Własności transformaty Laplace a:
a) L{f (t)}(s) = sL{f(t)}(s) - f+(0),
b) L{eatf(t)}(s) = L{f(t)}(s - a),
d
c) L{tf(t)}(s) = - L{f(t)}(s).
ds
Zad 1. Korzystając z powyższych własności transformaty Laplace a, wyznacz:
a) L{teat}(s), b) L{t sin Ét)}(s), c) L{t cos Ét)}(s),
d) L{te-t cos t}(s), e) L{te-t sin t}(s).
Zad 2. a) Wykaż, że


t
1
L f(Ä)dÄ (s) = L{f(t)}(s).
s
0
b) Korzystając z powyższego wyniku, znajdz
odwrotnÄ… transformatÄ™ Laplace a
2
funkcji .
(s2 + 1)2
Zad 3. Rozwiąż równania różniczkowe:
a) x + 3x = 6, x(0) = 1;
b) x = 2 sin t, x(0) = x (0) = 1;
c) x - x = 2 sin t, x(0) = x (0) = 0.
Zad 4. Rozwiąż równanie różniczkowe
x + 2x + 2x = 2e-t sin t
przy warunkach poczÄ…tkowych:
a) x(0) = x (0) = 0; b) x(0) = 0, x (0) = 1; c) x(0) = x (0) = 1.
Wskazówka: skorzystaj z zadania 2b.
Zad 5. Rozwiąż układy równań różniczkowych:

x = x1 + x2 x1(0) = 2
1
a) , ;
x = 4x1 + x2 x2(0) = 0
2

x = x1 + x2 + cos t
1
b) , x1(0), x2(0) j.w.
x = 4x1 + x2 + sin t
2