Zadania z przedmiotu
Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr
seria 2
1. Wyznaczyć parzystość permutacji:

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7
(a) , (b) , (c) ,
5 6 4 7 2 1 3 3 5 2 1 6 4 7 2 4 1 7 6 5
8 3
1 2 3 . . . n - 2 n - 1 n 1 2 3 4 . . . n - 1 n
(e) , (f) .
n n - 1 n - 2 . . . 3 2 1 n 1 n - 1 2 . . . . . . . . .
2. Wykazać, że każda permutacje à " Sn można przedstawić jako iloczyn

(1) transpozycji postaci (1, 2), (1, 3), ... , (1, n);
(2) transpozycji postaci (1, 2), (2, 3), ... , (n - 1, n);
(3) cykli (1, 2) i (1, 2, . . . , n);
(4) jeÅ›li dodatkowo à jest permutacja parzysta, to można ja przedstawić jako iloczyn cykli

d 3;
lugości
3. Niech m > 1 oraz a, b, c, d beda liczbami ca
lkowitymi takimi, że NWD(c, m) = 1, NWD(d, m) =

a b
1, a a" b (mod m), c a" d (mod m). Wykazać, że jeśli c | a i d | b, to a" (mod m).
c d
4. (a) Wykazać, że ostatnie cyfry liczb 2n (n = 1, 2, 3 . . . ), napisanych w uk dziesietnym
ladzie

tworza ciag okresowy. Wyznaczyć ostatnia cyfre liczby 21000.

(b) Zbadać ciag reszt z dzielenia przez 100 liczb 2n (n = 1, 2, . . . ).

(c) Dowieść, że reszty z dzielenia przez 1000 liczb 2n (n = 1, 2, . . . ) tworza ciag okresowy.

5. (a) Wykazać, że liczba naturalna m jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy różnica
miedzy miedzy suma jej cyfr znajdujacych sie na miejscach nieparzystych a suma jej cyfr znaj-

dujacych sie na miejscach parzystych jest podzielna przez 11.

(b) Opierajac sie na kongruencjach 1000 a" -1 (mod 27), 1000 a" -1 (mod 37) wyprowadzić

cechy podzielności przez 27 i przez 37.
" "
6. (a) Wykazać, że dla dodatniej liczby wymiernej a zbiór Q( a) = {x + y a | x, y " Q} wraz
ze zwyk dzia lem.
lymi laniami dodawania i mnożenia liczb jest cia
" " "
3 3 3
(b) Wykazać, że zbiór Q( 2) = x + y 2 + z 4 | x, y, z " Q wraz ze zwyk dzia
lymi laniami
dodawania i mnożenia liczb jest cia
lem.
7. (a) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : Q Q spe
lniajace warunek f(x + y) = f(x) + f(y) dla

x, y " Q.
(b) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : Q Q spe
lniajace warunki: f(x + y) = f(x) + f(y) oraz

f(xy) = f(x)f(y) dla x, y " Q.
" "
(c) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : Q( 2) Q( 2) spe
lniajace warunki: f(x + y) = f(x) +

"
f(y) oraz f(xy) = f(x)f(y) dla x, y " Q( 2).
(d) Wyznaczyć wszystkie funkcje f : R R spe
lniajace warunki: f(x + y) = f(x) + f(y) oraz

f(xy) = f(x)f(y) dla wszystkich x, y " R.
8. Znalez
ć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi równości:
ly
a b 4-i
(a) a(4 - 3i)2 + b(1 + i)2 = 7 - 12i, (b) + = 1, (c) a1+i + b1-2i = 1 - i.
2-3i 2+3i 3-i
9. Przedstawić w postaci trygonometrycznej nastepujace liczby zespolone (bez pomocy tablic):

a) 1, -1, i, -i; b) 1 + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i;
" " " "
c) 1 + i 3, 1 - i 3, -1 + i 3, -1 - i 3;
" " " " " " " "
d) 6 + 2 + i( 6 - 2), 6 - 2 + i( 6 + 2);

" " " "
e) 2 + 3 + i 2 - 3, 2 - 3 + i 2 + 3.