WYKA
AD 5. TECHNIKA INFORMACYJNO POMIAROWA
KLASYFIKACJA BA

DÓW
Charakter błędu:
�� błąd systematyczny
�� błąd przypadkowy
�� błąd nadmierny (gruby)
Błędy systematyczne:
BA

DY SYSTEMATYCZNE to błędy, które przy wielu pomiarach tej samej wartości pewnej
wielkości wykonywanych w tych samych warunkach pozostają stałe zarówno co do wartości
bezwzględnej, jak i znaku lub zmieniają się wg określonego prawa wraz ze zmianą warunków
otoczenia.
Błędy te modeluje się za pomocą zmiennej zdeterminowanej (przyczyna --> zdeterminowany
skutek).
Błędy te można całkowicie lub częściowo wyeliminować z wyniku pomiaru za pomocą
poprawek, które oblicza się teoretycznie lub wyznacza doświadczalnie.
Przyczyny występowania błędów systematycznych:
�� błędy podstawowe narzędzi pomiarowych (podawane jako błędy graniczne), uproszczony
model konstrukcji i niedoskonałość wykonania przyrządu, błędy wzorcowania;
�� oddziaływanie przyrządu pomiarowego na wielkość mierzoną - błędy metody pomiarowej
np. pobór energii ze z
ródła mierzonego przez przyrządy pomiarowe;
�� wpływ warunków zewnętrznych (wielkości wpływających) błędy dodatkowe.
Ilustracja powstawania błędu metody:
I  wartość rzeczywista natężenia prądu stałego
I  wartość natężenia prądu stałego wskazana przez miernik
I < I gdy RA > 0
E E
D�I =� I'-�I =� -�
rw +�R+�RA rw +�R
p =� -�D�I
I =� I'+� p
Określanie błędów systematycznych w pomiarach
a) bezpośrednich
b) pośrednich
Pomiary bezpośrednie:
- w warunkach normalnych:
X = Xm ą "d
"d - błąd dopuszczalny narzędzia pomiarowego
- w warunkach, które różnią się od normalnych:
X = (Xm + Łp) ą "d
Xm + Łp - wynik pomiaru poprawiony przez usunięcie błędów dodatkowych
Gdy błędów dodatkowych nie można wyeliminować za pomocą poprawek
X = Xm ą "x
"x = ą[|"d| + Ł| "dd|]
"d - błąd dopuszczalny narzędzia pomiarowego
"dd - dopuszczalny błąd dodatkowy
Pomiary pośrednie:
Założenie: błędy przypadkowe są pomijalnie małe
Poszukiwana wielkość Y jest funkcją n wzajemnie niezależnych wielkości pomiarowych
X1, X2, & , Xn
Y = f(X1, X2, & , Xn)
Jeżeli X1, X2, & , Xn wyznaczono z błędami bezwzględnymi odpowiednio "x1, "x2, & , "xn i
wartości tych błędów są małe to wypadkowy błąd "y oraz błąd �y można wyznaczyć:
- metodą przyrostów
- metodą różniczki zupełnej *
Metoda przyrostów
D�y =� (Y +� D�y) -�Y =� f (X1 +� D�x1, X +� D�x2,..., Xn +� D�xn ) -� f (X1, X ,..., X )
2 2 n
W praktyce metoda ta jest rzadko stosowana z uwagi na bardzo pracochłonne obliczenia
Metoda różniczki zupełnej
Załóżmy że jeżeli Y jest wyznaczane na podstawie N niezależnych wartości to wszystkie
wielkości za wyjątkiem są bezbłędne
Wartość wielkości Y zamiast Y=f(X1,X2, & , Xn) wynosi Y+"y = f(X1 + "x1, X2, & , Xn)
Jeżeli funkcja ta jest ciągła to można ją rozwinąć w szereg Taylora
D�x1
Y +� D�y =� f (X1 +� D�x1, X ,..., X ) =� f (X1, X ,..., X ) +� �� f '(X1, X ,..., X ) +�
2 n 2 n 2 n
1!
(D�x1)2
+� �� f ''(X1, X ,..., X ) +� ...
2 n
2!
Błąd systematyczny pomiaru wielkości Y oblicza się na podstawie błędów systematycznych
zgodnie z prawem liniowej propagacji błędu
- w przypadku, gdy błędy systematyczne są znane co do wartości i znaku
n
ś�Y
D�y =� �� D�xi
��
ś�X
i=�1
i
n
D�xi
D�y ś�Y
d�y =� =� ��
��
Y ś�X Y
i=�1
i
- w przypadku, gdy znane są tylko błędy graniczne pomiarów bezpośrednich (najgorszy
przypadek)
n
ś�Y
D�yg =�
��| ś�Xi �� D�xgi |
i=�1
D�yg n ś�Y D�xgi
d�yg =� =�
��| ś�Xi �� Y |
Y
i=�1
Wyznaczanie błędów granicznych dla wielkości Y prowadzi do wyników zawężonych, bowiem
bardzo małe jest prawdopodobieństwo takiego zdarzenia, w którym błędy systematyczne
wszystkich wielkości pomocniczych jednocześnie przyjmują wartości graniczne i niekorzystny
układ znaków
Błąd średni kwadratowy
2
n
ć� ��
D�y =�
���� ś�Y �� D�xi ��
�� ��
ś�X
i=�1
Ł� i ł�
Przykład metody pośredniej
P =� P1 +� P2
D�p1, D�p2
ś�P ś�P
D�p =� �� D�p1 +� �� D�p2 =�| D�p1 | +� | D�p2 |
ś�P1 ś�P2
D�p | D�p1 | +� | D�p2 |
d�p =� =�
P P
Pomiar rezystancji metodą techniczną, (za pomocą woltomierza i amperomierza).
Układ poprawnie mierzonego napięcia (U):
U
Rx �
I
U
Rx =�
I -� Iv
prąd płynący przez
woltomierz Rv<<"
Układ poprawnie mierzonego prądu (I):
U
Rx �
I
U -�U
A
Rx =� =�
I
U -� I �� RA
=�
I
Dla przyrządów analogowych:
zakres pomiarowy
Un
wybierany na
D�U =� ą�klV ��
100 przyrządzie
In
D�I =� ą�klA ��
100
Dla przyrządów cyfrowych:
�� a b ł�
D�U =� ą�ę� ��U +� ��Un ś�
100 100
�� ��
�� a b ł�
D�I =� ą�ę� �� I +� �� In ś�
100 100
�� ��
U
Rx =�
I
D�Rx =� ?
ś�Rx ś�Rx 1 -�U
D�Rx =� �� D�U +� �� D�I =� �� D�U +� �� D�I
2
ś�U ś�I I I
d�Rx =� d� +� d�u
I
Np. Ex = ?
"E = ?
p = -"E
D�E =� Irw
Ex =� U +� Irw
Rv ć� Rv -� rw -� Rv ��
�� ��
D�E =� U -� Ex =� Ex -� Ex =� Ex�� =�
rw +� Rv rw +� Rv ��
Ł� ł�
ć� -� rw ��
�� ��
=� Ex�� =� -�I �� rw
rw +� Rv ��
Ł� ł�
BA

DY PRZYPADKOWE (LOSOWE) to błędy zmieniające się w sposób nieprzewidziany
zarówno co do wartości bezwzględnej, jak i znaku przy wykonywaniu dużej liczby pomiarów tej
samej pewnej wielkości w warunkach pozornie niezmiennych.
Błędy te modeluje się za pomocą zmiennej losowej (jedna przyczyna --> różne skutki)
Wyeliminowanie błędu przypadkowego - stosujemy rachunek prawdopodobieństwa.
Zmienne losowe
(zmienna która przyjmuje wartości
z określonym prawdopodobieństwem)
dyskretna ciągła (dowolna wartość
(np. rzut monetą) z przedziału)
Rozkład zmiennej losowej X - prawdopodobieństwo przyjmowania przez zmienną losową
wartości X.
Parametry charakteryzujące rozkład zmiennej losowej X:
- Dystrybuanta
- Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
- Momenty centralne
Dystrybuanta
F(x)
F(x) = P(X d" x)
P - prawdopodobieństwo
Dystrybuantą nazywamy prawdopodobieństwo że zmienna X przyjmuje wartości równe lub
mniejsze od X.
Na podstawie dystrybuanty można wyznaczyć prawdopodobieństwo, że a < x d" b, gdzie a < b i
a, b - dowolne liczby rzeczywiste
P(a < X d" b) = F(b)