Własności sprężyste ciał rzeczywistych
(stałych)
" nie ma ciał idealnie sztywnych odkształcenia
F
" odkształcenia skutkiem naprężeń
� =
S
[�] = 1 �/m2
"�
" uogólnione odkształcenie względne:
�
Własności sprężyste ciał stałych
cd.
F
obszar
plastyczności
granica odkształceń
sprężystych
granica
F = k x
liniowości
x
"�
"�
"�
"�
odkształcenie jest proporcjonalne do
~ �
�
�
�
Prawo Hooke a:
naprężenia (do granicy liniowości!)
�
�
�
�
Własności sprężyste ciał
Własności sprężyste ciał
c.d.
c.d.
Ilościowo opisują je moduły sprężystości:
"l �
" �
" �
" �
E = � =
= � =
= � =
= � =
- Younga (rozciąganie, ściskanie)
l �
�
�
�
- sztywności poprzecznej
"�
"�
"�
"�
(skręcanie, ścinanie)
= �
G = �
= �
= �
�
�
�
�
- sprężystości objętościowej
"V
"
"
(ściśliwości) "
B = - p
= -
= -
= -
V
E G B
1010 [N/m2]
Aluminium 7,0 2,5 7,0
Miedz
11 4,2 14
Stal 20 8,4 16
Szkło 6,5-7,8 2,6-3,2 5,0-5,5
Woda - - 0,21
Drgania
Opis ilościowy drgań
Równanie różniczkowe liniowe II rzędu
niejednorodne
" Uproszczenia
" Oscylator harmoniczny/ Ruch
harmoniczny prosty
" Energia w ruchu harmonicznym
" Drgania tłumione
" Drgania wymuszone, rezonans
Drgania cd.
Opis ilościowy drgań
Równanie różniczkowe liniowe II rzędu niejednorodne
m - masa, b - współczynnik tłumienia
mx + bx + kx = Fw( t )
k - stała sprężystości, Fm - wymuszenie (siła)
x<0
Fw
F=ma
FS=-kx
m
gdy
Fw = 0 i b = 0
x
Fb=-bv
0
ruch harmoniczny prosty
2 2
d x d x
F = -kx F = ma = m �! - kx = m
2 2
dt dt
2
d x
m + kx = 0
Szukamy rozwiązania tego równania
2
dt
Ruch harmoniczny prosty
rozwiązanie równania (odgadujemy)
Ó!
typu: m x + kx = 0 �!
x = A cos (� t + � )
x = - A� sin(�t + � )
2
x = - A� cos(�t + � )
� - przesunięcie fazowe
Sprawdzamy:
�t+� - faza ruchu - kąt
m x + kx = 0
2
- m � A cos (� t + �)+ k A cos (� t + �) = 0
k 2Ą m
2 2
m � = k;�! � = �! T = = 2Ą
m � k
Ruch harmoniczny prosty, c.d.
Ruch harmoniczny prosty, c.d.
1
x
��+�
��+�
��+�
��+�
( )
x = A cos(�t + � )
= ( )
= (� + �
= � + � )
� + �
0
.
2Ą
4Ą
6Ą
t
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł
x = Acos�ł2Ą +�
= Ą +�
= Ą +�
= Ą +�
-1
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
T
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
� > 0
1
x
t
0
.
T
2T 3T
-1
Liczby urojone nie są nierzeczywiste !
mx''+bx'+kx = 0
+ + =
+ + =
+ + =
mAr2 exp(rt) + bArexp(rt) + kAexp(rt) = 0
+ + =
+ + =
+ + =
x = Aexp(rt) x'= Arexp(rt) x''Ar2 exp(rt)
= =
= = b k b2 4k
= =
mr2 + br + k = 0 r2 + r + = 0 " = -
+ + = + + = = -
+ + = + + = = -
+ + = + + = = -
m m m
m2
x = A1 exp(r1t) + A2 exp(r2t) rozwiazaniem
- b b2 4k
" > 0 r = ą - liczba rzeczywista
zwykle funkcje wykladnicze
2m m2 m
- b b2 4k
" < 0 r = ą j - liczba zespolona
2m m2 m
k k
dla b = 0 r1 = -j r2 = j (urojone )
m m
k k A k
x = A[exp(-j t) + exp( j )] = cos( t)
m m 2 m
postac trygonomet ryczna funkcji zespolonej
Drgania tłumione
" b > 0
dx
A
Ft = -b = -bx
dt
bt
-
-
-
-
x
2m
e
mx + bx + kx = 0
bt
-
2m
0
x = Ae cos(�'t +� )
� �
� �
� �
dla : k m > (b 2m)2
2
k b
�ł �ł
( )
( )
(�'t + � )
(� + �
� + � )
� + �
�'= -
�
�
�
�ł �ł
-A
m 2m
�ł łł
Drgania wymuszone, rezonans
Ogólnie wymuszenie Fw(t) `" �t) !
`"Acos(�
`" �
`" �
" siła wymuszająca o częstości &! :
Fw = Fm cos( &! t )
mx + bx + kx = Fm cos( &! t )
" rozwiązanie tego równania ma postać:
Fm
2 2 2
x = sin(&! t -ą) ł = m2( &! -� )2 + b2&!
ł
b&!
ą = arccos
ł
Fm Fm k
A = =
2
2
ł
( )
�2 &!2 - �2 + (b&!)
Drgania wymuszone, rezonans cd.
A
b=0,2m�
�
�
�
� - częstotliwość drgań Fm
4
k
własnych układu bez
tłumienia Fm
3
k
&! = � - częstotliwość
rezonansowa
Fm
2
k
b=m�
�
�
�
Fm
k
&!
&!
&!
&!
0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
�
�
�
�
Energia w ruchu harmonicznym
Ek Ep
kA2/2
prosty oscylator harmoniczny
E
- układ zachowawczy
�
�
�
� t
Ą 2Ą 3Ą
0
1 1 1
2
Ek = mv2 = m[- A�sin(�t + �)] = mA2�2 sin2(�t + �)
2 2 2
1 1 1
2
Ep = kx2 = k[Acos(�t + �)] = kA2 cos2(�t + �)
2 2 2
1 k
�2 =k mEk = mA2 sin2(�t + �)
2 m
1
E =Ek +Ep = kA2[sin2(�t + �) + cos2(�t + �)]
2
1
E = kA2
2
Przykład
" wahadło torsyjne (skrętne)
M = I� = -�� (pr.Hooka )
� ��
� ��
� ��
2
d �
�
�
�
I� = I = -��
� ��
� ��
� ��
2
dt
�I + �� = 0
� ��
� ��
� ��
� = � cos( �t + � )
� � � �
� � � �
� � � �
m
�
�
�
�
T = 2Ą I �
Ą �
Ą �
Ą �
Dudnienia
/ilustracja/
drgania składowe:
y
t
� Td
i ich  suma obserwowana w czasie 8 Td
ńd
Dudnienia cd.
jest to superpozycja
ym1 = ym2 = ym f1 - f2 ="f << f1, f2 H" f
drgań o parametrach:
t.j. :
y = y1 + y2 = ym [cos(2Ąf1t)+ cos(2Ąf2t)]
f1 + f2 f1 - f2
drganie
y = 2ym cos�ł2Ą t�łcos�ł2Ą t�ł
�ł �ł �ł �ł
wypadkowe:
2 2
�ł łł �ł łł
f1 + f f1 - f
2 2
częstotliwość fd
f H" , f =
d
modulacji amplitudy:
2 2
Krzywe Lissajous
Powstają w wyniku superpozycji drgań o kierunkach prostopadłych
drgania wzdłuż obu
y
osi jednakowe:
�(x)=2�
� �
� �(y)
� �
�(x)= �
� �
� �(y)
� �
A(x)=A(y)
A(x)=3.5A(y)
�(x)= �
� �
� �(y)
� �
ą(x)=0
ą
ą
ą
A(x)= A(y)
ą(x)=0 ą
ą
�(x)= � ą ą(y)=Ą/2
� � ą
� �(y) ą ą
� �
A(x)= A(y)
ą(x)=0
ą
ą
ą
ą(y)=Ą/2
ą
ą
ą
ą(x)=ą
ą ą
ą ą(y)=0
ą ą
ą(y)=Ą/2
ą
ą
ą
x
A(x)=A(y)
�
�(x)=3/2� �(x)=4/3� �(x)=10/9�
� � � � � �
� �(y) � �(y) � �(y)
� � � � �
ą(x)=0
ą
ą
ą
�(x)=3/2�
� �
� �(y)
� �
ą(y)=Ą/9
ą
ą
ą
ą(x)=0 ą
ą ą
ą ą(y)=Ą/2
ą ą
ą(x)=0 ą(y)=0
ą
ą
ą
ą
ą
ą
ą(x)=0 ą
ą ą
ą ą(y)=Ą/2
ą ą