ee
można zapisać
2 
- j
3
EL2 = EL1e = EL1a2
2 
j
3
EL3 = EL1e = EL1a
Obliczanie układów trójfazowych
symetrycznych - Gwiazda
EL1
L1
U = EL1;U = EL2; U = EL3;
L1 L2 L3
E
L2
L2
zatem
j¨L1
U = Ee
U L1
L1
L3
EL3
U = U a2
U
L2
L2 L1
U = U a
U L3 L1
L3
N
obliczamy
EL1
U = EL1 - EL2 = U -U
L12 L1 L2
L1
U = EL2 - EL3 = U -U
EL 2 U L12
L23 L2 L3
U
L2
L31
U = EL3 - EL1 = U -U
L31 L3 L1
U
L23
EL3
L3
U = U
L12
U = U
L1 f
Obliczanie układów trójfazowych
symetrycznych - Gwiazda
EL3
o
UL12 = 2UL1 cos30 = 3UL1
U
L31
U = 3U
U
L23 f
EL1

j
j30o
6
U = 3U e = 3U e
U
L12 L1 L1
L12
EL 2
Napięcie międzyfazowe wyprzedza napięcie fazowe o
3
30o i jest większe o razy od napięcia fazowego.
U +U +U = 0
L12 L23 L31
Układ trójfazowy symetryczny- gwiazda
Prąd przewodowy IL1 =If=prąd fazowy ( płynie przez odbiornik )
I=If
prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu
Odbiornik symetryczny
U
L3
ZL1 = ZL 2 = ZL3 = Z
U U UL 3
L1 L 2
I = ; I = ; I = ;
L1 L 2 L3
Z Z Z
U
Õ
L1
czyli
I = a2I ; I = a I ; I = I = IL1 = I = I
L 2 L1 L3 L1 L1 L1 f
U
L2
Z PPK prÄ…d czwartego przewodu ( neutralnego ).
I + I + I = I
L1 L2 L3 N
układ trójfazowy symetryczny- gwiazda
przy symetrii zasilania i odbiornika
I + I + I = I 1+ a2 + a = 0; czyli I = 0
( )
L1 L 2 L 3 L1 N
prąd w przewodzie neutralnym nie płynie,
mo\
e on być wyeliminowanyukład trójprzewodowy.
Moc symetrycznej gwiazdy odbiorczej
P = PL1 + PL2 + PL3 = 3U I cosÕ
f f
U
P = 3 I cosÕ = 3UI cosÕ
3
P = 3UI cosÕ
Układ trójfazowy symetryczny- trójkąt
Trójkąt symetryczny
EL1
IL1
ZL12
I
EL 2 L3 1
I
IL 2 L12
Z
L31
I
L2 3
E
L3
I Z
L3 L23
UL12  napięcie fazowe odbiornika
U=Uf
odbiornik symetryczny
Z = ZL 23 = ZL 31 = Z
L12
Układ trójfazowy symetryczny- trójkąt
U UL 23 U
L12 L31
I = ; I = ; I = ;
L12 L 23 L 31
Z Z Z
I + I + I = 0;
L12 L 23 L31
z PPK
I = IL12 - I ; I = IL 23 - I ; I = I - I L 23; IL31
L1 L 31 L2 L12 L3 L 31
IL1 = 2IL12cos30o = 3IL12
I
L3
I = 3I I
f L1
I = IL1; I = IL12
f
IL12
I
L2
I + I + I = 0
I
L1 L2 L3
L23
Układ trójfazowy symetryczny- trójkąt
Moc trójkątnego odbiornika trójfazowego
P = PL12 + PL 23 + PL31 = 3U I cosÕ
f f
I
P = 3U cosÕ = 3UI cosÕ
3
P = 3UI cosÕ
wzór jak dla gwiazdy
P = 3UI cosÕ
Q = 3UI sinÕ
S = 3UI
Układ trójfazowy niesymetryczny
niesymetryczna gwiazda odbiornika
EL1 EL1
Zl
ZL1 Z'
I I L1
L1 L1
EL2 I
EL2
L 2
Z Z
Z'
l L2
I
L2
L2
EL3
EL3
Z
Zl IL 3
Z'
L3
I
L3
L3
I
I
N
N
Odbiornik niesymetryczny
ZL1 `" ZL 2 `" ZL 3
Z'L1 = ZL1 + Zl
Układ trójfazowy niesymetryczny
E UL1 U U
L1 L2 L3
I = = ; I = ; IL 3 = ;
L1 L2
'
Z'L1 Z Z' 2 Z' 3
L1 L L
I + I + I = I `" 0;
L1 L 2 L3 N
zadaniem przewodu neutralnego jest symetryzacja napięcia.
Układ trójfazowy niesymetryczny
'
EL1
Z
I L1
L1
EL2
Z'
IL 2
L 2
N N '
MPW
EL3
Z'
IL 3
L3
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1 1
V + + + = EL1 1 + E + E
ìÅ‚ ÷Å‚
N ' L2
' '
Z
I
N
N
Z Z' Z'L3 Z'N Å‚Å‚ Z' Z' 2 L3 Z
íÅ‚ L1 L 2 L1 L L3
1 1 1
E + EL 2 + EL 3
L1
Z'L1 Z'L2 Z' 3
L
V =
N '
1 1 1 1
+ + +
' '
Z Z' 2 Z'L3 Z
L1 L N
E -V EL 2 -V EL3 -V V
L1 N ' N ' N ' N '
I = ; I = ; I = ; I =
L1 L 2 L3 N
' '
Z'L1 Z Z ZN
L2 L3
lub
I = I + I + I
N L1 L 2 L 3
Układ trójfazowy niesymetryczny
gdy ZN" dÄ…\
y do nieskończoności to przypadek trójprzewodowy.
wówczas
I + I + I = 0;
L1 L2 L3
przykład  wyznaczanie kolejności faz
XC
L1
RÅ›
RÅ›=XC
L2
RÅ›
L3
Układ trójfazowy niesymetryczny
RÅ› = X
C
1 1 1 1 1 1 1
E + EL 2 + EL3 EL1 + (EL 2 + EL3 ) E ( - )
L1 L1
- jXc RÅ› RÅ› - jX RÅ› - jX RÅ›
c c
V = = = =
N '
1 1 1 1 2 1 2
+ + + +
- jX RÅ› RÅ› - jX RÅ› - jXc RÅ›
c c
= EL1 j -1 = EL1 ( j -1)(- j +2) = EL1 1+ j2 + j - 2 = -0,2 + j0,6 EL1
( )
j +2 5 5
L 3
EL3 U
V
N '
U
UL2>UL3 \
arówka jaśniej świecąca
L1
wyznacza fazÄ™ L2.
E
L1
U
L2
EL2
Układ trójfazowy niesymetryczny
Niesymetryczny trójkąt odbiorczy
EL1
IL1
ZL12
I
EL 2 L3 1
I
IL 2 L12
Z
L31
I
L2 3
E
L3
I Z
L3 L 23
U UL 23 U
L12 L31
I = ; I = ; I = ;
L12 L 23 L 31
Z Z Z
UL12 U U UL12 U
L31 L23 L31
I = I - I = - ; IL = I - I = - ; I = I - I = ;
L1 L12 L31 L3 L31 L23
Z ZL31 2 L23 L12 ZL 23 Z ZL31
L12 L12
Układ trójfazowy niesymetryczny
EL1
Zl I
L1
Z
L12
I
EL2 L31
Zl I
I
L2
L12
Z
L31
I
EL3 L23
Zl
I
Z
L3
L23
Dla Zl`"0zamiana na
np.
ZL12 ZL 31
wówczas
Z' = ZL1 + Zl
Z =
L1
L1
ZL12 + Z + Z
L23 L31
i liczymy jak dla gwiazdy niesymetrycznej.
Układ trójfazowy niesymetryczny
i liczymy jak dla gwiazdy niesymetrycznej.
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1 1 1
V + + + = E + EL 2 + E
ìÅ‚ ÷Å‚
N ' L1
' ' '
Z Z' Z Z Z'L1 Z'L2 L3 Z'L3
íÅ‚ L1 L 2 L3 N Å‚Å‚
1 1 1
E + E + E
L1 L2 L3
' ' '
Z Z Z
L1 L2 L3
V =
N '
1 1 1 1
+ + +
Z' Z'L2 Z' Z'
L1 L3 N
EL1 -V E -V E -V
L2 L3
N ' N ' N '
I = ; IL 2 = ; I = ;
L1 L3
Z'L1 Z' 2 Z' 3
L L
prądy fazowe liczymy z układu równań
I = IL12 - I ; I = IL 23 - I ; I = I - I ;
L1 L 31 L2 L12 L3 L 31 L 23
Połączenia zło\
one symetryczne
przy symetrii
Z"
Z
l
ZY
Z"
Zl
3
E
f
Z
Y
Pomiar mocy
W układzie symetrycznym czteroprzewodowym- jednym watomierzem
L1 A
W
odb.
L2
sym.
L3
V
N
Pomiar mocy
W układzie symetrycznym trójprzewodowym- jednym watomierzem
A
L1
W
V
odb.
L2
L3 sym.
RW
RW
RW  rezystor o oporności cewki napięciowej watomierza
Pomiar mocy
P = 3Pf = 3Pwat
P
cosÕ =
3UI
Pomiar mocy
W układzie niesymetrycznym  trójprzewodowym
S =U I* +UL 2N ' I* 2 +U I*
L1N ' L1 L L3N ' L3
Układ trójprzewodowy
I* + I* + I* = 0;
I + I + I = 0
L1 L 2 L3
to
L1 L2 L3
*
stÄ…d
I = -I* - I* ;
L3 L1 L 2
PodstawiajÄ…c do wyra\
enia na S otrzymamy
S = UL1 -UL 3 I* + UL 2 -U I*
( ) ( )
L3
L1 L1
czyli
S = U I* +U I*
L13 L 23
L1 L1
Pomiar mocy
Moc czynna
P = Re S = UL13IL1 cos"" UL13, IL1 +UL23IL2 cos"" UL23, IL2
{ } ( ) ( )
czyli P=P1+P2
L1
W
odb.
L2
W
L3 .
Pomiar mocy
cos(Ä… + ² ) = cosÄ… cos ² - sinÄ… sin ²
Przy symetrii E i Z
P = UI cos Õ - 300 + UI cos Õ - 300 =UI cos Õ cos 300 +UI sin Õ sin 300 +
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+UI cos(Õ)cos 300 -UI sin (Õ)sin 300 = 2UI cos(Õ)cos 300 = 3UI cos(Õ) = P
( ) ( ) ( )
UL13
Q
UL1
P1 - P2 = 2UI sin 300 sinÕ =UI sinÕ =
Õ -300
3
I
L1
Õ
UL23
Õ +300
Õ
UL3
UL2
IL2
UL31
Pomiar mocy
zatem przy symetrii
P = P1 + P2
Q = 3 P1 - P2
( )
Q P - P2
1
tgÕ = = 3
P P + P2
1
Pomiar mocy
W układzie symetrycznym mo\
na zmierzyć moc bierną jednym watomierzem
L1 W
odb.
L2
L3 .
Q
Pwat =UI cos(900 -Õ) =UI sinÕ =
3
Q = 3Pwat