Rozwa amy równanie z funkcj niewiadom spełniaj c równanie Laplace'a
z warunkiem brzegowym typu Dirichleta
dla
gdzie jest dan funkcj ci gł , która mo e by przedstawiona w postaci sumy trygonometrycznego
szeregu Fouriera.
Szkic rozwi zania
Przykład obliczeniowy
Jedna z metod rozwi zania oparta jest na przedstawieniu niewiadomej funkcji harmonicznej w postaci
cz ci rzeczywistej pewnej funkcji holomorficznej w kole
gdzie
Z warunku brzegowego otrzymujemy, e dla musi zachodzi równo
dla
Z własno ci trygonometrycznych szeregów Fouriera wynika st d, e
dla
Przykład obliczeniowy file:///C:/TMP/mm/RRCz/Elipt/Harm_1/Przykla
Powrót
Rozwiązać zagadnienie Dirichleta dla
Rozwiązanie
Z podanych wzorów (patrz - szkic rozwiązania) wynika, że
zaś pozostałe współczynniki są równe zero.
W takim razie rozwiązanie zagadnienia wyraża się wzorem
Poniższe rysunki przedstawiają wykres rozwiązania oraz jego plan warstwicowy.
Na warstwicach jest zaznaczone odpowiadające im wychylenie, czyli wartość funkcji u.
Animacja - obrót powierzchni (331 kB)
Animacja przedstawia obrót rozwiązania dokoła osi Zgodnie z zasadą maksimum dla funkcji
harmonicznych, rozwiązanie nie osiąga w żadnym punkcie obszaru swego kresu górnego i dolnego -
kresy te są przyjmowane na brzegu obszaru.