OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Kurs powtórkowy
Kurs powtórkowy
Sierpień 2011
Sierpień 2011
w1
w1
Obwody elektryczne i Teoria
obwodów 1
" Dr in\
.. Adam Gubański
" Pok. 205/7 D1
" eportal.eny.pwr.wroc.pl
Wykład
Cel zajęć :
Umiejętność obliczania stanu ustalonego w obwodach RLC przy wymuszeniu
sinusoidalnym z wykorzystaniem: równań Kirchhoffa, zasady superpozycji,
metody prądów oczkowych, metody potencjałów węzłowych., twierdzenia Thevenina.
Rozwiązywanie obwodów ze sprzę\
eniem magnetycznym.
Wyznaczanie parametrów czwórników. Rozwiązywanie obwodów trójfazowych.
Składowe symetryczne- zagadnienia wstępne.
Zawartość kursu:
Liniowy obwód elektryczny przy wymuszeniu
sinusoidalnym. Metoda symboliczna.
Prawa i twierdzenia teorii obwodów w zapisie symbolicznym. Wykresy wskazowe.
Moc zespolona. Rezonans. Obwody ze sprzÄ™\
eniem magnetycznym.
Czwórniki. Układy trójfazowe. Metoda składowych symetrycznych.
Obwody elektryczne
Literatura podstawowa:
1. S. Osowski, K. Siwek, M. Śmiałek  Teoria Obwodów, Oficyna Wydawnicza
2. Politechniki Warszawskiej, 2006.
2. S. Bolkowski - Teoria Obwodów Elektrycznych -WNT 1995 ;
3. Opracowania wewnętrzne Zakładu Elektrotechniki Teoretycznej
Literatura uzupełniająca:
M. Uruski, W. Wolski - Teoria Obwodów t. I, II - skrypt P.Wr.
K. Mikołajuk, Z. Trzaska - Elektrotechnika Teoretyczna - PWN 1984
J. Osiowski, J. Szabatin - Podstawy Teorii Obwodów t. I, II - WNT 1992 - 1995
Warunki zaliczenia: egzamin
1 termin: 30.08.2011, godz. 10:00
2 termin: 13.09.2011, godz. 11:00
Sale 104 i 28 bud. D1
Obwody elektryczne
Teoria obwodów stanowi jedną z dziedzin elektrotechniki zajmującą się stroną
teoretyczną zjawisk występujących w obwodach elektrycznych,
w tym metodami analizy rozpływu prądów i rozkładu napięć w obwodzie w
stanie ustalonym i nieustalonym.
Przyjmuje siÄ™, \
e nośnikami elektryczności są cząstki elementarne:
elektrony i protony.
W przypadku przewodników elektrycznych najwa\
niejszÄ… rolÄ™ odgrywajÄ…
elektrony swobodne, stanowiące trwałe nośniki ujemnego ładunku q,
wyzwolone z przyciągania jądra atomu oraz jony, stanowiące cząsteczki naładowane
dodatnio lub ujemnie.
Elektron ma Å‚adunek elektryczny równy e = -1,602 176 487(40)·10-19C
i masÄ™ spoczynkowÄ… me H" 9,10938·10-31 kg
Prąd elektryczny powstaje jako uporządkowany ruch ładunków elektrycznych i
jest uto\
samiany w teorii obwodów z pojęciem natę\
enia prÄ…du elektrycznego.
Jest wielkością skalarną, a jej jednostką w układzie SI jest amper (A).
Ka\
demu punktowi w środowisku przewodzącym prąd elektryczny mo\
na
przyporządkować pewien potencjał mierzony względem punktu odniesienia.
Ró\
nica potencjałów między dwoma punktami tego środowiska nazywana jest
napięciem elektrycznym. Jednostką napięcia elektrycznego jest volt (V).
Obwody elektryczne
B
"
E
"
+"dW
VA = limq 0 A = E dl
+"
0
q0 A
dl
A
UAB
B " B " "
UAB = E dl = E dl + E dl = E dl - E dl = VA -VB
+" +" +" +" +"
A A " A B
dq
i(t) =
dt
Obwody elektryczne
Obwód elektryczny słu\
y do przekazywania energii
elektrycznej ze z
ródeł energii do odbiorników.
Za obwód elektryczny będziemy uwa\
ać takie
połączenie elementów, które umo\
liwia przepływ
prÄ…du.
" Z teorią obwodów związane jest pojęcie sygnału.
" Rozró\
niamy sygnały:
" - napięciowe ( napięcia ), u(t)
" - prÄ…dowe ( prÄ…dy ), i(t)
" - elektromagnetyczne ( fale elektromagnetyczne )
" i wiele innych.
Obwody elektryczne
" Je\
eli rozmiary obwodu są małe w porównaniu z
długością fali elektromagnetycznej sygnału to
wówczas mówimy, ze obwód ma skupione
elementy ( parametry )  pomijamy rozmiary
geometryczne elementu.
 = c Å" f H" 6000km
" np. dla 50 Hz długość fali i
obwody o rozmiarach rzędu kilkunastu
kilometrów mo\
na uwa\
ać za skupione.
" Linie energetyczne o długości setek kilometrów
stanowiÄ… obwody o tzw. parametrach
rozło\
onych  musimy wówczas uwzględnić
rozmiary geometryczne.
Obwody elektryczne
Obwody elektryczne charakteryzują się określoną budową
tzw. strukturÄ….
W strukturze obwodu wyró\
nia siÄ™:
" oczka
" gałęzie
" węzły.
Gałęzie utworzone są z elementów obwodu.
" Elementem obwodu jest jego część niepodzielna pod
względem funkcjonalnym, bez utraty cech
charakterystycznych.
" Elementami sÄ… np. oporniki, kondensatory, cewki,
akumulatory itp.
Obwody elektryczne
Elementy dzielimy na:
- aktywne
-pasywne.
Element aktywny wytwarza energiÄ™ kosztem innej postaci energii:
- mechanicznej  generator
- chemicznej  ogniwo, akumulator
- słonecznej  ogniwa fotowoltaiczne
- itd.
Elementy pasywne:
- zachowawcze- akumulujÄ…ce ( cewka, kondensator )
- rozpraszajÄ…ce ( rezystor ).
Elementy posiadają zaciski słu\
ące do doprowadzania sygnału,
dwu-, trzy-, cztery lub więcej zaciskowe.( dwójniki, trójniki,
czwórniki, itd. )
Obwody elektryczne
Elementy pasywne, dwu zaciskowe - strzałkowanie
Napięcie i prąd strzałkuje się przeciwsobnie ( nasza umowa ).
Vb
i
Va
u = uab = Va -Vb
u
Na elemencie pasywnym zawsze
t
+"uidt e" 0
-"
Obwody elektryczne
Przykłady elementów pasywnych:
" Opornik, rezystor - opisuje siÄ™ zale\
nością
między u i i ( sygnały )
u
R
i
u
tgÄ… = R
i
Ä…
Liniowy - u =R i R  parametr zwany rezystancjÄ… lub oporem
[R]= 1&!
( Ohm )
1
= G - kondunktancja, przewodność G = 1 S ( Simens )
[ ]
R
Obwody elektryczne
Nie zawsze element rezystancyjny musi mieć charakterystykę liniową ( np.
warystor )
Obwody elektryczne
Najczęściej opornik jest wykonywany z metalowego drutu.
Je\
eli drut ma długość l, pole przekroju poprzecznego S i
rezystancjÄ™ wÅ‚aÅ›ciwÄ… ( rezystywność ) Á, to rezystancja
opornika jest wprost proporcjonalna do l i Á, a odwrotnie
proporcjonalna do S, stÄ…d R=Ál/S.
Obwody elektryczne
Kolor Wartość Mno\
nik Tolerancja Współczynnik
temp. Ä… ppm/K
1 pasek 2 pasek 3 pasek 4 pasek Ostatni pasek
brak 20
srebrny 0,01 &! 10
złoty 0,1 &! 5
czarny 0 0 x 1 &! 20 200
brÄ…zowy 1 1 x 10 &! 1 100
czerwony 2 2 x 100 &! 2 50
pomarańczowy 3 3 x 1 k&! 3 15
\
ółty 4 4 x 10 k&! 0,1 25
zielony 5 5 x 100 k&! 0,5
niebieski 6 6 x 1 M&! 0,25 10
fioletowy 7 7 x 10 M&! 0,1 5
szary 8 8 0,05 1
biały 9 9
Obwody elektryczne
Uwagi:
- pasków lub kropek jest trzy, cztery, pięć lub sześć
jeśli jest ich trzy, to wszystkie trzy oznaczają oporność
(w tym trzeci oznacza mno\
nik), a tolerancja wynosi Ä…20%
jeśli jest ich cztery, to trzy pierwsze oznaczają (tak jak w przypadku powy\
ej)
oporność, a czwarty  tolerancję
jeśli jest ich pięć, to trzy pierwsze oznaczają cyfry oporności, czwarty mno\
nik,
a piÄ…ty tolerancjÄ™
jeśli jest ich sześć, to jest to opornik precyzyjny i trzy pierwsze oznaczają cyfry
oporności, czwarty  mno\
nik, piąty  tolerancję, szósty  temperaturowy współczynnik
rezystancji (ten pasek mo\
e znajdować się na samym brzegu opornika)
pierwszÄ… cyfrÄ™ oznacza pasek bli\
szy końca, a między mno\
nikiem i
tolerancją jest czasem większy odstęp
stare oporniki sÄ… oznakowane:
1 cyfra  kolor opornika
2 cyfra  kolor paska
mno\
nik  kolor kropki
Obwody elektryczne
Szereg wartości - wartości nominalne ("znamionowe") rezystancji oporników i
Pojemności kondensatorów produkowanych seryjnie pochodzą z ustalonej w tym celu
tabeli szeregów.
Obwody elektryczne
Cewka, zwojnica  opisuje siÄ™ sygnaÅ‚ami ¨, i ( ¨=wÅš ) Weber
[¨]= 1Wb
u
d¨
u =
i
dt
L
Cewka, zwana inaczej induktorem, nale\
y do klasy elementów pasywnych.
Ma ona zdolność gromadzenia energii w polu magnetycznym. Cewce idealnej
przypisuje się tylko jedną właściwość, zwaną indukcyjnością własną
(w skrócie indukcyjnością) i oznacza literą L. Dla cewki liniowej indukcyjność
definiuje się jako stosunek strumienia Y skojarzonego z cewką do prądu płynącego
przez niÄ…, to znaczy
[L]= 1H
Dla liniowej ¨=L i , L  parametr - indukcyjność wÅ‚asna Henr
Obwody elektryczne
Napięcie cewki wyra\
ane jest jako pochodna strumienia względem
czasu
dÅš di
gdzie w  liczba zwoi w cewce
u = w = L
dt dt
W przypadku cewki liniowej, dla której strumień jest iloczynem
prądu i indukcyjności, , relacja napięciowo-prądowa
upraszcza siÄ™ do postaci
Jest to element zachowawczy
t
1 1
i = idt', WL = Li2
+"
L 2
-"
Obwody elektryczne
drut Pętla kołowa
cylinder
selenoid
Linia 2-przewodowa
toroid
Kabel koncentryczny
płyta
Obwody elektryczne
Zauwa\
my, \
e przy stałej wartości indukcyjności i prądu cewki, napięcie na niej
jest równe zeru, gdy\
pochodna stałej względem czasu jest równa zeru.
Stąd cewka w stanie ustalonym obwodu, przy prądzie stałym zachowuje się jak
zwarcie (napięcie między końcówkami elementu jest równe zeru).
Interesujące zjawiska powstają w układzie dwóch cewek poło\
onych blisko siebie,
w których zachodzi wzajemne przenikanie się strumieni magnetycznych.
Jeśli dwie cewki o indukcyjnościach własnych i są tak usytuowane, \
e strumień
wytworzony przez jednÄ… z nich przenika drugÄ…, to takie cewki nazywamy sprzÄ™\
onymi
magnetycznie.
L1
i1
"
u1
M
L2
i2
"
u2
Obwody elektryczne
Obok indukcyjności własnej, dla cewek sprzę\
onych wprowadza się pojęcie
indukcyjności wzajemnej M
¨21 ¨12
M = =
i1 i2
gdzie ¨21 oznacza strumieÅ„ skojarzony z cewkÄ… drugÄ…, wytworzony przez prÄ…d
pÅ‚ynÄ…cy w cewce pierwszej, a ¨12  strumieÅ„ skojarzony z cewkÄ… pierwszÄ…,
wytworzony przez prąd płynący w cewce drugiej.
Jednostką indukcyjności wzajemnej jest henr.
Istnienie sprzÄ™\
enia magnetycznego powoduje indukowanie się napięć na cewce
pierwszej wskutek zmian prądu płynącego w cewce drugiej (i na odwrót).
Zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej napięcia obu cewek wytworzone
na skutek indukcji wzajemnej określone są wzorami
di2 di1
di1 di2
u2 = L2 Ä… M
u1 = L1 Ä… M
dt dt
dt dt
Obwody elektryczne
Znak plus lub minus występujący we wzorze zale\
y od rodzaju sprzÄ™\
enia:
( + ) - sprzÄ™\
enie zgodne ( dodatnie )
( - ) - sprzÄ™\
enie przeciwne ( ujemne ).
W tym celu wprowadza się pojęcie zacisków jednakoimiennych ( * )
Je\
eli prądy do zacisków jednakoimiennych jednocześnie wpływają lub
wypływają to strumień własny i wzajemny się dodają . Wtedy istnieje
sprzÄ™\
enie dodatnie
Z powy\
szych zale\
ności wynika, \
e w elementach sprzÄ™\
onych magnetycznie
energia elektryczna mo\
e być przekazywana z jednego elementu do drugiego
za pośrednictwem pola magnetycznego. Co więcej, nawet przy braku
przepływu prądu przez cewkę, mo\
e na niej pojawić się napięcie pochodzące
ze sprzÄ™\
enia magnetycznego od cewki drugiej.
Obwody elektryczne
[q]= 1C
Kondensator  opisuje się sygnałami u i q Culomb
Kondensator jest elementem pasywnym w którym mo\
e gromadzić się energia
w polu elektrycznym. Kondensatorowi idealnemu przypisuje siÄ™ tylko jednÄ…
właściwość, zwaną pojemnością C. W przypadku kondensatora liniowego
pojemność jest definiowana jako stosunek ładunku q zgromadzonego w
kondensatorze do napięcia między okładkami tego kondensatora
[C]= 1F
Dla liniowego q = C u C  parametr  pojemność Farad
Jest to element zachowawczy
1
u
= D
t t
C
1
u = D idt', WC = Cu2
dq
+"idt', q = +"
2
i =
-" -" elastancja
i dt
C
. Zale\
ność wią\
ąca napięcie i prąd kondensatora
dana jest w postaci równania ró\
niczkowego
Podobnie jak w przypadku cewki, jeśli napięcie na
zaciskach kondensatora jest stałe, to jego prąd jest
równy zeru (pochodna stałej względem czasu
jest równa zeru). Kondensator zachowuje się wtedy
jak przerwa (mimo istnienia napięcia prąd nie płynie).
Obwody elektryczne
Tak przedstawione elementy sÄ… wyidealizowane  idealne
idealne
rzeczywisty
C
L
RL
Ru
"
Obwody elektryczne
" Gałąz
 zbiór tak połączonych elementów, tak \
e na zewnÄ…trz
wyprowadzone są tylko dwa zaciski zwane węzłami  końcówkami
gałęzi.
" Węzeł sieci to końcówka gałęzi do której mogą być podłączone inne
gałęzie ( 1, 2, 3 itd. )
" Najprostsze połączenia gałęzi to:
R1 i1 R2 i2 R3 i3
szeregowe PÅ‚ynie ten sam
i = i1 = i2 = i3
prÄ…d
u
równoległe Na ka\
dej
u = u1 = u2 = u3
G1
gałęzi jest to
samo napięcie
G2
G3
Oczkiem obwodu nazywamy zbiór gałęzi tworzących drogę zamkniętą i o takiej
własności, \
e po usunięciu dowolnej gałęzi pozostałe nie tworzą drogi zamkniętej.
Obwód rozgałęz
ny - zawiera więcej ni\
jedno oczko.
Obwody elektryczne
Elementy aktywne  z
ródła
Idealne, niesterowalne
u
napięciowe
+
E
E
E
-
i
prÄ…dowe
i
Izr
Izr
u
Obwody elektryczne
y
ródła sterowane
y
ródło napięciowe sterowane prądowo
i1
ri1
y
ródło napięciowe sterowane napięciowo
u1 µu1
y
ródło prądowe sterowane napięciowo
qu1
u1
y
ródło prądowe sterowane prądowo
Ä…i1
i1
Obwody elektryczne
WielkoÅ›ci r, µ oraz q i Ä… stanowiÄ… współczynniki
proporcjonalności między wielkością sterującą i
sterowanÄ… tych z
ródeł. Przyjmują one najczęściej
wartości rzeczywiste, choć w ró\
nego rodzaju modelach
mogą być równie\
opisane liczbÄ… zespolonÄ…. Nale\
y
nadmienić, \
e z
ródła sterowane stanowią bardzo
popularne modele wielu elementów elektrycznych i
elektronicznych, takich jak transformatory idealne,
maszyny elektryczne, tranzystory bipolarne i polowe,
wzmacniacze operacyjne napięciowe i prądowe, itp.
Obwody elektryczne
Prawa Kirchhoffa
"Ä…i = 0
n
PrÄ…dowe Prawo Kirchoffa ( PPK )
n
i1 + i2 + i3 - i4 - i5 = 0
Obwody elektryczne
Napięciowe Prawo Kirchoffa ( NPK ):
Suma napięć i sił elektromotorycznych w ka\
dym oczku obwodu
elektrycznego jest równa zeru.
"Ä…u Ä… Ek = 0
k
k
u2
u3
u1
E4
u4
u1 + u2 + u3 - u4 + E4 = 0
Obwody elektryczne
Sygnały sinusoidalne, zwane równie\
harmonicznymi, sÄ… opisane w dziedzinie
czasu następującym wzorem (w opisie przyjęto oznaczenie sygnału
napięciowego)
u(t) = Um sin(Ét + ¨)
" u(t) - wartość chwilowa napięcia,
" Um - wartość maksymalna (szczytowa) napięcia, zwana równie\

amplitudÄ…,
" È- faza poczÄ…tkowa napiÄ™cia odpowiadajÄ…ca chwili t=0,
" Ét+È - kÄ…t fazowy napiÄ™cia w chwili t,
" É = 2 f - pulsacja mierzona w radianach na sekundÄ™,
" f =1/T - częstotliwość mierzona w hercach (Hz),
" T - okres przebiegu sinusoidalnego.
Obwody elektryczne
UWAGA: Wartości chwilowe sygnałów będziemy oznaczać małą literą, a wartości
maksymalne, skuteczne i wielkości operatorowe du\
Ä….