PRz
MODELE OBIEKTÓW STEROWANIA
Bilans masy. Zbiornik z wpływem pod ciśnieniem hydrostatycznym. Bilans energii 
podgrzewacz. Opóz
nienie. Napięciowe sterowanie silnikiem DC. Sterowanie prądowe.
BILANS MASY
1. Metodologia Maxwella (1868)
�� Tok postępowania
1) Ułożyć równania dynamiki układu regulacji i zbadać jak zależą ich rozwiązania
(przebiegi) od nastaw regulatora występujących we współczynnikach równań.
2) Wybrać takie nastawy, które dają najlepsze przebiegi ze względu na kształt i
prędkość.
Punktem wyjścia jest ułożenie równania regulowanego obiektu (model matematyczny).
Modelowanie, czyli układanie równań, opiera się o podstawowe prawa fizyki,
termodynamiki, kinetyki chemicznej itp. Dla potrzeb automatyki wystarcza umiarkowana
dokładność modelowania. Ważną zaletą układów ze sprzężeniem zwrotnym jest odporność
na niedokładności modelowania.
�� Podstawowy bilans
Bilans masy dotyczy wszelkich obiektów z przepływem cieczy, gazów, par, materiałów
sypkich  zbiorniki, mieszalniki, kotły, reaktory itp.
M =� Vr� =� A h r� ,
gdzie w przypadku zbiornika:
M  masa cieczy, A  powierzchnia przekroju zbiornika
V  objętość, h  wysokość słupa cieczy
r�  gęstość
Równanie bilansu ma postać
dM dh
=� A r� =� r�i -� r�
��qi ��qj j
dt dt
i j
qi, qj  przepływy objętościowe (m3/s)
2. Zbiornik z pompą opróżniającą
qwy
qwe
�� Dane liczbowe:
A = 2 m2
A
qwe =� qwy  średnie przepływy
h
1
�� Równanie bilansu
dM dh dh
=� Ar� =� qwe r� -� qwy r� : r� , A =� qwe -� qwy
dt dt dt
dh 1
=� (qwe -� qwy )
dt A
3. Transformata Laplace a (transformacja)
�� Transformata Laplace a pozwala zastąpić liniowe równanie różniczkowe o stałych
współczynnikach równaniem algebraicznym w dziedzinie zmiennej zespolonej s
nazywanej operatorem Laplace a.
W s =� d� +� jw� część rzeczywista d� reprezentuje tłumienie, a część urojona w� 
częstotliwość.
Rozwiązywanie równań algebraicznych jest prostsze niż rozwiązywanie równań
różniczkowych. Rozwiązanie w postaci czasowej otrzymuje się korzystając z wzorów
podanych w tabelach odwrotnej transformaty Laplace a. Pakiety komputerowe
wspomagające projektowanie na ogół wymagają danych w notacji Lapalce a.
�� Definicja transformaty Laplace a funkcji f(t)
Ą�
F(s) =� f (t)e-�stdt =� L{�f (t)}�
��
0
gdzie f(t) nie rośnie szybciej niż wykładniczo i f(t)=0 dla t<0.
�� Przykład  stała a
f (t) =� a dla t ł� 0 , f (t) =� 0 dla t <� 0 .
a
Ą�
Ą�
a a a
-�st
F(s) =� dt =� e-�st | =� -� =� t
��ae -� s
-� s s
0
0
f (t) =� a ��1(t)
1(t)  skok jednostkowy
�� Funkcja wykładnicza  f (t) =� e-�at
Ą� Ą�
Ą�
1 1
-�at -�(s+�a)t
F(s) =� e-�stdt =�
��e ��e dt =� (s +� a) e-�(s+�a)t | =� s +� a
-�
0
0 0
1 1 T
a =� �� F(s) =� =�  T jest nazywane stałą czasową.
1
T Ts +�1
s +�
T
�� Transformata pochodnej (całkowanie  przez części )
Ą� Ą�
Ą�
df df
L�� (t)�� =� (t)e-�stdt =� f (t)e-�st | -� (-�s) f (t)e-�stdt =� -� f (0) +� s �� F(s) =� sF (s) -� f0
�� ż�
�� ��
dt dt
0
�� ��
0 0
ponieważ f (t)e-�st �� 0 dla t �� Ą� ( f (t) nie rośnie szybciej niż wykładniczo).
2
4. Transmitancja obiektu
�� Transformacja Laplace a obydwu stron równania poziomu przy h0 =� 0 :
dh 1 1
L�� �� =� L{�qwe -� qwy}� �� sH (s) -� 0 =� [Qwe(s) -� Qwy(s)]
�� ż�
dt A A
�� ��
Qwe(s) -� Qwy (s)
H (s) 1
H (s) =� lub =�
As Qwe(s) -� Qwy(s) As
wyjscie
=� transmitancja
wejscie
Transmitancja jest stosunkiem wyjścia do wejścia w dziedzinie operatora Laplace a s
i określa własności dynamiczne obiektu lub układu regulacji automatycznej.
�� Transmitancja całkująca
Całkowanie względem czasu równania poziomu:
t t h t
dh 1 1
dt=�
we we
�� ��(q -� qwy )dt �� ��dh =� A��(q -� qwy )dt h0 =� 0
dt A
0 0 0 0
t h t
�� ��
dh 1 1
L�� �� =� L�� we -� qwy)dt�� �� =� h =�
�� ż� �� ż�
we
��(q ��dh A��(q -� qwy)dt
dt A
�� �� �� ��
�� 0 �� 0 0
��t ��
1 F(s)
Ponieważ H(s) =� [Qwe(s) -� Qwy (s)] zatem L�� f (t)dt�� =�  w ogólnym przypadku.
�� ż�
��
As s
��0 ��
�� ��
�� Schemat blokowy
Qwy
H
Qwe -
+ 1
A s
Obiekt całkujący (integrator)
5. MATLAB  program tekstowy
�� Kod
l  licznik transmitancji
m  mianownik
t  czas
y  wyjście
step( )  odpowiedz
na skok jednostkowy
3
�� Wykres  plot( )
Różnica między dopływem a odpływem powoduje ciągłą zmianę poziomu. Układu
sterowania takim obiektem nie wolno wyłączać, bo zbiornik albo zostanie przelany,
albo zupełnie opróżniony.
6. SIMULINK  schemat graficzny
�� Ikona lub komenda simulink
Biblioteki
4
�� File > New > Model lub lewa ikona (Simulink Library Browser)
Pojawia się puste okno do tworzenia schematu
Zmiana nazwy z Untitled na docelową, np. Zbiornik_1
File > Save as & /Zbiornik_1.mdl  rozszerzenie mdl (model) dodawane automatycznie
�� Umieszczenie bloków Step, Gain, Integrator, Scope
Zaznaczyć blok w wybranej bibliotece i przeciągnąć na schemat trzymając lewy klawisz myszy
(lkm).
Sources > Step Continuous > Integrator
Math Operations > Gain Sinks > Scope
�� Połączenia
Kliknąć na wyjściu i przeciągnąć do wejścia (trzymając lkm).
�� Parametryzacja bloków
2 kliknięcia bloku, wypełnić odpowiednie pola pojawiającego się okna Parameters.
Step b.z. Gain Gain: 0.5 Integrator b.z.
Scope > 2 kl. > Ikona Parameters (druga) w oknie Scope b.z.
5
�� Opis sygnału, np. h
Prawym klawiszem myszy (pkm) zaznaczyć połączenie > Signal Properties > Signal
name: h (w razie potrzeby przesunąć trzymając lkm).
Finalny schemat
�� Czas symulacji
Simulation > Configuration Parameters: Start time: 0.0
Stop time: 10.0
Type: Variable step (laboratorium  Fixed step)
Uwaga. Krok obliczeń dostosowany automatycznie (Variable step) generuje
ostrzeżenia (Warning) w oknie Matlaba. Nie są one jednak istotne.
�� Symulacja
Ikona lub Simulation > Start
2 kliknięcia bloku Scope > Ikona Autoscale (lornetka) w pojawiającym się oknie Scope.
6
ZBIORNIK Z WYPA
YWEM POD CIŚNIENIEM HYDROSTATYCZNYM
1. Dane i model ogólny
qwe
�� Dane liczbowe:
A
A= 5 m2
h
h =� 10 m
qwe =� qwy =� 108 m3/h =� 0.03 m3/s
s
qwy
�� Model ogólny (nieliniowy)
W stanie nominalnym objętość cieczy w zbiorniku nie ulega zmianie.
qwe -� qwy =� 0 qwy =� s 2gh
qwe -� s 2gh =� 0  równanie stanu ustalonego
qwe
s =�
 powierzchnia swobodna zaworu na odpływie (do obliczenia)
2gh
Równanie dynamiki
dh
A =� qwe -� s 2gh
1�4�2�4�4�
4� 3�
dt
funkcja nieliniowa
�� Obliczenia dla stanu ustalonego
qwe 0.03
s =� =� =� 0.00214m2 (=� 21.4 cm2 )
2��9.81��10
2gh
Pytanie. Jaki poziom uzyska się dla dopływu zmniejszonego, np. 0.02 lub 0.01 m3/s,
przy takim samym stopniu otwarcia zaworu?
1 qwe
h =� ( )2
2g s
qwe =� 0.02 �� h =� 4.45 m, qwe =� 0.01 �� h =�1.11m, (s =� 0.00214)
2. Simulink
�� Równanie i schemat
dh 1
=� (qwe -� 2gh)
dt A
7
Wyjaśnienia
 Blok Step posłuży do wprowadzenia 10% zmiany dopływu (po pewnym czasie), tj.
D�qwe =� 0.003m3/ s .
 Nowe bloki: Sources > Constant, Math Operations > Sum
Math Operations > Math Function (sqrt wybrane w parametryzacji,
zob. niżej).
 Węzeł z wyprowadzeniem sygnału  Ctrl + lkm
�� Parametryzacja
Bloki
Step Step time: 1000  zmiana dopływu po 1000 s
Final value: 0.003  D�qwe (10%)
Constant Constant value: 0.03  qwe
Gain Gain: 2��9.81  2g
Math Function Function: sqrt  wybór z menu
Gain1 Gain: 0.00214  s
Sum List of signs: I++, I+
Gain2 Gain: 1/5  1/A
Integrator Initial condition: 10.0  h , wartość początkowa odpowiadająca
qwe, względem której nastąpi zmiana poziomu.
Scope > 2 kl. > Ikona Parameters (druga) Number of axes: 2  dwa wykresy;
parametryzację Scope zaleca się przeprowadzić przed łączeniem bloków.
Czas symulacji
Simulation > Configuration Parameters > Stop time: 20000  dobrany po próbach
�� Simulation > Start
8
Wzrost poziomu o ponad 2 m po czasie około 17000 s (4.7 godz.)
�� Mniejszy dopływ
1) qwe =� 0.02  Constant, h =� 4.45 m  Integrator/Initial condition
Wzrost poziomu o około 1.5 m po czasie 14000 s (3.9 godz.)
2) qwe =� 0.01, h =�1.11 m
Wzrost poziomu o około 0.8 m po czasie 7500 s (2.1 godz.)
Własności dynamiczne obiektów sterowania opisanych nieliniowymi równaniami
różniczkowymi zmieniają się wraz z punktem pracy.
Regulatory stroi się dla nominalnego punktu pracy. W przypadku, gdy punkt pracy się
zmienia (podczas tzw. regulacji programowej) nastawy regulatora powinny być do
niego dostosowywane (gain scheduling).
3. Linearyzacja modelu dynamiki
�� Niewielkie przyrosty
h(t) =� h +� D�h(t), qwe(t) =� qwe +� D�qwe(t), s(t) =� s +� D�s(t),
W celu przybliżenia funkcji nieliniowej przez funkcję liniową należy zastosować
rozwinięcie w szereg Taylora dla stanu nominalnego.
9
dh
A =� qwe -� s 2gh
dt
dD�h 2g
A @� 1�� D�qwe -� 2gh D�s -� s D�h
dt
2 2gh
sg
Laplace: As D�H (s) =� D�Qwe(s) -� 2gh D�S(s) -� D�H(s)
2gh
2gh
sg
As D�H (s) +� D�H (s) =� D�Qwe(s) -� 2gh D�S(s) ��
sg
2gh
ć� ��
�� ��
2gh 2gh
2h
��
A s +�1�� D�H (s) =� D�Qwe(s) -� D�S(s)
��
s4� �� sg s
{�
1� 1�2�3�
4�2�g3�
�� ��
k2
Ł� T ł� k1
�� Schemat blokowy
D�qwe
k1
+ D�h
1
- Ts +�1
Obiekt inercyjny I-go rzędu
D�s
k2
4. Obliczenia i przekształcenia
�� Stała czasowa i wzmocnienia
2gh
2��9.81��10
T =� A =� 5 =� 3336 s
0.00214��9.81
sg
2gh 2h 2 ��10
k1 =� =� 667 m m3 / s , k2 =� =� =� 4673 m/m2
0.00214
sg s
dD�h
3336 +� D�h =� 667 D�qwe -� 4673 D�s  czas w sekundach
dt
�� Zmiana skali czasu
3336 dD�h 667
h
+� D�h =� D�qwe -� 4673 D�s  czas w godzinach
3600 dth 3600
dD�h
h h
0.926 +� D�h =� 0.185 D�qwe -� 4673 D�s  D�qwe w m3/h
dth
10
�� Jednostki względne (normalizacja)
D�h
y =�  wyjście (zmienna procesowa)
h
D�qwe D�s
u =�  sterowanie, z =�  zakłócenie
qwe s
D�h
dć� ��
�� ��
h
D�h 1 qwe 1 s
h
Ł� ł� h
0.926 +� =� 0.185 D�qwe -� 4673 D�s
h
dth
h h h s
qwe
dy
0.926 +� y =� 2.0 u -�1.0 z
dth
�� Schemat blokowy
z
1.0
y
u -
1
2.0
0.926s +�1
Model zbiornika po przeskalowaniu czasu i normalizacji zmiennych
(obiekt inercyjny)
Po przeskalowaniu czasu i normalizacji zmiennych (jednostki względne) współczynniki
w równaniu stają się rzędu 1. Jest to istotne dla implementacji w sterowniku ze względu
na dokładność obliczeń numerycznych.
Zmiana średniego poziomu w zbiorniku, tzn. punktu pracy, powoduje
zmianę współczynników transmitancji ze względu na nieliniowość modelu.
Układ ze sprzężeniem zwrotnym powinien być do pewnego stopnia odporny
na te zmiany.
�� Matlab
l= 2
m= [0.926 1]
t= 0:0.1:10;
y= step (l,m,t);
plot (t, y), grid
Powszechnie przyjmuje się, że odpowiedz
obiektu inercyjnego ustala się po czterech
stałych czasowych.
�� Zależność poziomu od stopnia otwarcia zaworu na odpływie:
D�H(s) k2
=� -�
D�S(s) Ts +�1
11
�� Simulink
Continuous > Transfer Fcn
Numerator coefficient: [1]
Denominator coefficient: [.926 1]
BILANS ENERGII  PODGRZEWACZ
1. Równanie bilansu
�� Bilans energii stosuje się do tworzenia modeli matematycznych takich obiektów jak
piece, suszarnie, reaktory, wymiennikownie, podgrzewacze itp.
E =� M c T,
gdzie:
E - energia,
r� - gęstość
M - masa ( M =� Vr� ),
T - temperatura
V - objętość obiektu, c - ciepło właściwe
Równanie bilansu można przedstawić jako:
dE dT
=� Vr�c =� r�iciTi -� r� c Tj ą� D�P
��qi ��q j j j
dt dt
i j
D�P - moc doprowadzona lub odprowadzona
2. Podgrzewacz elektryczny
�� Dane liczbowe:
3
r�, c, V, T
=� . ( =10 l )
V 0.01 m
q
q
0�� C
=�
T 20
r�, c, T0 r�, c, T
0
\ P,R
U
=� ��
T 60 C
3
=� =� �� ( = 2 l/min )
q 0.12 m 3 0.0 333 10 -� m 3
/h /s
r� =�
10 3 kg/m 3
=� ��
c 4.19 10 3 J/kg K
=�
U 250 V
12
�� Warunki nominalne
q r� c T0 -� q r� c T +� P =� 0
Bilans dynamiczny
2
dT U
V r� c =� q r� c T0 -� q r� c T +�
dt R
�� Obliczenia dla warunków nominalnych
2
U 2502
P =� =� q r� c( T -� T0 ) �� R =� =�11.2W�
R 0.0333��10-�3 ��103 �� 4.19��103 ��(60-� 20)
Pytanie. Jaką temperaturę uzyska się przy napięciu U=150 V?
2
1 U
T =� �� +� T0 , U =�150V �� T =� 34.4o�C  znaczny spadek temperatury
R
qr� c
�� Simulink
2
dT 1 U
=� [q r� c(T0 -� T) +� ]
dt Vr� c R
Step Step time: 200, Final value: 25  10% z U =� 250V
Gain 1/11.2  1/R
Gain1 1/(0.01*1000*4.19*1000)  1/ (Vr�c)
Gain2 0.0333*0.001*1000*4.19*1000)  qr�c
Simulation Step time 2000
13
Wzrost o około 8�C w ciągu 1400 s.
Mniejsze napięcie: U =�150V  Constant, Integrator/Initial condition: 34.4
Wzrost o ponad 5�C w ciągu około 1400 s.
3. Linearyzacja
2
dT U
V r� c =� q r� c T0 -� q r� c T +�
dt R
�� Prawa strona bilansu jest nieliniowa, więc należy ją rozwinąć w szereg Taylora
względem T, q, U, T0.
dD�T 2U
V r� c =� r� c T0 D�q -� r� c T D�q +� q r� c D�T0 -� q r� c D�T +� D�U
dt R
Transformacja Laplace a
2U
V r� c s D�T (s) =� r� c T0 D�Q(s) -� r� c T D�Q(s)+� q r� c D�T0 (s) -�q r� c D�T (s) +� D�U (s)
R
2U
(�V r� c s +� q r� c)�D�T (s) =� -� r� c(�T -� T0)�D�Q(s) +� q r� c D�T0 (s) +� D�U (s) / : qr�c
R
ć� ��
�� ��
T -� T0
�� V �� 2U
s +�1��D�T (s) =� -� D�Q(s) +� D�T0 (s) +� D�U (s)
��
q q R
�� {� ��
1�2�3� 1�q r�
4� 4�c
2�3�
��
TCZ ��
k1 k2
Ł� ł�
14
�� Schemat blokowy
Model podgrzewacza (obiekt inercyjny)
D�q
k1
-
D�T0
1 D�T
+
+
TCZs +� 1
D�U
k2
4. Obliczenia
�� Stała czasowa i wzmocnienia
0.01 60 -� 20
TCZ =� =� 300 s, k1 =� =�1.2��106 K m3/s
0.0333��10-�3 0.0333��10-�3
2
2�� 250 U 2502
k2 =� =� 0.32 K / V, P =� =� =� 5580W =� 5.58KW
11.2��0.0333��10-�3 ��103 �� 4.19��103 R 11.2
�� Zmiana jednostek  czas w minutach, przepływ w m3/h
300 dD�T 1.2 ��106
+� D�T =� -� D�qh +� D�T0 +� 0.32 D�U
60 dtmin 3600
dD�T
5 +� D�T =� -� 33.3D�qh +� D�T0 +� 0.32 D�U
dtmin
D�T (s) k2 0.32
=� =�
D�U (s) TCZs +�1 5 s +�1
�� Matlab
l= 0.32
m= [5 1]
t=0:0.3:30;
y= step (l,m,t);
plot (t,y), grid
Simulink  jak poprzednio.
15
OPÓy
NIENIE
1. Transport
�� W większości procesów technologicznych występuje transport cieczy, gazów,
materiałów sypkich itp. (rurociągi, taśmociągi, podajniki). Pojawia się problem  jak
transport uwzględnić w transmitancji? (opóz
nienie transportowe)
Również przenikanie ciepła przez ściany, mieszanie, dyfuzja itp. odbywa się ze
skończoną prędkością.
u
S
y
t�
L
v
t� =�
u
v
y
L
Opóz
nienie transportowe w kotle rusztowym.
2. Transmitancja i aproksymacja Pad�
�� Transmitancja transcedentna
y(t) =� u(t -�t� ) , Y(s) =� U(s) ��e-��s
Opóz
nienie jako transmitancja transcedentna
u y
e-�t�s
�� Aproksymacja opóz
nienia  przybliżenie Pad�
Matlab  pade (t� ,n), n =� 1,...,12
t�
-� s +�1
2 -�t�s -� s +�1
2
I rząd: e-�t�s @� =� , np.: e-�2s @�
t�
2 +�t�s
s +�1
s +�1
2
(t�s)2 t�s
(t�s)3 (t�s)2 t�s
-� +� +� 1 -� +� -� +� 1
12 2 120 10 2
e-�t�s @�
e-�t�s @�
II: III:
(t�s)2 t�s
(t�s)3 (t�s)2 t�s
+� +� 1 +� +� +� 1
12 2 120 10 2
16
�� Matlab
Uwaga. Symulacja czasowa samego opóz
nienia w Matlabie daje dobre wyniki tylko dla
gładkich wymuszeń (np. sinusoida). Dla wymuszeń ze skokami, ostrzami itp. (jak
wyżej) występują spore rozbieżności. Znacznie lepiej będzie wyglądać symulacja
układu ze sprzężeniem zwrotnym.
Transmitancje obiektów technologicznych (energetycznych, chemicznych
i in.) należy zwykle uzupełnić o pewne opóz
nienie, co daje:
1 1 1 1
e-�t�s, e-�t�s, e-�t�s, e-�t�s.
2
Ts Ts +�1 (T1s +�1)(T2s +�1)
(�Ts +�1)�
Bardzo często wartość t� określa się eksperymentalnie.
�� Simulink
Continuous > Transport Delay
Time delay: 0.5
Step > Step time: 0
Transmitancja przykładowa 
1
e-�0.5s
2
s +�2s +�1
17
NAPI
CIOWE STEROWANIE SILNIKIEM DC
1. Silnik prądu stałego (Direct Current)
�� Zastosowanie: starsze napędy obrabiarek, robotów, rejestratorów, suwnic itd. ze
sterowaniem poprzez napięcie wirnika. Napędy małej mocy sterowane wprost z układu
scalonego.
Wadą silników prądu stałego jest stosowanie komutatora. Obecnie zaczynają
przeważać silniki bezkomutatorowe (odpowiedni materiał magnetyczny wirnika i
elektroniczny sterownik impulsowy dla stojana).
i
R w�
U
S
f�
J
N
S
Zasilanie napięciem U generowanym przez sterownik za pośrednictwem wzmacniacza
mocy.
2. Uproszczony opis silnika DC
�� Równanie napięć
U =� SEM +� iR
Dla potrzeb modelowania w automatyce pomija się indukcyjność wirnika (L � 0).
�� Równanie momentów
dw�
J =� Mem -� Mo -� Dw�
dt
gdzie:
D  współczynnik tarcia, R  rezystancja komutatora
J  moment bezwładności, Mem  moment elektromagnetyczny
Mo  moment obciążenia
w�  prędkość kątowa,
f�  kąt.
Ponadto
SEM =� csw�, Mem =� ksi, D � 0
�� Przekształcenia
Chodzi o utworzenie równań wiążących prędkość w� z napięciem U i momentem
obciążenia Mo.
Z równania napięć wyznacza się prąd i podstawia do równania momentów
18
dw� U -� csw�
J =� ks -� Mo �� R
dt R
Transformacja Laplace a
J R s W�(s) +� kscs W�(s) =� ks U(s) -� R Mo (s) / : ks cs
ć� �� ks
JR R
�� ��
s +�1�� W�(s) =� U(s) -� Mo (s)
��
kscs ł� kscs kscs
Ł�
ć� ��
�� ��
JR 1 R
��
s +�1�� W�(s) =� U (s) -� M (s)
�� ��
ks cs k2� o
s
{�
1�c3� 1�cs
2�s �� 3�
��
k
Ł� T ł�
k
z
Ostatecznie
k
k
z
W�(s) =� U (s) -� Mo (s)
Ts +�1 Ts +�1
Jest to transmitancja inercyjna, podobnie jak w przypadku zbiornika i podgrzewacza.
�� Schemat blokowy
Mo
kz
U - W�
1
k
Ts +� 1
Model silnika sterowanego napięciowo
Jeśli Mo = 0, to:
W�(s) k
=�
U (s) Ts +�1
Transmitancje całkiem różnych obiektów fizycznych mogą mieć ten sam charakter.
Zatem w jednolity sposób można analizować i projektować układy, które nimi sterują
(mówi się więc o interdyscyplinarności automatyki).
3. Wyznaczanie transmitancji na podstawie danych znamionowych
�� Dane liczbowe:
UN = 24 V
PN =� M w�N =� UN IN
N
nN = 3000 obr/min
PN 100
PN = 100 W
IN =� =� =� 4.17 A
U 24
N
R = 1 W�
J = 0.004 kg m2
19
PN 100
M =� =� =� 0.318 Nm
N
w�N 3000 �� 2p�
60
�� Stan jałowy (bez obciążenia)
Mo =� 0 , i � 0 ,
U 24
N
U =� cs w�N �� cs =� =� =� 0.076 V rd/s
N
w�N 3000�� 2p�
60
�� Stan nominalny
M 0.318
N
M =� ks IN �� ks =� =� =� 0.076 Nm/A
N
IN 4.17
Zatem
M M w�N PN U IN U
N N N N
ks =� =� =� =� =� =� cs ,
IN IN w�N w�N IN w�N I w�N
N
czyli ks = cs .
J R 1 R
T =� =� 0.69 s , k =� =� 13.1 rd/s V , kz =� =� 1.73 rd/s Nm
cs ks cs kscs
Wniosek. Jeżeli napięcie U zwiększymy o 1V, to obroty wzrosną o 13.1 rd/s.
�� Transmitancja silnika względem kąta f� (położenie)
df�
w� =� , � =� sŚ(s)
dt
k
k
z
Ś (s) =�
o
s(�Ts +�1)�U (s) -� s(�Ts +�1)�M (s)
k
 transmitancja całkująca z inercją I rzędu
s(�Ts +� 1)�
Dla danych z przykładu
k 13.1
=�
s (�Ts +�1)� s (�0.69s +�1)�
�� Matlab
l= 13.1
m= [0.69 1]
t= 0:0.05:5;
om= step (l, m, t);
fi= step (l, [m 0], t);
plot (t, om, t, fi), grid
20
�� Simulink
Multiplekser  dwa wykresy w oknie
Signal Routing > Mux
STEROWANIE PR
DOWE
i
1. Układ
R
w�
�� Prąd i jest ustawiany przez
i
S
f�
sterownik za pośrednictwem
J
wzmacniacza mocy pracującego
w układzie z
ródła prądu.
N
S
Regulowanym z
ródłem prądu jest następujący układ:
U+� -�U-� @� 0
-
i e -�ir @� 0
+ 1
S
i � e
r
e
r
Wzmacniacz z prądowym sprzężeniem zwrotnym
2. Opis
�� Teraz korzysta się tylko z równania momentów
dw�
J =� Mem -� Mo -� Dw� ,
dt
gdzie Mem =� ksi , D � 0
dw�
J =� ks i -� Mo
dt
21
�� Transformacja Laplace a
J s �(s) =� ksI(s) -� Mo (s)
ks Mo (s)
� (s) =� I(s) -� - transmitancja całkująca
Js Js
�� Schemat blokowy
Mo
I - W�
1
ks
J s
Istnieje szereg obiektów opisanych przez transmitancję całkującą (jak choćby zbiornik
zamknięty).
�� Położenie f�
�(s) =� s Ś(s) ,
ks Mo (s)
 transmitancja podwójnie
Ś(s) =� I(s) -�
Js2 Js2
całkująca (podwójny integrator)
�� Schemat blokowy
Mo
I - F�
1
ks
J s2
Sterowanie prądowe uważa się za odpowiedniejsze niż sterowanie napięciowe ponieważ
podwójne całkowanie zapewnia lepszą dokładność śledzenia zmieniającej się wielkości
zadanej. Obecnie jest ono powszechnie stosowane.
Dane z poprzedniego przykładu:
Ś(s) 19
ks 0.076
=�
=� =�19 ,
I(s)
J 0.004
s2
�� Matlab
l=19
m= [1 0]
t=0:0.05:5;
om= step (l, m, t);
fi= step (l, [1 0 0], t);
plot (t, om, t, fi), grid
Chcąc zatrzymać silnik należy zmienić kierunek prądu.
Ogólnie biorąc sterowanie obiektami całkującymi (astatycznymi) wymaga nieco bardziej
zaawansowanych algorytmów niż sterowanie obiektami inercyjnymi (statycznymi).
22