3. Transmitancja operatorowa
Transmitancja operatorowa G(s) jest zdefiniowana jako stosunek
transformaty Laplace a sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty Laplace a
sygnału wejściowego X(s), przy zało\
eniu, \
e wszystkie warunki
poczÄ…tkowe sÄ… zerowe
Rozwa\
my liniowy, stacjonarny układ zdefiniowany przez następujące równanie
ró\
niczkowe
n n-1 m m-1
d y d y d x d x
an n + an-1 n-1 +,...,+a0 y = bm m + bm-1 m-1 +,...,+b0 x
dt dt dt dt
Dokonując przekształceń Laplace a otrzymamy:
(ansn + ...+ a1s + a0) Y (s) = (bmsm + ...+ b1s + b0) X (s)
Czyli:
bmsm + ... + b1s + b0
Y (s) = X (s)
ansn + ... + a1s + a0
StÄ…d:
bmsm + bm-1sm-1 + ...+ b1s + b0 Y (s)
G(s) = =
ansn + an-1sn-1 + ...+ a1s + a0 X (s)
Jest to jeden z najwa\
niejszych związków matematycznych
u\
ywanych w automatyce.
Poni\
ej przedstawiono transmitancje dla podstawowych członów w automatyce.
Zale\
ności te wynikają bezpośrednio z równań ró\
niczkowych. Wynika to stÄ…d,
i\
transmitancja jest modelem matematycznym pochodzącym z bezpośredniego
przekształcenia równań dynamiki.
_________________________________________________________________________________________________
4
Powered by xtoff® [e-mail]
3.1 Człon proporcjonalny (bezinercyjny)
G(s)=K
gdzie:
k  współczynnik wzmocnienia (proporcjonalności) członu
3.2 Człon całkujący (bezinercyjny)
Idealnym członem całkującym nazywamy układ opisany równaniem
K
G(s) =
s
gdzie:
T  stała czasowa (czas wzmocnienia)
k  prędkościowy współczynnik wzmocnienia członu
3.3 Człon inercyjny
K
G(s) =
Ts +1
gdzie:
T  stała czasowa
K  prędkościowy współczynnik wzmocnienia członu
3.4 Człon ró\
niczkujÄ…cy
3.4.1 Idealny człon ró\
niczkujÄ…cy
G(s) = K Å" s
gdzie:
K  współczynnik wzmocnienia
_________________________________________________________________________________________________
5
Powered by xtoff® [e-mail]
3.4.2 Rzeczywisty człon ró\
niczkujÄ…cy
TDs
G(s) =
TD
s + 1
KD
gdzie:
TD  stała czasowa ró\
niczkowania
KD  dynamiczny współczynnik wzmocnienia członu
3.5 Człon oscylacyjny (drugiego rzędu)
K
G(s) =
2
T s2 + 2¾Ts +1
lub
2
KÉ0
G(s) =
2 2
s2 + 2¾É0 s + É0
gdzie:
T  okres oscylacji własnych członu
K  współczynnik wzmocnienia członu
¾ - wzglÄ™dny współczynnik tÅ‚umienia
1
É0 = - czÄ™stość drgaÅ„ wÅ‚asnych
T
3.6 Człon opóz
niajÄ…cy
G(s) = Ke-sÄ
gdzie:
Ä - czas opóz
nienia
K  współczynnik wzmocnienia członu
_________________________________________________________________________________________________
6
Powered by xtoff® [e-mail]