MECHANIKA OGÓLNA
Wykładowca: Prof. dr hab. inż. KRZYSZTOF WILDE
Kontakt: [e-mail] (dla starostów grup)
Materiały do wykładu przygotowano na bazie prac i materiałów
Przykładowa rama płaska ze schematem statycznym
Prof. Jarosława Przewłóckiego (Politechnika Gdańska, PWSZ Elbląg)
1
Drewniany dom mieszkalny o konstrukcji szkieletowej Konstrukcja hali żelbetowej z podciągiem opartym na słupach
UKA
ADY RAMOWE UKA
ADY RAMOWE
Konstrukcje składające się z prętów prostoliniowych,
Sztywność węzła uniemożliwia wzajemny
połączonych ze sobą w węzłach w sposób sztywny lub
obrót połączonych w nim prętów.
przegubowy, nazywają się ramami.
Połączenia przegubowe umożliwiają
Belka załamana
Rama trójprzegubowa
swobodny obrót łączonych prętów.
BELKI ZAA
AMANE
Wyznaczanie reakcji
Umiejętne stosowanie równań równowagi prowadzi do niezależnego
Belkami załamanymi nazywane są układy prętowe podparte na
obliczenia kolejnych składowych reakcji belek załamanych.
dwóch podporach, przegubowo-przesuwnej i nieprzesuwnej, o
8 kN
prostokątnej siatce prętów lub prętach ukośnych.
8 kN
Przykład
C D E C D E
Rozpora (rygiel)
Rama wspornikowa
B
HB
B
Słupek
F
A
RB
B
A B
A A
A
4 m 1m
RA
=� HB -� 2��4 =� 0 �� HB =� 8 kN
��Px
4 m 1m
=� 4RA -� 8��1 =� 0 �� RA =� 2 kN
��MB
=� 4RB -� 8��5 =� 0 �� RB =� 10 kN
��MF
=� RA -� RB +� 8 =� 2 -�10 +� 8 =� 0
Sprawdzenie
��Py
2 m
2 m
4 m
4 m
2 kN/m
2 kN/m
x2
8 kN
Wyznaczanie sił N, T i M
b� Wyznaczanie sił N, T i M
b� E
D
C
8 kN
8 kN
B
E
D
C
Równania sił wewnętrznych należy
10 kN
zapisywać oddzielnie dla każdego
8 kN
a� �x B
A
elementu konstrukcji. Równania te
1
a� �
10 kN będą się zmieniać wwęzłach układu
2 kN
A
oraz w punktach zmiany typu
4m 1m
2 kN (funkcji) obciążenia.
4 m 1m
C -� D : 0 Ł� x2 Ł� 4 m
x2
Mb�
y2
b�
A -� C : 0 Ł� x1 Ł� 4 m
Na�
=� 0 �� Nb� x2 =� -�4��2 =� -�8 kN
(� )�
C ��Px2
Ma�
Nb�
b�
Ta�
Tb�
=� 0 �� Tb� x2 =� -�2 kN
(� )�
=� 0 �� Na� x1 =� 2 kN ��Py2
a� � (� )�
x1
��Px1
A
A
=� 0 �� Mb� x2 =� -�2x2 -� 2��4��2
=� 0 �� Ta� x1 =� -�2x1 (� )�
(� )�
��M(b� )
��Py1
2
2 kN
2�� x1 2
y1
=�-�2x2 -�16
2 kN
=� 0 �� Ma� x1 =�-� =�-�x1
(� )�
��M(a� )
2
x3 8 kN
8 kN
g�
D
Wyznaczanie sił N, T i M Wyznaczanie sił N, T i M
E
C
E
D
C
g�
x4 d� d�
8 kN
8 kN
B
B
10 kN
10 kN
A
A
2 kN
2 kN
4 m 1m
4 m 1m
B -� D : 0 Ł� x4 Ł� 2 m
E -� D : 0 Ł� x3 Ł� 1 m
Nd�
Mg� Tg� Td� Md�
8 kN
g�
x4
=� 0 �� Ng� x3 =� 0
(� )� =� 0 �� Nd� x4 =� -�10 kN
d� d� (� )�
��Px3
��Px4
Ng�
E
g�
8 kN
=� 0 �� Td� x4 =� 8 kN
(� )�
x3 ��P =� 0 �� Tg� (�x3)� =� 8 kN
y3
��Py4
y4
y3
=� 0 �� Md� x4 =� -�8x4
(� )�
��M =� 0 �� Mg� (�x3)� =� -�8x3 10 kN
(g� ) ��M(d� )
2 m
2 kN/m
4 m
2 kN/m
2 m
4 m
2 kN/m
2 kN/m
2 m
2 m
4 m
4 m
2 kN/m
2 kN/m
Wyznaczanie sił N, T i M  WYKRESY
Równowaga sił T i N w węz
le D
RAMY TRÓJPRZEGUBOWE
8
8 8
D
8
2
8
2
8
10 8
10
=� 0 �� 8 -� 8 =� 0
��Px
[kN] [kN]
N T
2
=� 0 �� 10 -� 8 -� 2 =� 0
��Py
24
8
16
D
16
D
24 8
16
[kNm]
M
=� 0 �� 24 -� 8 -�16 =� 0
��MD
Poprawność rozwiązania należy sprawdzić analizując równowagę wszystkich
składowych sił wewnętrznych, działających na węzeły (np. na węzeł D).
RAMY TRÓJPRZEGUBOWE
RAMY TRÓJPRZEGUBOWE
Układy prętowe nazywane są trójprzegubowymi, jeżeli obydwie
Cechą charakterystyczną układów trójprzegubowych
podpory są wykonane jako przegubowe-nieprzesuwne oraz jeden z
jest występowanie na podporach składowych
węzłów zaprojektowano jako połączenie przegubowe.
poziomych reakcji nazwanych rozporem. Reakcje
poziome występują także w przypadku, gdy układów
C
C
C
obciążonych wyłącznie siłami pionowymi.
B
f
A
A
B
A B
l l
l
Wyznaczanie reakcji. Wukładach trójprzegubowych są cztery
rozpiętość
reakcje. Wykorzystujemy trzy równania równowagi (dostępne
dla płaskiego układu sił) oraz dodatkowy warunek zerowania się
HB
momentu zginającego w przegubie (MC = 0).
HA HB HA RB HA HB
Równanie sumy momentów można zapisać, analizując lewą
RA RB RA RA RB rozpór
lub prawą stronę układu.
Wyznaczenie sił wewnętrznych w przekrojach ram
Odległość między podporami A i B
trójprzegubowych przeprowadza się identycznie jak
nazywa się rozpiętością ramy
dla belek załamanych czy zwykłych ram.
trójprzegubowej l.
20 kN
RAMY TRÓJPRZEGUBOWE
20 kN 20 kN
C b�
B B B HB
HB
C C
a�
a�
b�
W układach ramowych, w których pręty w węzłach łączone są za
I
III
II
A RB
HA RB HA
A A
pomocą przegubów, istotny jest sposób konstrukcji węzłów.
1m 4 m
RA RA
Położenie I
Pręt z lewej strony węzła C możesię swobodnie obrócić, a więc układ jest
geometrycznie zmienny. Wyznaczenie reakcji i sił wewnętrznych dla takiego
układu nie jest możliwe.
Węzeł łączący przegubowo trzy pręty
Położenie II
L
=� 2H =� 0 �� H =� 0
��MC A A
20 kN 20
HB=0
5
20
HA=0 5 kN
Węzeł łączący przegubowo dwa pręty
[kN] M [kN��m]
[kN]
25 N T
25kN
P
Położenie III
=� 4RB =� 0 �� RB =� 0
��MC
A
UKI
20kN
20
10
10
20
20
RB=0
10
10
20
N [kN] T [kN] M [kN��m]
20
Porównanie wykresów
20kN 20
HB=0
5
20
5 kN
HA=0
[kN] [kN] M [kN��m]
25 N T
25kN
W obydwu przypadkach, różniących się jedynie położeniem przegubu w
węz
le, inne są reakcje i wykresy sił wewnętrznych. Analiza rozwiązania
pozwala stwierdzić, że umieszczając odpowiednio przegub C można
modelować rozkład sił wewnętrznych w układzie.
2 m
A
UKI
A
UKI
A
UKI
A
UKI
Dobrze zaprojektowany i wykonany łuk możebyć nie tylko konstrukcją o
Odległość między podporami l, podobnie jak w belkach lub ramach, nazywa się
wyróżniających się walorach estetycznych, ale takżeukładem bardziej
rozpiętością łuku, najwyższy punkt  kluczem łuku, a jego wysokość
bezpiecznym i ekonomicznym.
mierzoną od poziomu podpór  strzałkąłuku f.
Kształt łuku można zaprojektować według równań dowolnych krzywych, np.
Kształtowanie geometrii łuku pozwala zmniejszyć wielkości momentów
jako parabole lub wycinki okręgów. Najczęściej stosowane sąłuki, których osie
zginających i sił poprzecznych, co umożliwia lepsze wykorzystanie materiału.
opisane są parabolami.
r
4 f
y =� x l -� x
(� )�
l2
Belka o osi zakrzywionej A
uk trójprzegubowy A
uk trójprzegubowy
f�
y
y
paraboliczny kołowy
a�
C
C
q
P
q
Py
y a�
f M Px
y M
Współcześnie łuki są stosowane
B
przede wszystkim w konstrukcjach AB HA A HB
x
x
x
o dużych rozpiętościach.
l/2 l/2
RA RB
x
Konstrukcja magazynu i jego schemat statyczny
Przykład
Momenty zginające oblicza się tak jak dla układów ramowych. Na
P=90 kN
P=90 kN
g�
wartość Ma� nie wpływa krzywizna układu, a jedynie położenie
C
4m B C
HB=54 kN
obciążenia względem przekroju a�-�a�.
g�
f=9m
B
5m
f� A
HA=54
Ma�
RB=36 kN
Na�
Py a� Na�
A
9m 6m D
a�
0 RA=54 kN
l=18 m
N
a�
Px
Ta�
a�
y
y=f(x)
t
Wyznaczenie reakcji podporowych
HA
f�
��
=� 15RA -� 5H -� 6��90 =� 0
RA =� 54 kN
��M B A ��
��
RA
��
W ����H =� 54 kN
0
x
T L
=� 9RA -� 9H =� 0
�� A
��
��MC A
��
Ta�
Obliczanie sił poprzecznych i podłużnych
��
=� 15RB +� 5HB -� 9��90 =� 0
RB =� 36 kN
00 ��M A ��
��
Na� =� N cosf� -� T sinf�
��
����H =� 54 kN
P
=� 6RB -� 4HB =� 0
�� B
��
��MC
��
00
Ta� =� T cosf� +� N sinf�
=� H -� HB =� 54 -� 54 =� 0 �� H =� HB =� H
��Px A A
sinf�
��
dy 4 f
Kąt nachylenia stycznej
��
=� t gf� =� l -� 2x =� RA +� RB -� P =� 54 +� 36 -� 90 =� 0
(� )� ��cosf�
��Py
w dowolnym punkcie łuku
dx
l2
��
Tablica N, T, M
Wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych
x [m] y [m] tgf� sinf� cosf� N [kN] V [kN] M [kN��m]
4 ��9 1 dy 2
y =� �� 18 -� x =� x 18 -� x t gf� =� =� 2 -� x
(� )� (� )�
0 0 2,000 0,894 0,447 -72,4 -24,1 0
9
182 dx 9
0
3,0 5,0 1,333 0,800 0,600 -75,6 -10,8 -108
=� 0 �� N =�-�H =�-�54 kN
��Px
Ma� � 0
6,0 8,0 0,667 0,555 0,832 -74,9 15,0 -108
a� ��P =� 0 �� T =� RA =� 54 kN
y N 0 y
a�
9,0 9,0 0,000 0,000 1,000 -54,0 54,0 0
T 0 Na� =�-�54cosf� -� 54sinf�
H=54 kN
12,0 8,0 -0,667 -0,555 0,832 -64,9 0,0 -54
x
Ta� =� 54cosf� -� 54sinf�
RA=54 kN 15,0 5,0 -1,333 -0,800 0,600 -61,2 21,6 0
Ma� =� RAx -� Hy =� 54x -� 54 y
P=90 kN
C
0 B
N =�-�H =�-�54 kN
P=90 kN
A
Mb� 0
b�
T =� RA -� P =� 54 -� 90 =� -�36 kN
y
Wykresy N, T, M
b� N 0
[kN]
N
61,2
Nb� =�-�54cosf� -� 36sinf�
72,4
T 0
H=54 kN
54
x
Tb� =�-�36cosf� -� 54sinf�
RA=54 kN
54
21,6
T [kN]
24,1 36
Mb� =� 54x -� 54 y -� 90�� x -� 9
(� )�
121,5
54
M [kN��m]
=�-�36x -� 54 y +� 810
Przykład
q
Wyznaczenie sił wewnętrznych łuku
Wykresy N, T, M
4 f
q q
C
a� y =� x l -� x
(� )�
ql
l2
RA =�
y
a� a� Ma� � 2
f
N0
HB y
HA A AB
B
ql2
a�
H =�
x
T0
8 f
H A
RA RB
2
ql l2 +�16 f
x ql2 N
l/2 l/2
8 f
RA 8 f
T
Wyznaczenie reakcji podporowych
M
lql
=� RAl -� ql =� 0 �� RA =�
��MB
22 1 ql 1 ql2 4 f
Ma� (x) =� RAx -� qx2 -� Hy =� x -� qx2 -� x l -� x =� 0
(� )�
lql
22 2 8 f
l2
=� RBl -� ql =� 0 �� RB =�
��M A
Moment zginający jest równy zeru w każdym punkcie łuku.
22
=� H -� HB =� 0 �� H =� HB =� H
��Px A A
Siłatnąca jest pochodną momentów zginających, a więc też w każdym
punkcie łuku jest równa zeru Ta� �(x)=0.
ll l 1 ql2
ć� ��
L
=� RA -� Hf -� q =� 0 �� H =�
��MC �� �� ql2 1 ql2 1
��sinf�
00
22 4 f 8
Ł� ł�
N =�-� , T =� ql -� qx, Na� =�-� cosf� -� ql -� qx
����
8 f 2 8 f 2
Ł�ł�
Kołowy łuk trójprzegubowy
A
UKI
Konstrukcja, w której występują jedynie ściskające siły normalne, jest w
Przykład
P
pewnym sensie konstrukcją idealną. W takim przypadku każdy punkt
przekroju poprzecznego pręta jest jedynie ściskany, co pozwala na bardziej
C
ekonomiczne wykorzystanie materiału. Tę cechę wykorzystywano już w
starożytności, wykonując łuki z klińców kamiennych.
r
f�
HA AB HB
O
RA RB
Wyznaczenie reakcji podporowych
P
=� RB ��2r -� P �� r =� 0 �� RB =�
��M A
2
Rzeczywiste konstrukcje obciążone są jednak w bardziej skomplikowany
P
=� RA ��2r -� P �� r =� 0 �� RA =�
��MB
sposób niż obciążenie równomierne (np. obciążenie wiatrem). Powoduje to
2
powstawanie momentów zginających i siły tnących. Jednakże, optymalna
P P
L
konstrukcja kształtu łuku prowadzi do zerowania się momentu zginającego =� �� r -� H �� r =� 0 �� H =� HB =�
��MCA A
22
od obciążenia ciężarem własnym, które zazwyczaj stanowi główne
obciążenie konstrukcji o dużej rozpiętości.
Kołowy łuk trójprzegubowy Kołowy łuk trójprzegubowy
W przypadku łuków kołowych wyrażenia określające siły wewnętrzne
Wzory na siły tnące i normalne dla łuku kołowego różnią się od analogicznych
wygodniej jest zapisać w funkcji kąta f�.
wyrażeń dla łuku parabolicznego z uwagi na inna definicje kąta f�.
p�
0 Ł� f� Ł�
Ma�
00 00
2
Na� =� N sinf� -� T cosf� Ta� =� N cosf� +� T sinf�
P
y
Ma� f� =� RA �� x -� H �� y =� �� r -� r ��cosf� +�
(� )� (�)�
r p� p�
A
P
2 0 Ł� f� Ł� Ł� f� Ł� p�
f�
HA=P/2
2 2
N0
f�
O
PP �� r
Na�
Ta�
RA=P/2
-� �� r ��sinf� =� 1-� cosf� -� sinf�
(�)�
22 T0
x r-x f�
T0 Na�
r
N0 Ta�
P/2
P/2
f� r
O
P/2
P
P/2
Ma�
O
p�
Ł� f� Ł� p�
PP
00
PP
2 00
N =�-� , T =�-�
N =�-� , T =�
y 22
f� 22
r
Ma� f� =� RA �� x -� H �� y -� P �� x -� r =�
(� )� (� )� P
P
HA=P/2 A
Na� f� =� -�sinf� +� cosf�
Na� f� =�-� sinf� +� cosf� (� )� (�)�
(� )� (�)�
O
2
2
RA=P/2 P �� r
=� 1-� cosf� -� sinf� +� P �� r ��cosf�
(�)�
P
P
r x-r 2
Ta� f� =�-� sinf� +� cosf�
Ta� f� =� sinf� -� cosf� (� )� (�)�
(� )� (�)�
2
2
Kołowy łuk trójprzegubowy
P
C
r
f�
P/2 AB
P/2
O
P/2 P/2
SANTIAGO
CALATRAVA
Wykresy N, T, M
P 3 P 3
P
3 -�1 3 -�1
(� )� (� )�
P
4 4
2
P
2
P
3 +�1
(� )�
3 +�1
(� )�
4
4
P
2
P P
P P
N T
M 2 2
[kN��m]
2 2
[kN] [kN]
Przykład q
LINIA CIŚNIENIA
C
Projektując układ konstrukcyjny według linii ciśnienia zakłada się, że
y
a�
LINIA CIŚNIENIA
znane jest obciążenie zewnętrzne i należy wyznaczyć równanie osi
ya� a�
f
układu w taki sposób, aby występowały w nim tylko siły normalne.
H H
AB
x
Moment zginający dla linii ciśnień jest w każdym punkcie układu równy zeru:
RA xa�
RB
M x =� [M (x)] -� H �� y =� 0
(� )�
a�
q
A xa�
B
[M ] =� RAxa� -� qxa�
[H]=0
Równanie linii ciśnienia y =� M ( x ) H
[� ]�
[RA]a� [RB] 2
l/2 l/2
Dla znalezienia linii ciśnienia dla danego obciążenia, potrzebna jest znajomość
xa�
momentu zginającego [M(x)] wyznaczonego dla odpowiedniej belki swobodnie
M =� RAxa� -� qxa� -� Hya� =� [M ] -� H �� ya�
podpartej.
2
MC =� [MC ] -� H �� f =� 0
Aby rozwiązanie było jednoznaczne należy znać położenie jeszcze jednego
punktu układu (oprócz danego położenia podpór).
Rozpór jest tym
Przyjmując przykładowo, że wysokość łuku w środku rozpiętości wynosi f,
MC
[� ]� ql2 większy im
otrzymuje się następujący dodatkowy warunek:
H =� =�
mniejsza jest
f 8 f
y(l 2) =� f
H =� M (l 2) f
[� ]�
strzałka łuku f.
Przykład Przykład
P
��M l / 2 ł� =�
(� )��� Pl
��
4
q [kN/m]
C
��M l 2 ł� =� ql2 16 Pl
(� )���
f
��
H =� M (l 2) f =�
[�]�
A B
4 f
C
1 ql2
f
P
H =� M (l 2) f =�
[�]�
l/2 l/2
A B
16 f M (x)
[� ]�x 2 f
2
A-C y x =�=� =� x
(� )�
Pl
H l
M (x)
l/2 l/2 [� ]� 8 f 8 f
y x =�=� x -� x3 P
(� )�
4 f
H 3 l 3
l3
2 f
C-B y x =� l -� x
(� )� (� )�
l/2 l/2 l
q [kN/m]
M
Linia ciśnień
l
Linia ciśnień
Pl/4
M
P
M (x) =� x
[� ]�
A-C
2
1 1 q
P
M (x) =� qlx -� x3
[� ]� C-B
M (x) =� l -� x
[� ]� (� )�
6 6 l
2