BUDOWA I WA
ASNOÅšCI CZ
STECZKOWE GAZÓW
ATOMY I CZ
STECZKI
" Jednostka masy
1
C = 1.66 Å"10-27 kg
1 u (unit) = masy izotopu 12
6
12
" Masa atomowa lub czÄ…steczkowa
µ = (masa atomu lub molekuÅ‚y) / 1u, wielkość bezwymiarowa
" Gramoatom lub gramoczÄ…steczka (inaczej mol): µ wyra\
one w gramach
" Stała Avogadro = liczba atomów lub cząsteczek w 1 molu substancji
12g 0.012kg
N = mol-1 = mol-1 = 6.023Å"1023mol-1
A
12u 12Å"1.66Å"10-27 kg
" Masa 1 mola substancji wyra\
ona w kg
mµ = NA Å" µ Å" u
" Koncentracja molekuł n = liczba molekuł w jednostce objętości
NA
n = Á
w jednostkach cm-3, m-3
mµ
g kg
Á = gÄ™stość masowa substancji w jednostkach ,
cm3 m3
" Siły międzyatomowe w cząsteczkach oraz międzycząsteczkowe są siłami
elektromagnetycznymi. Atomy, cząsteczki oddziaływują poprzez trwałe lub
indukowane elektryczne momenty dipolowe. Są to tzw. siły van der Waalsa
1
(siły odpychające przy małych odległościach między atomami, cząsteczkami
oraz przyciągające na odległościach du\
ych).
U (r)
SIA
Y ODPYCHAJ
CE
r
0
SIA
Y PRZYCI
GAJ
CE
CIÅšNIENIE GAZU NA ÅšCIANKI NACZYNIA
(MODEL GAZU DOSKONAA
EGO)
" Gaz idealny jest modelowym przybli\
eniem gazu doskonałego. W gazie
idealnym atomy (molekuły) zachowują się jak ciała doznające nieustannie
zderzeń sprę\
ystych ze sobą i ściankami naczynia. W jednorodnym gazie
wszystkie molekuły posiadają tę sama masę m.
" Ciśnienie p jest równe liczbowo sile działającej na jednostkę powierzchni
naczynia, ciała.
Jednostki ciśnienia:
1 Pa (pascal) = 1N/m2 (1 N = 1 niuton)
1 atm (atmosfera techniczna) = 1 Atm = 105 Pa = 1000 hPa (zale\
ność
przybli\
ona)
2
1 Atm (atmosfera normalna) = ciśnienie hydrostatyczne słupa rtęci o
wysokości h = 760 mm = 0.76 m
p = Ágh
Á = 13.6 g/cm3 = 13 600 kg/m3 gÄ™stość rtÄ™ci
g = 9.81 m/s2 przyspieszenie ziemskie
" Podczas zderzenia ze ścianką naczynia i  ta molekuła posiadająca pęd (mvi)
oddziałuje na ściankę siłą doznając zmiany pędu w czasie "t
"(mvi )
Fi =
"t
z
vz
N
vy
vx
y
0
x
" Ciśnienie p wywierane przez gaz na ścianki naczynia, zawierający liczbę N
molekuł, jest równe sumie ciśnień cząstkowych pi wywieranych przez
pojedyncze molekuły. Koncentracja molekuł wynosi
N
n =
V
3
" Mo\
na udowodnić, \
e
N
Fi Nivi 2 1
"
p = pi = = nm = nm < v2 >
" "
i=1 "Si 3N 3
Nivi
"
< v2 >=
N
Ni liczba molekuł o prędkościach vi
średnia kwadratu prędkości
< v2 > średnia prędkość kwadratowa ruchu postępowego molekuł
" Ciśnienie mo\
na wyrazić poprzez średnią energię kinetyczną pojedynczej
molekuły gazu
1 2 m < v2 > 2 1 2
p = nm < v2 >= n = n Å" < mv2 >= n < µ >
3 3 2 3 2 3
< µ >
średnia energia kinetyczna ruchu postępowego
pojedynczej molekuły
RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAA
EGO
" Dla 1 mola gazu
pV = RT
p  ciśnienie gazu na ścianki naczynia
V  objętość gazu (naczynia)
T  temperatura gazu (w K)
R  uniwersalna staÅ‚a gazowa R = 8.31 J · K-1mol-1
4
" Dla masy M gazu (liczby molekuł N)
M N
pV = RT = RT
µ NA
2 2
pV = nV < µ >= N < µ >
3 3
N 2
RT = N < µ >
NA 3
R
= k
NA
3
< µ >= kT
2
Stała Boltzmanna
R
k =
NA
ZASADA EKWIPARTYCJI ENERGII
(ZASADA RÓWNEGO PODZIAA
U ENERGII POMI
DZY STOPNIE
SWOBODY MOLEKUA
)
" Stopnie swobody  sposoby magazynowania energii przez molekułę
" Gaz 1  atomowy (czÄ…steczka 1-atomowa).
z
PUNKT MATERIALNY
(GAZ 1- ATOMOWY)
y
x
5
Cząsteczka gazu przedstawia sobą punkt materialny, który wykonuje ruch
postępowy w trzech kierunkach przestrzeni: x, y, z i posiada w tych kierunkach
trzy składowe prędkości. Ze składowymi tymi związane są odpowiednio 3
wartości energii kinetycznej ruchu postępowego. Cząsteczka taka posiada 3
stopnie swobody ruchu postępowego (i = 3).
" Gaz 2  atomowy. Cząsteczka prezentuje sobą układ dwóch punktów
materialnych (bryła sztywna), które oprócz ruchu postępowego mogą
wykonywać ruch obrotowy wokół dwóch, wzajemnie prostopadłych, osi
obrotu. Z ruchem tym związane są 2 wartości energii ruchu obrotowego, 2
stopnie swobody ruchu obrotowego.
Gaz 2  atomowy posiada
i = 3 + 2 = 5 stopni swobody
2 MOśLIWE OSIE OBROTU
" Gaz 3- lub więcej atomowy (układ 3 lub więcej punktów materialnych)
Molekuła gazu (bryła sztywna) posiada 3 stopnie swobody ruchu
postępowego oraz 3 stopnie swobody ruchu obrotowego, związane z
mo\
liwością ruchu obrotowego wokół trzech osi obrotu.
6
Gaz 3- lub więcej atomowy posiada
i = 3 + 3 = 6 stopni swobody
3 MOśLIWE OSIE OBROTU
" Zasada ekwipartycji brzmi: na ka\
dy, pojedynczy stopień swobody molekuły
przypada jednakowa wartość energii, wynosząca
1
< µ1 >= kT
2
" Całkowita energia kinetyczna ruchu postępowego (ruchu cieplnego)
pojedynczej molekuły wynosi
i
< µ >= kT
2
i  liczba stopni swobody
ENERGIA WEWN
TRZNA GAZU DOSKONAA
EGO
(ENERGIA RUCHÓW CIEPLNYCH WSZYSTKICH MOLEKUA
GAZU)
" Energia wewnętrzna 1 mola gazu
i i R i
U = NA < µ >= kTNA = Å" NAT = RT
2 2 NA 2
i
U = RT
2
7
" Energia wewnętrzna dowolnej masy gazu
i m
U = RT
2 µ
m  masa wszystkich molekuł
µ  masa 1 mola gazu (gramoczÄ…steczka, gramoatom)
PRZEMIANY GAZU DOSKONAA
EGO
???????????????????????????????????????
CIEPA
O WA
AŚCIWE MOLOWE GAZÓW
(CIEPA
O POTRZEBNE DO OGRZANIA 1 MOLA GAZU)
" Ciepło właściwe molowe w stałej objętości
dU i
CV = = R
dT 2
" Ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
i + 2
Cp = CV + R = R
2
" Cp i CV gazu doskonałego nie zale\
Ä… od temperatury
CIEPA
O WA
AŚCIWE GAZÓW WIELOATOMOWYCH
" W miarę wzrostu temperatury gazu molekuły wykonują coraz bardziej
zło\
one ruchy cieplne. Oznacza to zwiększanie się liczby stopni swobody
8
i w związku z tym, wzrost wartości ciepła właściwego gazu przy stałym
ciśnieniu i w stałej objętości.
Cv
[J/(mol . K)]
7/2 R
30
5/2 R
H2
20
3/2 R
10
GAZ
10 <"50 <"200 <"2000 5000
T [K]
DOŚWIADCZALNA ZALEśNOŚĆ Cv OD TEMPERATURY DLA H2
Doświadczenie: zale\
ność CV od temperatury dla wodoru cząsteczkowego H2
(najprostsze molekuły gazu)
" Widmo energii molekuł dla ruchu postępowego jest widmem ciągłym, dla
ruchu rotacyjnego i drgajÄ…cego  widmem dyskretnym. Oznacza to, \
e
energia tych dwóch ostatnich ruchów podlega kwantowaniu (inaczej 
molekuły posiadają kwantowe stopnie swobody. W miarę wzrostu
temperatury wodoru rośnie liczba stopni swobody molekuł.
KWANTOWANIE ENERGII ROTACJI MOLEKUA

" Energia rotacji molekuly
2
1 J
E = IÉ2 =
R
2 2I
(J = IÉ)
9
I  moment bezwładności molekuły ; J- moment pędu (kręt)
É  prÄ™dkość kÄ…towa rotacji
" Kwantowa wartość momentu pędu J
J = l(l +1)h / 2Ä„
l = 0,1,2,..., n
h  stała Plancka
l  liczba kwantowa rotacji
" Kwantowe wartości energii rotacji wynoszą
l(l +1)(h / 2Ä„)2
ER =
2I
" Odległość poziomów energetycznych (zmiana energii rotacji)
(l +1)(h / 2Ä„)2
"ER = E(l +1) - E(l) =
I
Układ rotacyjnych
poziomów energetycznych molekuły
TERMICZNE WZBUDZENIA STANÓW ROTACYJNYCH MOLEKUA

" Molekuła 2  atomowa posiada i =2 stopnie swobody ruchu rotacyjnego
(oraz 3 stopnie swobody ruchu postępowego). Energia rotacji molekuły
wynosi
i
E = kT = kT
R
2
10
" Zmiana energii rotacji
(l +1)(h / 2Ä„)2
"ER = k"T =
I
Przejście między stanami energetycznymi o l = 0 i l = 1 wymaga zmiany energii
cieplnej, tj. Zmiany temperatury gazu o
(h / 2Ä„)2
"T =
kI
2
10h
4
E =
I
3
2
h2
1 E =
I
0
ROTACYJNE POZIOMY ENERGETYCZNE MOLEKUA
Y
Wymagana zmiana temperatury zale\
y od ró\
nicy wartości liczb kwantowych
oraz momentu bezwładności molekuły. Dla molekuł o ró\
nych momentach
bezwładności kolejne zmiany stanu energetycznego wymagają dostarczenia
ró\
nej ilości ciepła, tj. Ró\
nej zmiany temperatury gazu.
H2 HCl O2
I 4.72 26.8 194 [10-45 kg*m2]
"T 170 30 4 [K]
11
ENERGIA
KWANTOWANIE ENERGII DRGAC
(ENERGII OSCYLACJI)
" Kwantowa wartość energii drgań oscylatora harmonicznego prostego wynosi
1
Eosc = (n + )h½
2
n = 0, 1, 2, ...  liczba kwantowa drgań
h  stała Plancka
½  czÄ™stość drgaÅ„
" Ró\
nica energii kolejnych stanów oscylacyjnych
1 1
"Eosc = h½(n + +1) - h½(n + ) = h½
2 2
Poziomy oscylacyjne sÄ… jednakowo odlegÅ‚e o wartość h½ (Inaczej: ró\
nica
energii kolejnych stanów ruchu drgającego oscylatora harmonicznego wynosi
zawsze h½).
n
E
7/2 . h½
3
2
1
1/2 . h½
0
Widmo stanów oscylacyjnych molekuły
12
TERMICZNE WZBUDZENIE STANÓW OSCYLACYJNYCH MOLEKUA

" Molekuła 2-atomowa posiada i = 3 stopnie swobody
3
"Eosc = h½ = k"T
2
2h½
"T = H" 1000K
3k
RUCHY CIEPLNE MOLEKUA
GAZU
" Molekuły gazu wykonują chaotyczne (nieuporządkowane) ruchy cieplne
doznając nieustannych zderzeń
ÅšREDNIA DROGA SWOBODNA MOLEKUA

ni
vi
" Średnia droga swobodna molekuły jest równa średniej odległości między
zderzeniami
KOLEJNE ZDERZENIA
l3
WYBRANEJ MOLEKUA
Y
GAZU
l2
l1
l1 + l2 + l3 + ...
< l >=
k
k  liczba zderzeń w pewnym przedziale czasu
13
" Prawdopodobieństwo zderzenia dwóch molekuł określone jest poprzez tzw.
przekrój czynny na zderzenie Ã. MolekuÅ‚a w czasie zderzenia przedstawia
sobą tarczę o średnicy d równej średnicy molekuły
2 d
à = Ąd2
MOLEKUA
A
d
d
 TARCZA O ÅšREDNICY d
" Z rozwa\
ań statystycznych dla du\
ej liczby zderzeń wynika wzór na średnią
drogÄ™ swobodnÄ…
1 1
< l >= =
Ä„ 2nd2 2nÃ
n  koncentracja molekuł
" Przykład: średnia droga swobodna molekuł powietrza (praktycznie azotu
czÄ…steczkowego N2)
T = 273 K, p = 1 atm, co odpowiada n = 3·1019 cm-3
d = 2·10-10 m typowy rozmiar prostych molekuÅ‚
= 2·10-7 m
" Przekrój czynny na zderzenie
à = 1.2·10-19 m2
Jednostka przekroju czynnego
1 barn = 1 b = 10-24 cm2 = 10-28 m2 ; Ã (N2) = 109 b
" Częstość zderzeń (liczba zderzeń w jednostce czasu, np. w ciągu 1 sekundy)
14
< v >
½ = = 2nÃ
< l >
vi
"
< v >=
N
- prędkość średnia (średnia arytmetyczna)
N - całkowita liczba molekuł
½ = 5·109 s-1 (pięć miliardów zderzeÅ„ w ciÄ…gu 1 sekundy doznajÄ… molekuÅ‚y
powietrza w warunkach normalnych)
" średni czas między zderzeniami
1
< Ä >= = 2 Å"10-10 s
½
ATMOSFERA ZIEMSKA
" Zmiany własności atmosfery ziemskiej z wysokością nad poziomem morza
h[m] P[atm] [m] N [cm-3]
0 1 10-7 3·1019
100 10-6 1 3·1013
300 10-9 10 3·1010
Du\
e h  pojęcie średniej drogi swobodnej traci sens. Działanie pola
grawitacyjnego powoduje, \
e molekuły poruszają się po torach
balistycznych i mogą uciekać z atmosfery
15
ZMIANA CIÅšNIENIA Z WYSOKOÅšCI
W ATMOSFERZE ZIEMSKIEJ
p
dx
x
x = 0
POZIOM MORZA
Poziom morza x = 0
" CiÅ›nienie hydrostatyczne gazu, cieczy o gÄ™stoÅ›ci Á i wysokoÅ›ci sÅ‚upa h, g 
przyspieszenie ziemskie. Dla wysokości h = 0 (na poziomie morza) ciśnienie
wynosi p0, a gÄ™stość powietrza Á0
Á
Á
Á
Á
h
p
p = Ágh
dp(x) = -Á(x)gdx
dp
= -Ág
dx
Á(x) p(x)
=
Á0 p0
p
Á = Á0
p0
dp p
= -gÁ0
dx p0
dp gÁ0
= - dx
p p0
16
Powy\
sze równanie ró\
niczkowe jest równaniem o zmiennych rozdzielonych,
które całkujemy w granicach od p0 do p(x) i od 0 do x
p
x
dp gÁ0
= -
+" +"
p p0
p0 0
p gÁ0
ln = - x
p0 p0
ëÅ‚ gÁ0 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
p = p0 expìÅ‚- x÷Å‚ = p0e-Ä…x
p0 Å‚Å‚
íÅ‚
gÁ0
Ä… a"
p0
g = 9.81m / s2
Á = 1.2kg / m3
0
t = 20o C
p0 = 1.01Å"105 N / m2
Ä… = 1.16 Å"10-4 m-1 = 0.116km-1
p [atm]
dp
100
= -Á Å" g = Ä… Å" poe-dx
dx
500
dp
= Á Å" g = const
UWZGL
DNIA ZMIANY g i T z WYSOKOÅšCI

dx
1,0
p = Á Å" g Å" x
0,5
5 10 15 20 25 30
15 10 5
GA

BOKOŚĆ [km] WYSOKOŚĆ [km]
POZIOM
MORZA
p (x) = Ágx p (x) = po e -dx
Á
Á
Á
WZÓR BAROMETRYCZNY
17
ROZKA
AD PR
DKOSCI MOLEKUA
W GAZIE
FUNKCJA ROZKA
ADU PR
DKOÅšCI
" Funkcja rozkładu prędkości pozwala określić ile molekuł posiada prędkości
zawarte w przedziale (v, v+dv)
" Funkcja rozkładu oznacza prawdopodobieństwo tego, \
e w układzie
zło\
onym z bardzo du\
ej liczby molekuł znajdziemy molekułę o prędkości z
przedziału (v, v+dv)
" Funkcja rozkładu pozwala wyznaczać wartości średnie, np. ,
" Postać funkcji rozkładu jest określany na gruncie fizyki statystycznej
ROZKA
AD MAXWELLA
" Gaz składa się z cząsteczek o ró\
nych prędkościach w danej temperaturze i
danym ciśnieniu. Stan taki jest spowodowany nieustającymi zderzeniami
molekuł i przekazem pędu.
" Najbardziej prawdopodobny rozkład prędkości wielkiej liczby cząstek
" Funkcja rozkładu Maxwella ma postać
3
mv2
2 -
m
öÅ‚
2kT
N(v) = 4Ä„NëÅ‚ v2e
ìÅ‚ ÷Å‚
2Ä„kT
íÅ‚ Å‚Å‚
N  całkowita liczba cząsteczek w próbce gazu
k  stała Boltzmanna
T  temperatura gazu
18
m  masa pojedynczej czÄ…steczki
N(v)dv  liczba cząsteczek w próbce gazu o prędkościach z przedziału
(v, v+dv)
T1
N(v)
T2
vp vkw
v
N(v)dv
Kształt funkcji Maxwella dla dwóch ró\
nych temperatur gazu T1 < T2.
N(v ) oznacza liczbę cząsteczek przypadających na jednostkowy przedział
prędkości.
" Pole powierzchni pod krzywą jest równe całkowitej liczbie cząsteczek
"
N = N(v)dv
+"
0
" Funkcja rozkładu prędkości pozwala wyznaczyć wartości średnie prędkości
Prędkość średnia (arytmetyczna)
"
N(v)vdv
+"
0
< v >=
N
19
Prędkość średnią kwadratową
"
N(v)v2dv
+"
0
< v2 > =
N
oraz prędkość najbardziej prawdopodobną vp, która oznacza poło\
enie
maksimum funkcji rozkładu na osi prędkości
" Relacje liczbowe między poszczególnymi prędkościami
8kT kT kT 2kT kT
< v >= =1.59 , < v2 > =1.73 , vp = =1.41
Ä„m m m m m
vp < < < v2 >
v a"< v >
inaczej (vp < < < v2 > )
 a"< l >
" Im mniejsza masa, tym większa liczba molekuł o du\
ych prędkościach w
danej temperaturze, np.:
H2, N2, O2 w górnych warstwach atmosfery
Ucieka łatwiej z górnych warstw ni\
O2 i N2
20
ZJAWISKA TRANSPORTU W GAZACH
- DYFUZJA - TRANSPORT MASY
- PRZEWODNICTWO CIEPLNE - TRANSPORT ENERGII
- LEPKOŚĆ - TRANSPORT P
DU
DYFUZJA
" Samorzutnie przebiegający proces wyrównywania koncentracji molekuł
na skutek ich ruchu cieplnego
" Układ (gaz) nie jest w stanie równowagi, ale do niej dą\
y
" (mo\
e być TERMODYFUZJA = przemieszczanie się molekuł
spowodowane ró\
nicą temperatur objętości gazu)
Mo\
liwe zjawiska dyfuzyjne:
- autodyfuzja (samodyfuzja)
- dyfuzja wzajemna
- termodyfuzja
dn
= grad n
dz
n - koncentracja molekuł
z
dn
- gradient koncentracji
dz
jD - gęstość prądu dyfuzji
jD
n
(liczba molekuł na jednostkę
z
0
powierzchni prostopadłej do jD
na sekundÄ™)
21
dn
" | jD |= jD = -D równanie dyfuzji
dz
1
D =  Å" v współczynnik dyfuzji D~10-5 m , w gazach
3 s2
(model gazu doskonałego)
(v, - średnia droga swobodna, średnia prędkość)
" równanie dyfuzji inaczej
d dÁ
jM = -D (mn) = -D gęstość strumienia masy
dz dz
(m = masa molekuły)
" współczynnik dyfuzji
1 kT 8kT
D = Å"
3 Ä„m
2 Å"Ã Å" p
1
T = const, D~
p
3
dla danego gazu
2
p = const, D~T
np.: H2 D=6.6·10-5m2/s
współczynnik samodyfuzji
O2 D=0.93·10-5m2/s
w warunkach normalnych
22
PRZEWODNICTWO CIEPLNE
" Á=const, zmienne T w objÄ™toÅ›ci gazu
T=T(z)
z
jQ
dT dT
T
= grad T; > 0
dz dz
0
z
równanie transportu ciepła (energii)
dT
jQ = -º
dZ
= gęstość prądu energii
[jQ]=J/(m2s), [º]=W/(mK)
1 f
współczynnik przewodnictwa cieplnego
º = nÅ"  Å" v Å"k Å"
3 2
(model gazu doskonałego)
k - stała Boltzmana, f - liczba stopni swobody
1
cV - odniesione do jednostki objętości
º =  Å" v Å" cV
3
1 1
2 2
(v ~ T ) , º ~ T º - nie zale\
y od n a więc i p
23
np.: H2 º=16.8·10-2 W/(m/K)
O2 º=2.4·10-2 W/(m/K)
TRANSPORT P
DU (LEPKOŚĆ, TARCIE WEWN
TRZNE)
Przekaz pędu między warstwami gazu o ró\
nej prędkości
(w ruchu uporzÄ…dkowanym)
u2
u1
z
p = m(u1 - u2 )
jp
u
du
= grad u
dz
0
z
u1,u2 - prędkości warstw
p = m(u1 - u2 ) - zmiana pędu molekuły
jp - gęstość strumienia pędu ( pęd/(m2s) )
du
równanie lepkości
jp = -·
dz
[·]=kg/(ms)
1 1
· = nmv = Áv współczynnik lepkoÅ›ci
3 3
1
2
· ~ T ; ·- nie zale\
y od p
24
np.: H2 ·=0.84·10-5 kg/(ms)
w warunkach
normalnych
O2 ·=1.40·10-5 kg/(ms)
UWAGA:
Ćwiczenia
Pomiar współczynnika lepkości cieczy
na pracowni fizycznej
Pomiar współczynnika lepkości powietrza
v
GAZ, CIECZ
25