Krzywe stożkowe (postać kanoniczna)
Zadanie 4.1 Określić typy poniższych krzywych w R2: (a) x2
3xy + y2 = 5.
(b) 2x2
2xy + 2y2 = 1.
(c) 4x2
4xy + y2
6 = 0.
p
(d) x2 +
3xy
1 y2 = 0.
2
Zadanie 4.2 Znaleźć taką zmianę kanonicznego układu współrzędnych do takiego O0X0Y0, w którym w równaniach danych krzywych współczynnik przy x0y0 jest równy zero.
(a) x2 + xy + y2 = 4.
(b) 2x2
3xy
2y2 = 5.
(c) x2
2xy + y2 = 8x + 8y.
(d) 3x2 + 4xy = 16.
(e) 4x2
4xy + 7y2 + 12x + 6y
9 = 0.
(f) x2
xy + y2
4x
4y = 20.
p
p
Zadanie 4.3 Dana jest krzywa o równaniu 3x2 + 2 3xy + y2 + 2x 2 3y = 0. Poprzez
odpowiednią zmianę układu współrzędnych znaleźć typ danej krzywej.
Zadanie 4.4 Dana jest krzywa o równaniu 13x2
8xy + 7y2 = 30. Poprzez odpowiednią zmi-
anę układu współrzędnych znaleźć typ danej krzywej.
Zadanie 4.5 Określić typy i podtypy poniższych krzywych stopnia 2. w R2. Podać transformacje kanonicznego układu współrzędnych, w których równania danych krzywych przechodzą na postać kanoniczną; znaleźć równania krzywych w znalezionym układzie.
(a) 10x2 + 10y2
12xy + 20x
12y + 8 = 0.
(b) 2x2
6y2
6xy
12x
24y
30 = 0.
1
2x
6y + 1 = 0.
(d) x2 + 4y2
4xy
6x + 12y + 9 = 0.
(e) 5x2 + y2
4xy
4x + 2y + 1 = 0.
(f) 4x2 + 4xy + y2
24x + 38y
139 = 0.
Zadanie 4.6 Dla jakich rzeczywistych wartości k krzywe Γk R2 o równaniach
x2 + 6xy + y2 + 6x + 2y + k = 0
są: (a) dwiema prostymi równoległymi? (b) dwiema prostymi przecinającymi się?
Zadanie 4.7 Dla jakich rzeczywistych wartości k krzywe Γk R2 o równaniach
3x2
2xy + 3y2
2x + 2y + k = 0
są punktami?
Zadanie 4.8 Dla jakich (s, t) 2 R2 krzywe Γ(s,t) R2 o równaniach
2x2 + sxy + 2y2
7x + ty + 3 = 0
są dwiema prostymi równoległymi?
Zadanie 4.9 Wykazać, że równanie a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 krzywej typu parabolicznego można przedstawić w postaci
ε ( p1x + p2y)2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
dla pewnych rzeczywistych p1, p2, ε.
Zadanie 4.10 Znaleźć równanie krzywej przechodzącej przez punkty p1 = (0, 2), p2 = (5, 0), p2 = (6, 3), p4 = (1, 5), p5 = (0, 0). Określić typ tej krzywej i znaleźć taki układ współrzędnych O00X00Y00, w którym ta krzywa opisana jest równaniem w postaci kanonicznej.
Zadanie 4.11 Znaleźć równanie krzywej przechodzącej przez punkty p1 = (0, 0), p2 = (0, 1), p2 = (1, 0), p4 = (2, 5), p5 = ( 5, 2). Określić typ tej krzywej i znaleźć taki układ współrzędnych O00X00Y00, w którym ta krzywa opisana jest równaniem w postaci kanonicznej.
2