Transformacja Laplace'a
Transformacja Laplace'a pozwala przekształcić liniowe równania różniczkowe w łatwiejsze do
rozwiązania równania algebraiczne. Transformatę Laplace'a (jednostronną) analogowego sygnału
x(t), t > 0
definiuje się następująco:
"
-st
X (s) =
+"x(t)e dt, s = � + j&!
0
�
- liczba rzeczywista
&! - pulsacja [rad/s]
"
- j&!t
X ( j&!) =
s = j&!
+"x(t)e dt
Dla otrzymujemy przekształcenie Fouriera
0
Rozważmy układ
x(t) y(t)
System
opisany jednorodnym równaniem różniczkowym o stałych współczynnikach:
2
d y(t) dy(t) dx(t)
a2 2 + a1 + a0 y(t) = b1 + b0 x(t)
dt dt
dt
a2 y''(t) + a1y'(t) + a0 y(t) = b1x'(t) + b0x(t)
1
Licząc transformatę Laplace'a obu stron równania oraz korzystając z liniowości przekształcenia i
" "
f '(t)e-stdt = s f (t)e-stdt - f (0+) = sF(s) - f (0+)
+" +"
twierdzenia o pochodnej ( ) otrzymujemy:
0 0
" "
2 1
+"[a y''(t) + a1y'(t) + a0 y(t)]e-stdt = +"[b x'(t) + b0x(t)]e-stdt
0 0
a2s2Y (s) + a1sY(s) + a0Y (s) = b1sX (s) + b0 X (s)
Y (s) b1s + b0 s - z
X(s) Y(s)
System
H (s) = = = k
X (s) (s - p1)(s + p1)
a2s2 + a1s + a0
H(s)
close all figure,
clear all subplot(2,1,1), hold on
%transmintancja zera-bieguny plot(real(z),imag(z),'ko')
plot(real(p),imag(p),'kx')
z=[1];
legend('zera','bieguny')
p=[-1+j]; p=[p; conj(p)];
xlabel('Re(s)'), ylabel('Im(s)')
k=1;
grid on, axis tight
%transmintancja iloraz wielomianów
subplot(2,1,2), hold on
[b,a] = ZP2TF(z,p,k);
plot(imag(z),0,'ko')
PRINTSYS(b,a,'s')
plot(imag(p),0,'kx')
%%%%%%%%%% H(jw)
legend('zera','bieguny')
w=-5:0.1:5; s=j*w;
plot(w,abs(Hs),'k.-')
bw = polyval(b,s); xlabel('\Omega [rad]'),
ylabel('abs(H[j\Omega])')
aw = polyval(a,s);
axis tight, grid on
Hs=bw./aw;
2
 3
 4
 5
Transformacja Z
Transformata Z istnieje dla szerszej klasy sygnałów niż transformata Fouriera.
Notacja transformaty Z jest bardziej dogodna do analitycznego rozwiązywania problemów niż zapis
transformaty Fouriera.
"
j� - j� n
X (e ) =
"x[n]e
Transformata Fouriera sygnału dyskretnego
n=-"
"
- n
Z{x[n]} = X (z) =
"x[n]z , z "C (*)
Transformata Z sygnału dyskretnego
n=-"
Ciąg wykładniczy w postaci (*) nosi nazwę ciągu Laurenta. Do analizy (*) stosuje się dobrze
rozwiniętą teorię funkcji zmiennej zespolonej.
j� j�
X (z) z = e X (e )
Jeżeli do podstawimy otrzymamy transformatę Fouriera sygnału
dyskretnego (pod warunkiem, że ona istnieje).
j�
z = re
W ogólnym przypadku i (*) można zapisać jako transformatę Fouriera iloczynu sygnału
r-n
x[n] i ciągu wykładniczego :
6
" "
j� j� n -n j� n
X (z) = X (re ) = =
"x[n](re )- "(x[n]r )e-
n=-" n=-"
Transformata Z wyznaczona na okręgu jednostkowym | z |=1 jest równoważna transformacie
�
Fouriera. Dla zmiany z od 0 do 1 (po okręgu jednostkowym) otrzymujemy zmianę z przedziału
< 0, Ą >
�
, a dla zmiany z od 0 do -1 (po okręgu jednostkowym) otrzymujemy zmianę z przedziału
< 0, -Ą >
. (W sposób naturalny widoczna jest okresowość transformaty Fouriera ciągu dyskretnego).
7
Obszar wartości zmiennej z na płaszczyz
nie zespolonej, dla których transformata Z jest ograniczona
nazywany jest obszarem zbieżności. Podobnie jak w przypadku transformaty Fouriera, dla której
"
"| x[n]|d" " ,
warunkiem wystarczającym zbieżności jest bezwzględna sumowalność ciągu
n=-"
warunkiem zbieżności transformaty Z jest bezwzględna sumowalność poniższego ciągu:
"
"| x[n]r-n |d" "
n=-"
r-n
Dzięki czynnikowi transformata Z może być zbieżna nawet dla ciągów, dla których transformata
Fouriera nie jest (np. dla skoku jednostkowego u[n] dla r>1, co określa obszar zbieżności jako |z|>1).
Zbieżność transformaty Z zależy tyko od |z|, dlatego obszary zbieżności mają postać pierścieni na
płaszczyz
nie zespolonej.
Transformata Z jest szczególnie przydatna, jeśli suma ze wzoru definicyjnego może być
przedstawiona jako funkcja z (granica ciągu), szczególnie w postaci ilorazu wielomianów:
P(z)
X (z) =
(*)
Q(z)
Wartości z, dla których X(z)=0 są nazywane zerami X(z), a wartości z, dla których X(z) osiąga
nieskończoność są nazywane biegunami X(z). Bieguny X(z) dla skończonych wartości z są
miejscami zerowymi wielomianu mianownika Q(z). Dodatkowe bieguny mogą wystąpić dla z=0 lub
z = "
.
W celu jednoznacznego opisu ciągu dyskretnego w postaci (*) należy podać obszar zbieżności X(z).
8
Analiza właściwości układów liniowych niezmiennych względem przesunięcia
(linear time invariant system LTI)
Układ LTI w dziedzinie czasu jest całkowicie określony przez odpowiedz
impulsową h[n], która
wiąże odpowiedz
układu y[n] na zadane wymuszenie x[n]:
"
y[n] =
"x[k]h[n - k] = x[n]" h[n]
k =-"
W dziedzinie Fouriera Y (e j� ) = X (e j� )H (e j� ) natomiast dziedzinie z Y (z) = X (z)H (z) .
Dla układów opisanych liniowym równaniem różnicowym o stałych współczynnikach:
N M
k m
"a y[n - k] = "b x[n - m] (*)
k=0 m=0
"
- n
X (z) =
"x[n]z transformatę Z obu stron równania (*) oraz korzystając z
Licząc z definicji
n=-"
0
x[n - n0] �!Z z-n X (z)
Ż#
twierdzenia o przesunięciu równanie (*)można zapisać w dziedzinie Z jako:
N M N M
�# ś# �# ś#
k m k m
"a z-k ź#Y(z) = ś#"b z-m ź#X (z)
"a z-kY(z) = "b z-m X (z) lub równoważnie ś#
ś# ź# ś# ź#
k=0 m=0
k=0 m=0 �# # �# #
9
M
m
"b z-m b0 + b1z-1 + ...+ bM z-M
Y(z)
m=0
H(z) = = =
N
X (z)
k
"a z-k a0 + a1z-1 + ...+ aN z-N (*)
k=0
Równanie (*) jest ilorazem wielomianów zmiennej z-1.
Jeżeli M=0 (b jest skalarem) to H(z) jest transmitancją filtru o nieskończonej odpowiedzi impulsowej NOI
(Infinite Impulse Response IIR) - filtr rekursywny - filtr autoregresji (autoregressive) AR.
Jeżeli N=0 (a jest skalarem) to H(z) jest transmitancją filtru o skończonej odpowiedzi impulsowej SOI (Finite
Impulse Response FIR) - filtr nierekursywny - filtr ruchomej średniej (moving-average) MA.
Jeżeli M>0 i N>0 to H(z) jest transmitancją filtru o nieskończonej odpowiedzi impulsowej NOI (Infinite Impulse
Response IIR) - filtr rekursywny - filtr autoregresji ruchomej średniej (autoregressive moving-average) ARMA.
W celu wyodrębnienia zer i biegunów H(z) przedstawia się w równoważnej do (*) postaci
iloczynowej.
M
"(1- cmz-1) (1- c1z-1)...(1- cM z-1)
m=1
H(z) = w = w
N
"(1- dk z-1) (1- d1z-1)...(1- dN z-1)
k=1
(1- cmz-1) z = ck
z = 0
Każdy z czynników wprowadza zero dla i biegun dla , analogicznie każdy z
(1- dk z-1) z = dk
z = 0
czynników wprowadza zero dla i biegun dla .
10
Jeżeli przemnożymy licznik i mianownik we wzorze (*) przez odpowiednią potęgę z, otrzymamy
wielomian zmiennej z w postaci (dla uproszczenia N=M):
N
N
�# ś#
N
ś#
m
"b z-m ź#z m
"b z(N-m) b0zN + b1z +...+ bN
ś# ź# N-1
Y(z)
m=0
�# #
m=0
H(z) = = = =
N N N-1
N
X (z)
�# ś#
N
ś#
k
k "a z(N-k) a0z + a1z +...+ aN
"a z-k ź#z
ś# ź#
k=0
�# k=0 #
N
"(z - cm ) ( z - c0)...( z - cN )
m=0
H(z) = w = w
N
( z - d0)...( z - dN )
"(z - dk )
k=0
11
j� j�
( z - c)( z - c*) | (e - c) | �" | (e - c*) |
j�
H(z) =
Transmitancja , ch-ka amplitudowa | H(e ) |= j� j�
( z - d)( z - d*) | (e - d) | �" | (e - d*) |
(z=[1.1*exp(j*pi/1.7)]; z=[z; conj(z)]; p=[0.7*exp(j*pi/8)]; p=[p; conj(p)];)
1.6769�"1.6769 2.02�" 0.1
j�0 j�2
| H(e ) |= = 14.3057 | H(e ) |= = 0.11409
0.44336�" 0.44336 1.536�"1.527
1.891�"1.3987
j�1
| H(e ) |= = 12.4683
0.70714�" 0.3
12
Przykład
Dane są zera c bieguny d i wzmocnienie w transmitancji H(z) filtra cyfrowego.
jĄ / 2 jĄ /8
c = [1.1e 1.1e- jĄ / 2 ], d = [0.7e 0.7e- jĄ /8 ], w = 1
.
1. Podać transmitancję filtra w postaci ilorazu wielomianów zmiennej z i z-1.
2. Dobrać k tak, żeby wzmocnienie składowej stałej wynosiło 1.
3. Wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową filtra (przy pomocy komputera).
4. Podać czasowe równanie różnicowe filtra.
5. Na podstawie 4 obliczyć odpowiedz
impulsową i skokową filtra (przy pomocy komputera).
Zarówno zera jak i bieguny H(z), jeżeli są zespolone to muszą występować w parach sprzężonych, aby
współczynniki równania różnicowego a, b były rzeczywiste. Na zespolonej płaszczyz
nie Z wygodnie jest
stosować postać wykładniczą liczby zespolonej
jĄ / 2
( z -1.1e )( z -1.1e- jĄ / 2) z2 +1.21
H(z) = =
jĄ /8
Transmitancja H(z) jest następująca:
( z - 0.7e )( z - 0.7e- jĄ /8) z2 -1.29z + 0.49
j�
z = e
Charakterystykę częstotliwościową transmitancji H(z) można wyznaczyć przez podstawianie i obliczenia
2Ą
dla � w przedziale o długości (funkcja polyval Matlaba).
12 +1.21
j�
H(z = e ) = H(z =1) = =11.24
Wzmocnienie składowej stałej wyznaczamy dla � = 0 ,
�=0
12 -1.29 + 0.49
1
w =
Jeżeli przyjmiemy otrzymamy wzmocnienie składowej stałej równe 1 (kształt charakterystyki
11.24
1 z2 +1.21 0.09z2 +1.11
H(z) = =
częstotliwościowej pozostanie bez zmian): .
11.24
z2 -1.29z + 0.49 z2 -1.29z + 0.49
13
j� j� j� j�
1 (e - j1.1)(e + j1.1) 1 (e -1)(e +1)
j� j�
H(e ) = H(e ) =
j� jĄ /8 j� j� jĄ /8 j�
11.24 3.92
(e - 0.7e )(e - 0.7e- jĄ /8) (e - 0.7e )(e - 0.7e- jĄ /8)
Czasowe równanie różnicowe wyznacza się następująco:
Y(z) 0.09z2 + 0.11
H(z) = = Y(z)z2 -1.29Y(z)z + 0.49Y(z) = 0.09X (z)z2 + 0.11X (z)
X (z)
z2 -1.29z + 0.49
na podstawie twierdzenia o przesunięciu:
y[n + 2] -1.29y[n +1] + 0.49y[n] = 0.09x[n + 2] + 0.11x[n]
,
y[n + 2] = 0.09x[n + 2] + 0.11x[n] +1.29y[n +1] - 0.49y[n]
.
y[m] = 0.09x[m] + 0.11x[m - 2] +1.29y[m -1] - 0.49y[m - 2]
m = n + 2
dla podstawienia otrzymujemy .
14
Filtr z zadania |d|=0.7
Bieguny przesunięte w pobliże okręgu jednostkowego |d|=0.98
15
Bieguny na okręgu jednostkowym |d|=1
Bieguny poza okręgiem jednostkowym |d|=1.1 filtr niestabilny!
Aby filtr cyfrowy był stabilny bieguny jego transmitancji H(z) muszą leżeć wewnątrz okręgu
jednostkowego na zespolonej płaszczyz
nie Z.
16
Y (z) 1
H (z) = =
W celu ilustracji powyższego warunku rozważmy układ o transmitancji (*).
X (z) z - a
y[n +1] = x[n] + ay[n]
Układ ten opisuje następujące równanie różnicowe pierwszego rzędu: . Aby
układ był stabilny odpowiedz
na ograniczone wymuszenie musi być również ograniczona.
0, n `" 0
ż#
x[n] = �[n] =
�#1, n = 0 ,
Przyjmijmy, że x[n] jest impulsem jednostkowym wówczas na podstawie
�#
y[n] = 0, n d" 0
równania różnicowego mamy ( ):
n = 0, y[1] = x[0]+ ay[0] =1
n =1, y[2] = x[1]+ ay[1] = a
n = 2, y[3] = x[2] + ay[2] = a2
n = 3, y[4] = x[3]+ ay[3] = a3
y[n] = an, n e" 0
Ogólnie .
" N -1
p N
- a
n
"| y[n] |d" " . Wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego: "a = a 1- a .
Żądamy, aby
n=-" n= p
"
"| a |n = 1a | < ", | a |< 1 , co oznacza, że biegun (*) musi
Ciąg y[n] jest ograniczony dla |a|<1,
1- |
n=0
leżeć wewnątrz koła jednostkowego.
17
Charakterystyki częstotliwościowe filtra cyfrowego
j�
arg[H (e )]
Dla ciągłej charakterystyki fazowej opóz
nienie grupowe wyznacza się następująco:
d
j�
� = - {arg[H (e )]}
d�
18
Filtr wszechprzepustowy
Rozważmy filtr o transmitancji:
( z - c)( z - c*)
j�
Hap (z) = , c = Ce , | c |> 1
1 1
�# ś#�# ś#
z z
ś# - ź#ś# - ź#
c
c*
�# #�# #
Transformata Fouriera:
j� j� j� j� j� j�
(e - c)(e - c*) (e - c)(e - c*) (e - c)(e - c*)
j�
Hap (e ) = = = cc* j� =
j�
1 1
1 1
�# ś#�#e j� ś# j� j�
(e c* -1)(e c -1)
j�
(e c* -1) (e c -1)
e
ś# - ź#ś# - ź#
c
c c*
c*
�# #�# #
j� j� j� j� j� j�
(e - c)(e - c*) (e - c)(e - c*) (e - c)(e - c*)
= cc* = cc* j2� = e- j2�cc* j�
1 1
j� j�
e (c* - e- j� )(c - e- j� ) (e- - c*)(e- j� - c)
e (c* - )e (c - )
j� j�
e e
zatem charakterystyka amplitudowa jest stała w całym zakresie częstotliwości:
j�
Hap (e ) = C2
19
Filtry wszechprzepustowe stosowane są do korekcji charakterystyk fazowych.
20
Układ odwrotny (inverse system)
H (z)Hi (z) =1
Dla danego układu H(z) układ odwrotny Hi(z) spełnia zależność , co pociąga
1
Hi (z) =
h[n] " hi[n] = �[n]
, a w dziedzinie czasu .
H(z)
Żeby filtr odwrotny Hi(z) był stabilny zera filtra H(z) muszą być wewnątrz okręgu jednostkowego na
zespolonej płaszczyz
nie Z.
Stabilny filtr cyfrowy LTI, którego zera i bieguny transmitancji leżą wewnątrz okręgu
jednostkowego jest nazywany filtrem minimalnofazowym (minimum-phase).
Układy odwrotne są stosowane np. w telekomunikacji do kompensacji wpływu kanału.
21
Dekompozycja minimalnofazowo-wszechprzepustowa
(filtr odwrotny dla filtra nieminimalnofazowego)
Dowolny filtr cyfrowy H(z) może być przedstawiony w postaci kaskady filtra minimalnofazowego
H(z) = Hmin(z)Hap(z)
Hmin(z) i filtra wszechprzepustowego Hap(z): .
( z - c)( z - c*)
H(z) = , | c |> 1
Rozważmy filtr o transmitancji:
( z - d)( z - d*)
1 1 1 1
�# ś#�# ś# �# ś#�# ś#
z z z z
ś# - ź#ś# - ź# ś# - ź#ś# - ź#
( z - c)( z - c*) ( z - c)( z - c*) c c ( z - c)( z - c*)
c* c*
�# #�# # �# #�# #
H(z) = = = = Hmin (z)Hap (z)
1 1 1 1
�# ś#�# ś# �# ś#�# ś#
( z - d)( z - d*) ( z - d)( z - d*) ( z - d)( z - d*)
z z z z
ś# - ź#ś# - ź# ś# - ź#ś# - ź#
c c
c* c*
�# #�# # �# #�# #
Charakterystyka amplitudowa H(z) jest taka sam jak Hmin(z) (z dokładnością do wzmocnienia):
j� j� j� j�
H (e ) = Hmin (e ) Hap (e ) = w Hmin (e )
22
Układy LTI z liniową fazą
Pożądane jest, aby charakterystyka fazowa filtra w paśmie przepustowym była liniowa, dzięki temu
filtr zachowuje kształt sygnału (wszystkie częstotliwości składowe sygnału są tak samo
opóz
niane).
Ogólnie odpowiedz
częstotliwościowa układów z liniową fazą jest następująca:
j� j� j(� -�ą)
j� j�
H(e ) = H(e ) e
faza{H(e )} = � -�ą grd{H(e )} = ą
(*), wówczas , a opóz
nienie grupowe
z (*)
sin(� -�ą)
j� j� j(� -�ą) j� j�
tg(� -�ą) =
H(e ) = H(e ) e = H(e ) cos(� -�ą) + j H(e ) sin(� -�ą)
skąd
cos(� -�ą)
Odpowiedz
częstotliwościową można również wyliczyć z definicji transformaty Fouriera:
n="
-
"h[n]sin(� n)
n=" n=" n="
n=-"
tg(� n) =
j� - j� n
n="
H(e ) =
"h[n]e = "h[n]cos(� n) - j "h[n]sin(� n) skąd
n=-" n=-" n=-"
"h[n]cos(� n)
n=-"
tg(� -�ą) = tg(� n)
Ponieważ
23
n="
-
"h[n]sin(� n)
sin(� -�ą)
n=-"
=
n="
cos(� -�ą)
"h[n]cos(� n)
n=-"
siną cos� ą cosą sin � = sin(ą ą � )
Mnożąc na krzyż, grupując i stosując tożsamość :
n=" n="
sin(� -�ą)
"h[n]cos(� n) + cos(� -�ą)"h[n]sin(� n) = 0
n=-" n=-"
n=" n="
"h[n]sin(� -�ą)cos(� n) + "h[n]cos(� -�ą)sin(� n) = 0
n=-" n=-"
h[n], ą, �
otrzymujemy warunek konieczny na , aby system miał liniową fazę:
n="
"h[n]sin(� (n -ą) + �)= 0 (**).
n=-"
Warunek (**) może być spełniony w dwóch przypadkach:
� = 0 lub � = Ą � = Ą / 2 lub � = Ą / 2
n=" n="
2ą = M , M "C 2ą = M , M "C
"h[n]sin(� (n -ą))= 0 "h[n]cos(� (n -ą))= 0
n=-" n=-"
h[2ą - n] = h[n] h[2ą - n] = -h[n]
M
"h[n]sin(� (n -ą) + �)= 0
h[n] = 0, n < 0, n > M
Dla
n=0
24
Filtr FIR typ I
Symetryczna odpowiedz
impulsowa - M parzyste, opóz
nienie M/2. indeksowanie od 0 do M
h[n] = h[M - n], 0 d" n d" M
Odpowiedz
częstotliwościowa:
M M / 2-1 M
j� - j� n - j� n j� M / 2 - j� n
H(e ) = +
"h[n]e = "h[n]e + h[M / 2]e- "h[n]e =
n=0 n=0 n=M / 2+1
M / 2-1 M / 2-1 M / 2-1
- j� n j� M / 2 - j� (M -n) j� n
= + = (e- j� n + e e- j� M )+ h[M / 2]e- j� M / 2 =
"h[n]e + h[M / 2]e- "h[n]e "h[n]
n=0 n=0 n=0
M / 2-1
- j� M / 2 j� n j� M / 2 j� n j� M / 2
= (e- e + e e- )+ h[M / 2]e- j� M / 2 =
"h[n]e
n=0
M / 2-1
j[� (n-� M / 2)]
e- j[�( n- M / 2)] + e
= 2e- j� M / 2 h[n] + h[M / 2]e- j� M / 2 =
"
2
n=0
M / 2-1 M / 2
�# ś# �# ś#
j� M / 2
ś#2
= e- j� M / 2ś#2
"h[n]cos(�( n - M / 2))+ h[M / 2]ź# = e- "h[n]cos(�( n - M / 2))ź# .
ś# ź# ś# ź#
�# n=0 # �# n=0 #
25
Filtr FIR typ II
Symetryczna odpowiedz
impulsowa - M nieparzyste, opóz
nienie M/2.
h[n] = h[M - n], 0 d" n d" M
Odpowiedz
częstotliwościowa:
(M -1) / 2
M M
j� - j� n - j� n - j� n
H(e ) =
"h[n]e = "h[n]e + "h[n]e =
n=0 n=0 n=(M +1) / 2
(M -1) / 2 (M -1) / 2
(M -1) / 2
- j� n - j�(M - n) j� n
= = = (e- j� n + e e- j�M )=
"h[n]e + "h[n]e "h[n]
n=0 n=0 n=0
(M -1) / 2
(M -1) / 2
j�M / 2 j� n j�M / 2 j[� (n-M / 2)]
�# ś# �# ś#
e- j� ne + e e- e- j[� (n-M / 2)] + e
ź# ź#
= h[n]2e- j�M / 2ś# = = e- j�M / 2 2h[n]ś# =
" "
ś# ź# ś# ź#
2 2
�# # �# #
n=0 n=0
(M -1) / 2
�# ś#
= e- j�M / 2ś#2
"h[n]cos(� (n - M / 2))ź# .
ś# ź#
n=0
�# #
26
Filtr FIR typ III
Antysymetryczna odpowiedz
impulsowa - M parzyste, opóz
nienie M/2.
h[n] = -h[M - n], 0 d" n d" M
Odpowiedz
częstotliwościowa:
M M / 2-1 M
j� - j� n - j� n j� M / 2 - j� n
H(e ) = +
"h[n]e = "h[n]e + h[M / 2]e- "h[n]e =
n=0 n=0 n=M / 2+1
M / 2-1 M / 2-1
- j� n j� M / 2 - j� (M -n)
= - =
"h[n]e + h[M / 2]e- "h[n]e
n=0 n=0
M / 2-1
j[� (n-� M / 2)]
e- j[�( n- M / 2)] - e
= 2 je- j� M / 2 h[n] + h[M / 2]e- j� M / 2 =
"
2 j
n=0
M / 2-1 M / 2
�# ś# �# ś#
j� M / 2+Ą
ś#2
= je- j� M / 2ś#2
"h[n]sin(�( n - M / 2))+ h[M / 2]ź# = e- "h[n]sin(�( n - M / 2))ź# .
ś# ź# ś# ź#
�# n=0 # �# n=0 #
27
Filtr FIR typ IV
Antysymetryczna odpowiedz
impulsowa - M nieparzyste, opóz
nienie M/2.
h[n] = -h[M - n], 0 d" n d" M
Odpowiedz
częstotliwościowa:
(M -1) / 2
M M
j� - j� n - j� n - j� n
H(e ) =
"h[n]e = "h[n]e + "h[n]e =
n=0 n=0 n=(M +1) / 2
M / 2-1 M / 2-1 M / 2-1
j[� (n-� M / 2)]
e- j[�( n- M / 2)] - e
- j� n - j� (M -n)
= = 2 je- j� M / 2 h[n] =
"h[n]e - "h[n]e "
2 j
n=0 n=0 n=0
M / 2-1
�# ś#
= e- j� M / 2+Ą ś#2
"h[n]sin(�( n - M / 2))ź# .
ś# ź#
n=0
�# #
28
Przykład
j2.09
h1[n] = [1 1 1], H1(z) = 1+ z-1 + z-2, H1(z) = (z - e )(z - e- j2.09)
-wszystkie typy
h2[n] = [1 1], H2(z) = 1+ z-1, H2 (z) = z + 1
zero dla z=-1 -FGP
h3[n] = [-1 0 1], H3(z) = -1+ z-2, H3(z) = -(z -1)(z + 1)
zero dla z=ą1 tylko pasmowy
h4[n] = [-1 1], H4(z) = -1+ z-1, H4 (z) = -(z -1)
zero dla z=1 -FDP
29
 30