Podstawy Automatyki
Wykład 8
Wykład 8
Wykład 8
Ocena jakości liniowych
Ocena jakości liniowych
Ocena jakości liniowych
układów regulacji
układów regulacji
układów regulacji
Janusz KOWAL
Janusz KOWAL
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wprowadzenie
Podstawowym wymaganiem stawianym układowi
regulacji jest uzyskanie na jego wyjściu sygnału
y(t) odpowiednio bliskiego przebiegowi wartości
zadanej w(t) (czyli minimalizacji sygnału uchybu).
Uchyb regulacji e(t) jest różnicą pomiędzy
wartością zadaną a regulowaną, może być
wywołany przez np:
zakłócenia
e(t)= w(t)- y(t)
zmianę wartości zadanej
zmianą parametrów układu
2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wprowadzenie
Dokładność statyczna  zdolność układu do
utrzymywania wartości regulowanej jak najbliżej
wartości zadanej w stanie ustalonym, a więc po
zakończeniu stanu przejściowego.
Dokładność dynamiczna  określa zdolność
układu do wiernego i szybkiego śledzenia zmiany
wartości zadanej.
3
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
W przebiegu uchybu regulacji e(t) można wydzielić
dwie składowe:
1)Uchyb ustalony eu występuje wtedy, gdy w
układzie dla t " przy danym sygnale
sterującym i danych sygnałach zakłócających
sygnał wyjściowy ustala się. Przy wymuszeniu
skokowym uchyb ustalony nosi nazwÄ™ uchybu
statycznego.
2) Uchyb dynamiczny ed(t ) występuje w stanie
przejściowym
e(t) = eu + e (t)
d
4
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Dokładność statyczna liniowych układów
regulacji
Miarą dokładności statycznej są:
uchyby ustalone  utrzymujÄ…ce siÄ™ po zaniku
procesu przejściowego, wywołanego zmianą
wartości zadanej w(t) lub zakłócenia z(t)
Z(s)

W(s) E(s) U(s) Y(s)
GO(s)
GR(s)

Schemat blokowy układu regulacji
5
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Ocena dokładności statycznej układu spro-
wadza siÄ™ do oceny uchybu w stanie ustalonym eu.
e = lim e(t)
u
t "
Uchyb regulacji e(t) można wyrazić także jako
sumę dwóch składowych
e(t) = ez(t) + ew(t)
gdzie:
ez(t)  składowa będąca wynikiem oddziaływania
zakłóceń (uchyb zakłóceniowy),
ew(t)  składowa wywołana zmianą wartości zadanej na
wejściu układu (uchyb nadążania).
6
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
1) Zakładamy, że z(t) a" 0 wtedy:
YW(s) G0 (s)GR (s)
G1(s) = =
W(s) 1 + G0 (s)GR (s)
lecz
Yw(s) = G0 (s)G (s)E (s)
R w
Transmitancja uchybowa układu względem
wartości zadanej w(t) wynosi więc:
EW(s)
1
Ge/w(s) = =
W(s) 1+ G0 (s)GR (s)
7
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
2) Zakładamy, że w(t) a" 0, wtedy
YZ(s) G0(s)
G2(s) = = -
Z(s) 1+G0(s)GR(s)
lecz
1
Y (s) = - E (s)
Z Z
G ( s)
0
stąd transmitancja uchybu względem zakłócenia
z(t) wynosi:
Ez(s) G0(s)
Ge/z(s) = =
Z(s) 1+G0(s)GR(s)
8
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Odpowiedz
całkowita wielkości regulowanej
G0 (s)GR (s) G0 (s)
Y(s) = YW (s) + YZ(s) = W(s) - Z(s)
1 + G0 (s)GR (s) 1 + G0 (s)GR (s)
Odpowiedz
całkowita uchybu
G0 (s)
1
E(s)= EW(s)+ EZ(s)= W(s)+ Z(s)
1+ G0 (s)GR (s) 1+ G0 (s)GR (s)
stąd uchyb statyczny (twierdzenie o wartości
końcowej)
eu = lim e(t) = lim0 sE(s)
t " s
Powyższe zależności pozwalają ocenić wpływ typu i
nastaw regulatora na dokładność statyczną układu.
9
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 1
Obiekt regulacji jest elementem inercyjnym
pierwszego rzędu.
K
G ( s ) =
0
Ts + 1
Wyznaczyć uchyb statyczny układu wywołany
skokową zmianą zakłócenia w przypadku, gdy w
układzie zastosowano:
a) regulator typu P
b) regulator typu PI
Ponieważ w(t) = 0 otrzymujemy:
G0 (s)
eu = limsE(s)= lims Z(s)
s0 s0
1+ G0 (s)GR (s)
10
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
a) Jeżeli GR (s) = Kp, to
K
zst K
Ts+1
eu = lims = zst
s0
K
1+ Kp s 1+ KKp
Ts+1
ëÅ‚ öÅ‚
1
b) Jeżeli Gr(s)= KpìÅ‚ , to
ìÅ‚1+Ts÷Å‚
÷Å‚
íÅ‚ i Å‚Å‚
K
zst
Ts + 1
eu = lim s
s0
K 1
s
1 + K (1 + )
p
Ts + 1 Ti s
KTis
eu = lim zst = 0
s0
Tis(Ts +1) + KKp (Tis +1)
11
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Z powyższych obliczeń wynika, że:
a)zwiększenie wzmocnienia Kp, regulatora typu P,
powoduje zmniejszenie uchybu statycznego,
b)działanie całkujące regulatora powoduje, że
uchyb statyczny eu = 0.
Należy zwrócić uwagę, że zmniejszenie uchybu
statycznego na drodze zwiększenia
współczynnika wzmocnienia Kp regulatora jest
możliwe w ograniczonym zakresie  może
bowiem prowadzić do niestabilności układu.
12
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Istnieją dwa typy liniowych układów regulacji:
1) Układy regulacji statycznej
Układy, w których występują uchyby ustalone,
proporcjonalne do wartości wymuszenia
skokowego.
Transmitancja układu otwartego Gotw(s) dla
układów statycznych nie zawiera biegunów
zerowych
L(s)
Gotw(s) =
M(s)
13
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
2) Układy regulacji astatycznej
Układy, w których uchyby ustalone przy stałym
wymuszeniu są równe zero. Układy astatyczne,
wykazujÄ… pewne uchyby ustalone przy
wymuszeniach liniowo narastajÄ…cych.
Transmitancja układu otwartego dla układów
astatycznych ma postać:
L(s)
Gotw(s) =
n
s M(s)
14
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Odpowiedzi układu statycznego
a)
b)
w y
w y
w(t)
w(t)
y(t) y(t)
t
t
Na wymuszenie skokowe Na wymuszenie liniowo
narastajÄ…ce
15
u
u
e =const
e =0
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Odpowiedzi układu astatycznego I rzędu
e =const
u
w y
y
w

e "
u
w(t)
w(t)
y(t)
y(t)
t t
Na wymuszenie liniowo
Na wymuszenie skokowe
narastajÄ…ce
16
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 2
Układ regulacji automatycznej ma strukturę
przedstawionÄ… na rysunku. Regulator i obiekt majÄ…
transmitacje operatorowe odpowiednio równe:
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
G (s ) = K 1 + ,
R p
ìÅ‚ ÷Å‚
sT
íÅ‚ i Å‚Å‚
1
G (s ) =
O
(
s s + 2 )
Z(s)

W(s) E(s) U(s) Y(s)
O
R

17
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wyznaczyć uchyb ustalony w odpowiedzi na
wymuszenie skokowe i liniowo narastajÄ…ce.
Przy założeniu, że Z(s) = 0 dla wymuszeń
nieokresowych otrzymamy
îÅ‚ Å‚Å‚
1
W (s)śł
eu = lim[sE(s)]= limîÅ‚sG (s)W (s)Å‚Å‚ = limïÅ‚s
e
ïÅ‚ śł
s0 s0 s0
ðÅ‚ w ûÅ‚
1 + GR (s)GO (s)
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
M ( s )M ( s )
R O
eu = limïÅ‚s W ( s )śł =
s0
M ( s )M ( s ) + LR( s )LO( s )
ðÅ‚ R O ûÅ‚
1
= lim[sM ( s )M ( s )W ( s )]
R O
s0
M ( 0 )M ( 0 ) + LR( 0 )LO( 0 )
R O
18
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Dla wymuszenia liniowego (prędkościowego)
w2(t)=a2t1(t) o amplitudzie a2=1 otrzymamy
1
W2(s)=
s2
Mianownik transmitancji operatorowej regulatora
PI ma postać:
MR(s)= sTi
Uchyb ustalony (statyczny) przy wymuszeniu
skokowym będzie równy zeru:
1 1
îÅ‚s sTis(s + 2)Å‚Å‚ 0
eu = lim =
ïÅ‚ śł
s 0
0 Å" 0 + 1Å" k s
ðÅ‚ ûÅ‚
p
19
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przy wymuszeniu liniowo narastajÄ…cym uchyb
ustalony będzie również znikał ze względu na
całkujący charakter obiektu:
1 1
eu = limîÅ‚s sTis(s + 2)Å‚Å‚ = 0
śł
kp s0ïÅ‚ s2
ðÅ‚ ûÅ‚
Dopiero wymuszenie drugiego rzędu,
przyspieszeniowe (paraboliczne) o amplitudzie
a3=1 daje
2
w3 (t) = a3t Å"1(t)
i wtedy powstanie niezerowy uchyb ustalony
1
W3(s)=
20
s3
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Jakość dynamiczna
Z odpowiedzi układu z regulatorem
proporcjonalnym na skokową zmianę wartości
zadanej widać, że wzrost wzmocnienia regulatora:
zmniejsza wartość uchybu ustalonego
powoduje, że przebieg sygnału wyjściowego
coraz bardziej odbiega od przebiegu wartości
zadanej.
Zatem wzrost wzmocnienia regulatora w
konsekwencji zmniejsza dokładność dynamiczną
układu. 21
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
h(t)
1
3
2
K 12
1
0 t
Odpowiedz
skokowa dla różnych wzmocnień
22
regulatora
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Ocena dokładności dynamicznej nie jest
jednoznaczna. O ile bowiem uchyb ustalony Å‚atwo
zdefiniować i wyznaczyć jego wartość, o tyle
dokładność dynamiczną można scharakteryzować
różnymi parametrami, na podstawie różnych
kryteriów. Kryteria te można podzielić na cztery
grupy:
ocena parametrów odpowiedzi skokowej,
kryteria całkowe,
kryteria częstotliwościowe,
rozkład pierwiastków.
23
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Ocena parametrów odpowiedzi skokowej
Odpowiedz
skokowa rzeczywistego układu
sterowania często daje tłumione oscylacje, zanim
osiągnie stan ustalony. Jakość regulacji określa
się w tym przypadku na podstawie następujących
parametrów:
a) czas td,
b) czas narastania (czas wzrostu) t1,
c) czas szczytowy tm,
d) maksymalne przeregulowanie A1,
e) czas regulacji tr.
24
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
dopuszczalna
tolerancja
y(t)
0.05
lub
0.02
1
0.5
td
t
0
t1
tm
tr
25
1
A
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Dla większości układów drugiego rzędu tłumienie
powinno zawierać się między 0.4 a 0.8,
MaÅ‚e wartoÅ›ci ¾ (¾ < 0.4) dajÄ… nadmierne
przeregulowanie w odpowiedzi skokowej, a
ukÅ‚ady o dużej wartoÅ›ci ¾ (¾ > 0.8) odpowiadajÄ…
powoli,
Niektóre parametry, np. maksymalne
przeregulowanie i czas narastania, sÄ… prze-
ciwstawne, tzn. maksymalne przeregulowanie
i czas narastania nie mogą być zmniejszane
równocześnie.
26
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 3
Wyznaczyć czas narastania, czas szczytowy,
maksymalne przeregulowanie i czas regulacji
układu drugiego rzędu przedstawionego na
rysunku.
.
2
W(s) E(s) Y(s)
Én
s(s + 2¾Én)

Schemat blokowy układu II-go rzędu
27
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
WartoÅ›ci te okreÅ›limy jako funkcjÄ™ ¾ i wn. ZakÅ‚ada
się, że układ jest niedotłumiony (oscylacyjny). Wtedy
transmitancja układu zamkniętego ma postać
2
É
Y(s)
n
GZ (s)=
2 2
W (s)=
s + 2¾É s + É
n n
a) czas narastania t1
Obliczając z równania odpowiedz skokową,
otrzymujemy czas narastania t1 przyjmujÄ…c y(t1) = 1,
czyli
ëÅ‚ öÅ‚
¾
n
y(t1)=1- e-¾É t1 ìÅ‚cosÉdt1 + sinÉdt1 ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
1- ¾
íÅ‚ Å‚Å‚
przy czym wd oznacza pulsację drgań własnych
tłumionych, wynoszącą .
Éd =Én 1-¾2
28
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Ponieważ z równania otrzymujemy równanie:
¾
cosÉdt1 + sinÉdt1 = 0
2
1- ¾
czyli
2
1- ¾
Éd
tgÉdt1 = - = -
¾ Ã
stąd czas narastania t1 jest równy:
Éd
1 Ä„ - ²
ëÅ‚ öÅ‚
t1 = tg-1 =
ìÅ‚ ÷Å‚
Éd -Ã Éd
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie ² jest zdefiniowane na rysunku. OczywiÅ›cie,
dla małych wartości t1, wd musi być duże.
29
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
É
j
Éd
j
Én
Én = 1-Å›2
²
0
-Ã Ã
Å›Én
Definicja kÄ…ta ²
30
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
b) czas szczytowy tm
Czas szczytowy otrzymujemy różniczkując y(t) ze
względu na czas i przyrównując tę pochodną do
zera. StÄ…d
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
dy ¾ ¾Éd
n n
÷Å‚ ÷Å‚
= ¾Éne-¾É tìÅ‚cosÉdt + sinÉdt + e-¾É tìÅ‚ÉdsinÉdt - cosÉdt
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
dt
1-¾ 1-¾
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Człony zawierające cosinus w ostatnim równaniu
dy
znoszą się i oszacowane w t = tm może być
dt
uproszczone do
Én
dy
n
= (sinÉdtm) e-¾É tr = 0
2
dt
t=tm 1-¾
31
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Z ostatniego równania otrzymujemy:
sin É tm = 0
d
czyli:
Édtm =0,Ä„,2Ä„,3Ä„,...
Ponieważ czas szczytowy dotyczy pierwszego
przeregulowania, więc stąd :
É tm = Ä„
d
Czas szczytowy tm odpowiada połowie okresu
drgań własnych tłumionych
Ä„
tm =
Éd
32
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
c) maksymalne przeregulowanie A1:
Maksymalne przeregulowanie występuje w czasie
szczytowym, czyli dla
Ä„
t =tm =
Éd
Stąd z równania otrzymujemy A1 podstawiając
¾
Ä„ Ã
- Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
-¾Én - Ä„
2
¾
1-¾
Éd Éd
ìÅ‚cosÄ„ + ÷Å‚
A1 = y(tm )-1 = e sinĄ = e = e
2
ìÅ‚ ÷Å‚
1 - ¾
íÅ‚ Å‚Å‚
Maksymalne procentowo przeregulowanie równe
jest
Ã
- Ä„
Éd
e Å"100%
33
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
d) czas regulacji tr:
Dla niedotłumionego układu (oscylacyjnego)
drugiego rzędu odpowiedz
skokowa ma postać:
2
ëÅ‚ öÅ‚
n
1 - ¾
e-¾É t
÷Å‚
y(t)= 1 - sinìÅ‚Éd t + tg-1
dla t e" 0
2
ìÅ‚ ÷Å‚
¾
1 - ¾
íÅ‚ Å‚Å‚
34
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
y(t)
n
e-Å›É t
1
1+
1+
1- ś2
1- ś2
1
T =
Å›É
n
1
n
e-Å›É t
1-
1- ś2
0
1
Ä„
1-
T T 2T3T4T
2
t
1- ś2
Para obwiedni odpowiedzi skokowej
35
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Krzywe sÄ… obwiedniami odpowiedzi skokowej dla
jednostkowego skokowego sygnału wejściowego.
Krzywa odpowiedzi y(t) zawsze pozostaje
wewnÄ…trz pary obwiedni, jak to pokazano na
rysunku. Stała czasowa tych obwiedni równa jest
1/¾wn.
Prędkość tłumienia odpowiedzi skokowej zależy
od wartoÅ›ci staÅ‚ej czasowej 1/¾wn. Dla danego wn
czas regulacji tr jest funkcjÄ… stosunku ¾.
Czas regulacji określany do chwili znalezienia się
sygnału wyjściowego w paśmie tolerancji o
szerokości ą2% lub ą5% może być mierzony
poprzez staÅ‚Ä… czasowÄ… T = 1/¾Én
36
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
W praktyce do porównania odpowiedzi układów
powszechnie stosuje siÄ™ czas regulacji
zdefiniowany jako:
4 4
tr = 4T = = (kryterium 2%)
à ¾Én
lub
3 3
tr =3T = =
(kryterium 5%)
à ¾Én
37
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Kryteria całkowe
Najczęściej stosowane kryteria całkowe:
"
I0 = ed (t)dt,
+"
0
"
I = e (t )dt ,
1 d
+"
0
"
k
I1k = ed(t)dt,
+"t
0
"
2
I2 = (t)dt.
+"e
d
0
38
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
We wszystkich wymienionych kryteriach
(wskaz
nikach) ed(t) oznacza uchyb przejściowy,
czyli:
ed (t)= e(t)- eu, eu = lim e(t)
t"
Niekiedy stosowane sÄ… wskaz
niki całkowe, w
których funkcja podcałkowa jest kombinacją
funkcji podcałkowych z powyższych kryteriów,
Za miarę jakości układu uważa się wartość
całki I, tzn. im mniejsza jest ta wartość, tym
wyższa jakość regulacji układu.
39
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Układ astatyczny
ed
przebieg aperiodyczny
+
0 t
y
przebieg oscylacyjny
+ +
0 t
-
40
Interpretacja graficzna całkowych kryteriów jakości
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Układ statyczny
ed
przebieg aperiodyczny
eu
+
przebieg oscylacyjny
t
0
-
+
0 t
Interpretacja graficzna całkowych kryteriów jakości
41
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 4
Dany jest układ regulacji przy czym transmitacja
obiektu i regulatora ma postać
1
G0(s)= ; GR(s)=K
Ts+1
Wyznaczyć uchyb ustalony i uchyb przejściowy.
W(s) E(s) U(s) Y(s)
O
R

Schemat blokowy układu regulacji
42
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Gdy sygnał wejściowy jest skokiem jednostkowym
w(t) = 1(t), transmitacja uchybowa układu ma postać
1
Ge (s)=
w
1+G0(s)GR(s)
Ts + 1
G (s)=
e
w
Ts + 1 + K
stÄ…d
1
eu (t)= lime(t) = limsE(s) = lim sGe (s)W(s) =
t" s0 s0
w
1+ K
43
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Chcąc wyliczyć uchyb przejściowy wyliczamy
transformatÄ™ uchybu
1
E (s ) = G (s )
e
w
s
Ts + 1
E (s ) =
s (Ts + 1 + )
K
îÅ‚ Å‚Å‚
1
îÅ‚ Å‚Å‚
s +
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A B
T
śł
e(t)= L-1 ïÅ‚ = L-1 îÅ‚ Å‚Å‚ + L-1 ïÅ‚
śł
ïÅ‚ śł
1 + K s
ïÅ‚ śł
öÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚s + 1 + K śł
sëÅ‚ s +
ìÅ‚ ÷łśł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ T ûÅ‚
T
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
44
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
a zatem
îÅ‚ 1 K 1 + K Å‚Å‚
öÅ‚
e(t) = - t Å"1(t)
ìÅ‚ ÷łśł
ïÅ‚1 + K + 1 + K expëÅ‚
T
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Przebieg ten nie jest funkcją podcałkową I1, gdyż
zawiera zarówno uchyb przejściowy, jak i uchyb
ustalony. OddzielajÄ…c przebieg ustalony
1
eu = Å"1(t)
1 + K
otrzymujemy uchyb przejściowy w postaci
K 1 + K
öÅ‚
ed (t)= expëÅ‚ - t Å"1(t)
ìÅ‚ ÷Å‚
1 + K T
íÅ‚ Å‚Å‚
45
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wyznaczmy teraz wartość całki z kwadratu
uchybu
"
2
I = e (t )dt
2 d
+"
0
"
"
2 2
K K +1 - K T K +1
ëÅ‚ öÅ‚dt öÅ‚
I2 = expëÅ‚- t
ìÅ‚ ÷Å‚
2 +"expìÅ‚- 2 T t ÷Å‚ = 3
T
(1+ K) íÅ‚ Å‚Å‚ 2(1 + K) íÅ‚ Å‚Å‚
0
0
stÄ…d
2
K T
I2 =
3
2(1+ K)
46
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wartość kryterium całkowego I2 jest w tym
przypadku zależna od dwóch parametrów K i T,
Osiągnie ona minimum gdy stała czasowa T
będzie jak najmniejsza, a współczynnik
wzmocnienia regulatora K będzie jak największy
Wartość całki np. Io możemy wyrazić też
następująco
I0 =limEp(s)
s0
47
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Kryteria częstotliwościowe
Podstawowym warunkiem dobrego działania
układu regulacji jest jego stabilność.
Kryterium Nyquista mówi, że gdy
charakterystyka amplitudowo-fazowa stabilnego
układu otwartego nie obejmuje punktu (-1, j0), to
układ zamknięty jest też stabilny,
Odległość charakterystyki częstotliwościowej od
punktu krytycznego (-1, j0) jest miarÄ… zapasu
stabilności.
48
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zasadniczymi parametrami określanymi na
podstawie charakterystyk częstotliwościowych
układu są:
zapas stabilności (modułu i fazy),
pulsacja odcięcia wn charakterystyki widmowej
części rzeczywistej P(w) transmitancji układu
zamkniętego Gz(jw), czyli pulsacja, przy której
charakterystyka rzeczywista przecina oś odciętych
maksymalna wartość modułu Mp transmitancji
widmowej zamkniętego.
49
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Q
-0.707
É=0
-1 1
-0.5 -0.2
P
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
-1.4
Charakterystyka amplitudowo-fazowa;
50
zapas modułu wynosi 1/ 0,707
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
P(É)
P
m
P(0)
Ém Én Ée É
0
P
min
Parametry charakterystyki rzeczywistej transmitancji
51
układu zamkniętego
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
|G(j É)|
M
P
Ép É
0
Charakterystyka modułu transmitancji układu
zamkniętego
52
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przenoszone pasmo jest to zakres
częstotliwości, w którym układ zamknięty
przenosi sygnały zadane,
Miarą pasma częstotliwości przenoszonych
przez układ jest wartość graniczna wg, dla której
logarytm modułu transmitancji widmowej
zmniejsza się do wartości  3 dB, czyli
|GZ(jwg)| = 0,707
53
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład 8.5
Układ regulacji ma strukturę przedstawioną na
poniższym rysunku. Logarytmiczne charakterystyki
częstotliwościowe obiektu regulacji są przedsta-
wione na kolejnym rysunku.
Wyznaczyć największe możliwe wzmocnienie Kp
regulatora, które zapewni zapas fazy co najmniej
30° i zapas moduÅ‚u nie mniejszy niż 6 dB.
W(s) E(s) U(s) Y(s)
O
R

Schemat blokowy układu regulacji
54
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Lm
dB
20
10
lg É
-10
-20
-30
Õ
É
lg
-30
-60
-90
-120
-150
-180
55
Charakterystyki częstotliwościowe obiektu regulacji
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Układ zamknięty bez regulatora (tzn. dla Kp = 1)
bÄ™dzie stabilny z zapasem fazy okoÅ‚o 120° i zapasem
modułu około 30 dB. Wartości te przewyższają więc
znacznie wartości wymagane w przykładzie.
Zmiana wzmocnienia nie powoduje zmiany
charakterystyki fazowej, ale przesuwa w pionie
charakterystykÄ™ amplitudowÄ…. Dla uzyskania zapasu
modułu 6 dB należy przesunąć charakterystykę
amplitudową w górę o 24 dB. Jednak wówczas zapas
fazy zmaleje poniżej dopuszczalnej wartości i osiągnie
10° (krzywa 2). Należy wiÄ™c dobrać wzmocnienie
wzmacniacza ze względu na zapas fazy.
56
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Lm
dB
30
20
1
3 2
10
lg É
-10
-20
-30
Õ
lg É
-30
-60
-90
-120
-150
-180
Zmiana charakterystyk częstotliwościowych ze zmianą
57
wzmocnienia
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Charakterystyka fazowa przewyższa poziom  180° o
zadanÄ… wartość 30° dla czÄ™stotliwoÅ›ci w3. Jeżeli dla tej
częstotliwości charakterystyka amplitudowa będzie
przecinała poziom 0 dB (krzywa 3), to układ zamknięty
bÄ™dzie miaÅ‚ zapas fazy 30°.
Będzie to osiągnięte, gdy wzmocnienie układu
otwartego wzrośnie o 14 dB. W mierze liniowej:
Kp = 5, gdyż 20 lg5 = 14 dB
Przy tym wzmocnieniu układ zamknięty będzie miał
zapas modułu równy 16 dB, a więc znacznie
przewyższający żądaną wartość.
58
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Metoda miejsc geometrycznych pierwia-
stków (wartości własnych)
Transmitancję układu zamkniętego możemy określić jako:
b (s )
G (s ) =
Z
a (s )
Wartości s, dla których a(s) = 0 są punktami, gdzie
GZ(s) ", będziemy nazywać biegunami funkcji.
Wartości s, dla których b(s) = 0 są punktami, gdzie
GZ(s) = 0 i sÄ… nazywane zerami.
Inaczej mówiąc bieguny są to pierwiastki mianownika
(równania charakterystycznego) a zera są to pierwiastki
licznika.
59
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Istnieje ścisła relacja pomiędzy wartościami własnymi
(biegunami układu zamkniętego) czyli pierwiastkami
równania charakterystycznego a jakością regulacji.
Najprostsza sytuacja przy projektowaniu zachodzi
wtedy, gdy tylko jeden parametr układu regulacji jest
nieznany.
Wtedy na płaszczyz
nie zmiennych zespolonych (na
płaszczyz
nie s) pojawiÄ… siÄ™ tzw. krzywe pierwia-
stkowe, po których poruszają się pierwiastki równania
charakterystycznego w funkcji tego parametru.
Taki zbiór punktów nazywa się miejscem
geometrycznym pierwiastków.
60
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Rozważmy układ, którego równanie charakterystyczne
ma jeden pierwiastek rzeczywisty albo pojedynczÄ…
parę pierwiastków zespolonych sprzężonych, na który
działa wymuszenie impulsowe.
W jaki sposób zmienia się odpowiedz
skokowa gdy
zmienia się lokalizacja wartości własnych na
płaszczyz
nie s. Jeżeli:
1
GZ(s)=
s +Ã
61
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
to odpowiedz
impulsowa będzie funkcją wykładniczą
-Ãt
g(t) = e Å"1(t)
Kiedy s > 0 bieguny położone są w płaszczyz
nie,
gdzie s < 0. Możemy powiedzieć, odpowiedz

impulsowa jest stabilna.
Jeżeli s < 0 bieguny położone są na prawo od
początku układu współrzędnych. Ponieważ
wyrażenie wykładnicze rośnie tutaj z czasem,
odpowiedz
impulsowa jest oznaczona jako
niestabilna.
62
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
x
x
P
x
2
2
É 1 - Å› = ²
É 1 - Å› = ²
n
n
Re=Ä…
x x x x0 x x
- 1
- 1
cos Å› = ¸
cos Å› = ¸
-Ä… = Å›É
n
n
x
x
Przebiegi przejściowe w zależności od położenia pierwiastka na 63
płaszczyz
nie s
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Pierwiastki leżące najbliżej osi urojonej reprezentują
składowe rozwiązania zanikające najwolniej, a więc
determinujące szybkość działania układu.
Oddalenie pierwiastków zespolonych sprzężonych
od osi rzeczywistej decyduje o częstotliwości drgań
tłumionych w odpowiedzi oscylacyjnej.
Oddalenie pierwiastków od początku układu
współrzędnych mówi o tzw. częstotliwości drgań
własnych układu.
64
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
a) rozkłady wartości własnych
a)
Im s
3
Å›=0,2
b) odpowiedzi skokowe
b)
h(t)
2
3
2
4
1
1(t)
4
2
1
4
t
0
Å›=0,2
3
Związek między rozkładem wartości własnych
65
a przebiegiem odpowiedzi skokowej
Å›
=
0
,
9
9
,
0
=
Å›
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Stopień stabilności układu bez konieczności obliczenia
pierwiastków równania charakterystycznego pozwalają
określić nomogramy Wyszniegradzkiego
Analiza tych nomogramów pozwala na wyznaczenie
obszarów stabilności oraz stopni stabilności na
podstawie których określa się przybliżoną wartość czasu
regulacji.
Przeregulowanie odpowiedzi skokowej zależy od stopnia
oscylacyjnoÅ›ci ukÅ‚adu µ
Im mniejsza wartość µ, tym mniejsze przeregulowanie A1
i tym mniejsza liczba oscylacji w czasie tr.
66
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Ocena jakości liniowych układów regulacji Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Im s
Im s6
s6
An+1
e-Ä„ µ =
An
s2
-Re s
5
s4 s1
0
Re s
-Re s
6
Imsk
s3
µ = max
k
Re sk
s6
-Im s6
67
Stopień oscylacyjności układu
x
x
x
x
x
x