Wykład 8, (21 XI 2011)
1. Twierdzenie de l Hospitala (zastosowanie pochodnych do obliczania granic).
2. Druga pochodna funkcji (związek z wypukłością i punktami przegięcia; f > 0 funkcja wypukła w dół, f < 0
funkcja wypukła w górę).
3. Badanie funkcji (dziedzina, granice na krańcach dziedziny, asymptoty ukośne, badanie pierwszej pochodnej: mo-
notoniczność, badanie drugiej pochodnej: wypukłość).
1
x
4. Szczegółowe badanie funkcji y = xe , x = 0.

5. Przybliżenia Taylora. Dla danej funkcji y = f(x) oraz dla ustalonego punktu dziedziny x0 " Df konstruujemy
wielomian ustalonego stopnia, który możliwie dobrze będzie przybliżał funkcję f w pobliżu x0. Dla stopnia zero
tym wielomianem jest stała i piszemy f(x) H" f(x0) dla x bliskich x0 (wystarcza ciągłość funkcji f). Dla stopnia
pierwszego tym wielomianem jest styczna, czyli f(x) H" f(x0) + f (x0)(x - x0) dla x H" x0 (wystarcza istnienie
pochodnej). Wielomian drugiego stopnia (parabolę) konstruujemy zakładając, że zarówno wielomian, jak i funkcja
mają mieć w x0 takie same wartości i takie same pochodne I i II rzędu. Prowadzi to do wzoru
1
f(x) H" f(x0) + f (x0)(x - x0) + f (x0)(x - x0)2 .
2
Potrzebna jest tutaj dwukrotna różniczkowalność funkcji. Dla stopnia n, wychodząc z analogicznych założeń otrzy-
mamy
1 1
f(x) H" f(x0) + f (x0)(x - x0) + f (x0)(x - x0)2 + . . . + f(n)(x0)(x - x0)n .
2 n!
Potrzebna jest tutaj n-krotna różniczkowalność funkcji. Oczywiście przybliżenie konstruujemy dla x bliskich x0.
Kolejne przybliżenia są z reguły coraz dokładniejsze.