Analiza portfelowa
Martyna Neumann (139819)
1 czerwca 2015
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Wstęp
Podejmując decyzję związaną z inwestycją, musimy posiadać
pewnÄ… wiedzÄ™ na temat ryzyka finansowego i oczekiwanej stopy
zwrotu badanego aktywa. Skoncentrujemy siÄ™ na instrumentach
finansowych o jak najwyższej stopie zwrotu. Należy jednak
pamiętać, że bardziej dochodowe papiery wartościowe objęte są
wysokim ryzykiem. Zagadnienie, którym się zajmiemy będzie
polegało na skonstruowaniu odpowiedniego portfela instrumentów
finansowych (papierów wartościowych). Będziemy chcieli ulokować
kapitał w ten sposób, aby utrzymać poziom ryzyka w racjonalnym
przedziale, nie rezygnujÄ…c z wysokiego zysku.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Teoria
Ryzyko
jest podstawowÄ… cechÄ… inwestycji, niezwykle trudnÄ… do
jednoznacznego zdefiniowania. W języku neutralnym oznacza
miarę/ocenę zagrożenia czy niebezpieczeństwa wynikającego albo z
prawdopodobnych zdarzeń od nas niezależnnych, albo z możliwych
konsekwencji podjęcia decyzji. Jedną z interpretacji ryzyka jest
traktowanie go jako zagrożenie, czego efektem jest szkoda lub
strata. Inna interpretacja jest taka, że z jednej strony jest to
zagrożenie, a z drugiej szansa. Najogólniej mówiąc ryzyko to
możliwość poniesienia strat.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Teoria
Inwestycja finansowa
jest to nakład gospodarczy na tworzenie lub zwiększenie majątku
trwałego; ciąg płatności znanych co do wielkości i momentów
występowania.
Rynek
jest to proces, w którym sprzedający i kupujący określają co i na
jakich warunkach chcą sprzedać lub kupić.
Aktywa
sÄ… to zasoby majÄ…tkowe kontrolowane przez jednostkÄ™ gospodarczÄ….
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Teoria
Optymalizacja
metoda wyznaczania najlepszego rozwiÄ…zania z punktu widzenia
jakiegoÅ› ustalonego kryterium.
Dywersyfikacja
podział portfela na kilka części w celu osiągnięcia większych
zysków i większej ochrony kapitału przed ryzykiem.
Portfel inwestycyjny
są to posiadane przez inwestora środki pieniężne i instrumenty
finansowe.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Teoria
Portfel papierów wartościowych
jest to zbiór instrumentów finansowych będących w posiadaniu
inwestora. Budowa i zarządzanie portfelem składa się z kilku
etapów:
określenie celu i warunków tworzenia portfela
ustalenie struktury portfela
określenie kryteriów wyznaczania portfela
wyznaczenie charakterystyk papierów wartościowych
ocena portfela
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Teoria
Stopa zwrotu portfela
jet to ważona średnia arytmetyczna z oczekiwanych stóp zwrotu
poszczególnych akcji, gdzie wagami są udziały wartości zakupu
akcji i-tej spółki w wartości zakupu całego portfela, co wyrażamy
następującym wzorem:
N

Rp = xi · Ri
i=1
gdzie:
Rp - stopa zwrotu portfela składającego się z N akcji
Ri - oczekiwana stopa zwrotu akcji i-tej spółki
N - liczba walorów w portfelu
xi - udział wartości akcji i-tej spółki w wartości portfela,
N
przy czym xi = 1 oraz xi 0 dla i = 1, 2, . . . , N
i=1
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Metody budowy portfela
Wybór odpowiedniego portfela jest niezwykle istotny. Służy do
tego analiza portfelowa. Na podstawie znanej wartości oczekiwanej
stopy zwrotu oraz ryzyka poszczególnych akcji możemy przejść do
konstrukcji optymalnego portfela. IstniejÄ… trzy podstawowe modele,
które pomagają znalez
ć taki portfel:
Model Markowitza
Model Sharpe a
Model CAMP
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Założenia modelu Sharpe a
wszyscy inwestorzy mają awersję do ryzyka i w dłuższym
horyzoncie czasowym maksymalizujÄ… swojÄ… stopÄ™ zwrotu
inwestorzy podejmujÄ… racjonalne decyzje oraz wybierajÄ…
sposoby pomnażania kapitału, dysponując informacjami o
oczekiwanej stopie zwrotu i o ryzyku, mierzonym odchyleniem
standardowym
wzrost aktywów inwestora jest oddzielony od podatków i
kosztów transakcji, które w analizach są równe zeru
wszystkie aktywa mogą być sprzedawane i kupowane bez
ograniczeń
brak barier wejścia i wyjścia dla kapitałów na rynku
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Założenia modelu Sharpe a
informacja na rynku jest jednakowo dostępna dla wszystkich
jego uczestników
w danym horyzoncie czasu wszyscy inwestorzy kierujÄ… siÄ™
takimi samymi zasadami odnośnie do oczekiwanej stopy
zwrotu, ryzyka i kowariancji; jedynÄ… podstawÄ… podejmowania
decyzji przez inwestorów jest stopa zwrotu i ryzyko
transakcje pojedynczego inwestora nie mogą mieć wpływu na
cenÄ™ instrumentu finansowego
na rynku istnieją nieograniczone możliwości udzielania i
zaciągnięcia kredytu przy stopie zwrotu wolnej od ryzyka
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Zalety modelu Sharpe a
+ pozwala na oszacowanie ryzyka dla danego aktywa
+ prostota obliczeń
+ mniejsza niż w przypadku modelu Markowitza liczba obliczeń
+ pozwala na określenie podstawowych parametrów walorów
wchodzących w skład portfela
+ pozwala na dokonanie dekompozycji ryzyka całkowitego na
ryzyko rynkowe i specyficzne zarówno w odniesieniu do
poszczególnych aktywów, jak i do całego portfela
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Definicje
Stopa zwrotu akcji i-tej spółki
Ri = Ä…i + ²i · Rm + µi
gdzie
Ri - stopa zwrotu i-tej spółki
Rm - stopa zwrotu indeksu giełdowego
ąi - składnik stopy zwrotu z akcji spółki i (niezależny od
sytuacji na rynku)
²i - staÅ‚a, która mierzy oczekiwanÄ… zmianÄ™ Ri przy danej
zmianie Rm
µi - skÅ‚adnik losowy równania
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Definicje
Współczynnik agresywności akcji
Omawiany model jest zatem równaniem regresji, wyznaczającym
linię charakterystyczną papieru wartościowego. W powyższym
wzorze najistotniejszym parametrem jest parametr ²i, nazywany
współczynnikiem agresywności akcji (bądz
zwyczajnie
współczynnikiem beta). Wskazuje on, o ile procent średnio stopa
zwrotu z danej akcji wzrośnie (spadnie), jeśli stopa zwrotu
wskaz
nika rynku wzrośnie o jeden procent.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Definicje
Charakterystyki akcji badanej spółki na podstawie współczynnika
beta wyglądają następująco:
jeżeli ² < 0, to stopa zwrotu z akcji reaguje na zmiany
przeciwnie do zachowań rynku.
jeżeli ² = 0, to stopa zwrotu akcji nie reaguje na zmiany rynku
jeżeli 0 < ² < 1, to stopa zwrotu akcji w maÅ‚ym stopniu
reaguje na zmienność rynku (akcja defensywna)
jeżeli ² = 1, to stopa zwrotu akcji zmienia siÄ™ w takim samym
stopniu, jak stopa zwrotu indeksu giełdowego (portfel
rynkowy)
jeżeli ² > 1, to stopa zwrotu akcji silnie reaguje na zmiany
zachodzÄ…ce na rynku (akcja agresywna)
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Definicje
Postać modelu po estymacji
Do oszacowania linii charakterystycznej akcji wykorzystuje siÄ™
metodę najmniejszych kwadratów i po estymacji parametrów
równania otrzymuje się:
Ć Ć
Ri = Ä…i + ²i · Rm
Ć
gdzie
Ć
Ri - wartość teoretyczna stopy zwrotu akcji i-tej spółki
Ć
Ä…i, ²i - parametry modelu MNK na podstawie T -okresowej
Ć
próby, zawierającej obserwacje z przeszłości (t = 1, 2, . . . , T )
dotyczące stóp zwrotu z akcji i-tej spółki Ri = [Rit] oraz
indeksu rynku Rm = [Rmt], gdzie Rit, Rmt to stopy zwrotu
wyznaczone na podstawie obserwacji notowań odpowiednio
akcji i-tej spółki oraz indeksu rynku dla każdego
t = 1, 2, . . . , T
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Definicje
Wariancja akcji i-tej spółki
2 2
Ć
Si2 = ²i2 · Sm + Sei (1)
gdzie
Si2 - wariancja akcji i-tej spółki (ryzyko całkowite akcji)
2
Sm - wariancja wskaz
nika rynku (indeksu giełdowego)
2
Sei - wariancja składnika losowego akcji i-tej spółki (wariancja
resztowa modelu)
Ć
²i2 - kwadrat oszacowanego współczynnika beta akcji i-tej
spółki
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Definicje
Wariancja indeksu giełdowego
T
(Rmt - Rm)2
2 t=1
Sm =
T - 1
gdzie
2
Sm - wariancja wskaz
nika rynku
Rmt - stopa zwrotu wyznaczona na podstawie obserwacji
notowań indeksu rynku dla każdego t = 1, 2, . . . , T
T - liczba wszystkich badanych stóp zwrotu
T
Rmt
t=1
Rm - średnia stopa zwrotu indeksu rynku, czyli Rm =
T
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Definicje
Wariancja składnika losowego i-tej akcji
T
Ć
(Rit - Ä…i - ²i · Rmt)2
Ć
2 t=1
Sei =
T - 1
gdzie
2
Sei - wariancja składnika losowego akcji i-tej spółki
Rit - stopa zwrotu wyznaczona na podstawie obserwacji
notowań akcji i-tej spółki
Rmt - stopa zwrotu wyznaczona na podstawie obserwacji
notowań indeksu rynku dla każdego t = 1, 2, . . . , T
T - liczba wszystkich badanych stóp zwrotu
Ć
Ä…i, ²i - parametry modelu MNK na podstawie T -okresowej
Ć
próby, zawierającej obserwacje z przeszłości (t = 1, 2, . . . , T )
dotyczące stóp zwrotu z akcji i-tej spółki Ri = [Rit] oraz
indeksu rynku Rm = [Rmt]
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Definicje
Dokładniej rozpisując poszczególne składowe wzoru (1) otrzymamy
następujące wzory na:

Ć 2
ryzyko rynku: ²i2 · Sm

2
ryzyko specyficzne: Sei
2
Ć
²i2·Sm
udział ryzyka rynku w ryzyku całkowitym:
Ć 2 2
²i2·Sm+Sei
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Definicje
Współczynnik korelacji między akcjami
2
Ć Ć
²i · ²j · Sm
rij =
Si · Sj
gdzie
rij - współczynnik korelacji pomiędzy stopmi zwrotu z akcji
i-tej i j-tej spółki
2
Sm - wariancja indeksu giełdowego
Si, Sj - odchylania standardowe od stopy zwrotu i-tej i j-tej
akcji
Ć Ć
²i, ²j - współczynnik beta akcji odpowiednio i-tej i j-tej spółki
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Definicje
Wartość współczynnika beta dla rozpatrywanej akcji, przy
założeniu, że mamy daną wartość współczynnika korelacji
pomiędzy stopą zwrotu akcji i stopą zwrotu indeksu rynku oraz
odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji i stopy zwrotu indeksu:
Si
Ć
²i = rim ·
Sm
gdzie
rim - współczynnik korelacji stopy zwrotu akcji i-tej spółki ze
stopÄ… zwrotu portfela rynkowego
Sm - odchylenie standardowe stopy zwrotu indeksu giełdowego
Si - odchylanie standardowe od stopy zwrotu i-tej akcji
Ć Ć
²i, ²j - współczynnik beta akcji i-tej spółki
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Definicje
Po głębszym zastanowieniu oraz rozpisaniu odpowiednich wzorów
dostajemy ostateczny wzór na wariancję portfela akcji:
N

2 2
Ć2 2
Sp = ²p · Sm + xi2 · Sei
i=1
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Implementacja w SAS
Dane
Dane do analizy zostały pobrane z archiwum notowań Giełdy
Papierów Wartościowych. Są to dane dziennie z okresu 03.02.2014
- 30.12.2014r. Będziemy zajmowali się stopami zwrotu
następujących spółek: CCC, LPP, PKO, PZU oraz TVN. Z racji
tego, że podstawą modelu Sharpe a jest założenie o zależności stóp
zwrotu od działania czynnika rynku, który opisywany jest przez
indeks giełdowy, wzięliśmy też pod uwagę notowania indeksu WIG.
Na ogół przyjmuje się, że to właśnie on najlepiej odzwierciedla
zmiany zachodzÄ…ce na rynku. Na podstawie zebranych danych,
stopy zwortu obliczyliśmy z następującego wzoru:
Wz - Wo
L = · 100%
Wo
gdzie Wo oznacza wartość kursu na otwarcie, natomiast Wz
wartość kursu na zamknięcie.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Implementacja w SAS
Procedury
proc corr - wyznaczenie podstawowych statystyk oraz macierzy
kowariancji i korelacji
proc reg - wyestymowanie parametrów modelu oraz wyznaczenie
współczynnika R2
proc iml - działania na macierzach
proc optmodel - wyznaczenie wag akcji dla poszczególnych
portfeli
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład
Skonstruowano portfel składający się z akcji następujących spółek:
CCC, LPP, PKO, PZU oraz TVN.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - podstawowe statystyki
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - linie charakterystyczne akcji
Następnie wyznaczono linie charakterystyczne akcji poszczególnych
spółek oraz współczynnik R2 dla każdej z nich.
Zatem linia charakterystyczna dla CCC wygląda następująco:
Ć
RCCC = -0, 06339 + 0, 93482 · Rm
Natomiast współczynnik R2 = 0, 1390
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - linie charakterystyczne akcji
Analogicznie dla pozostałych spółek:
Ć
RLPP = -0, 14601 + 1, 42744 · Rm R2 = 0, 2084
Ć
RPKO = -0, 08731 + 1, 19160 · Rm R2 = 0, 4692
Ć
RPZU = 0, 06824 + 1, 08166 · Rm R2 = 0, 3896
Ć
RTVN = 0, 17940 + 1, 06078 · Rm R2 = 0, 1595
gdzie
Rm - oczekiwana stopa zwrotu imdeksu WIG
Ć Ć Ć Ć Ć
RCCC , RLPP, RPKO, RPZU, RTVN - wartości teoretyczne stóp
zwrotu akcji poszczególnych spółek
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - stopa zwrotu i oceny parametrów
Po podstawieniu do powyższych równań stopy zwrotu indeksu
WIG, wyznaczonej zgodnie ze wzorem ze slajdu 17 otrzymamy:
Zauważmy, że powyższe stopy zwrotu wyznaczone na podstawie
modleu Sharpe a sÄ… niemal identyczne jak jak te wyznaczone 3
slajdy wcześniej przy pomocy odpowiedniej procedury w programie
SAS. Parametr ² dla spółek LPP, PKO, PZU, TVN przyjmuje
wartość większą niż 1, czyli stopa zwrotu z akcji silnie reaguje na
zmiany zachodzące na rynku. Natomiast dla spółki CCC ma on
wartość między 0 a 1, stąd stopa zwortu akcji w małym stopniu
reaguje na zmienność rynku.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - ryzyko akcji na podstawie modelu Sharpe a
Oszacowanie ryzyka poszczególnych walorów oraz dekompozycja
WyznaczajÄ…c odpowiednio wariancje resztowe, wariancjÄ™ stopy
zwrotu indeksu giełdowego, ryzyko rynku, wariancję dla akcji i-tej
spółki, ryzyko całkowite oraz udział ryzyka rynku w ryzyku
ogółem, dostajemy następujące rezultaty:
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - wnioski
Poziom ryzyka rynku dla spółek PKO i PZU niewiele różni się
od ryzyka specyficznego, natomiast dla pozostałych spółek
ryzyko dywersyfikowalne jest znacznie wyższe.
Największy udział ryzyka rynku w ryzyku ogółem mają akcje
spółki PKO, jednak jest to niespełna 47%. Dla pozostałych
spółek udział ten jest znikomy, co wskazuje na niewielką
zależność ryzyka od rynku. Oznacza to, że pod względem
ryzyka badane akcje na warszawskiej Giełdzie Papierów
Wartościowych nie zachowują się jednolicie, zatem nie
zachowują się w pełni zgodnie z kształtowaniem się kursu
indeksu WIG.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - budowa portfeli
MajÄ…c oszacowane parametry strukturalne linii charakterystycznej
poszczególnych akcji oraz stopę zwrotu indeksu rynku,
przystÄ…piono do budowy portfela. Skonstruowano cztery portfele:
A - o jednakowych udziałach poszczególnych spółek
B - o minimalnym ryzyku
C - o minimalnym ryzyku, przy zadanym poziomie
oczekiwanej stopy zwrotu
D - opłacalny w sensie Markowitza
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - budowa portfeli
Portfel A
Akcje każdej ze spółek stanowią w tym portfelu 20%.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - budowa portfeli
Portfel B
Portfel C
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - budowa portfeli
Portfel D
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - oceny parametrów i dzienna stopa zwrotu
Mając obliczone udziały akcji poszczególnych spółek w portfelu,
Ć
możemy obliczyć Ä…p, ²p oraz dziennÄ… stopÄ™ zwrotu z portfela, czyli
Ć
Ć
Rp. Dla portfela A wygląda to następująco:
Ä…p = 0, 2·(-0, 06339-0, 14601-0, 08731+0, 06824+0, 17940) =
Ć
= -0, 00981
Ć
²p = 0, 2 · (0, 93482 + 1, 42744 + 1, 19160 + 1, 08166 + 1, 06078) =
= 1, 13926
Ć Ć
Rp = Ä…p + ²p · Rm = -0, 03652
Ć
Dla pozostałych portfeli powyższe wartości parametrów
wyznaczamy analogicznie.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - oceny parametrów i dzienna stopa zwrotu
Oszacowania parametrów strukturalnych oraz stopy zwrotu portfeli
zamieszczono w tabeli:
Ć
Interpretacja jest nastÄ™pujÄ…ca: wartość ²p dla każdego z portfeli
jest większa od 1, stąd stopa zwrotu portfela silnie reaguje na
zmiany zachodzÄ…ce na rynku.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - ryzyko portfela i jego dekompozycja
Oszacowanie ryzyka poszczególnych portfeli oraz dekompozycja
WyznaczajÄ…c odpowiednio wariancje resztowe portfeli, wariancjÄ™
stopy zwrotu indeksu giełdowego, ryzyko rynku, wariancję
całkowitą portfeli, ryzyko całkowite portfeli oraz udział ryzyka
rynku w ryzyku całkowitym, dostajemy następujące rezultaty:
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Przykład - wnioski
Przy budowie portfeli znacznie zmalało ryzyko specyficzne w
stosunku do ryzyka specyficznego poszczególnych akcji.
Ryzyko rynku dla portfeli kształtuje się na podobnym
poziomie co ryzyko rynku poszczególnych akcji.
portfel A o równo rozdzielonych udziałach ma najmniejszą
stopÄ™ stopÄ™ zwrotu
porównując portfele B i D, dochodzimy do wniosku, że
bardziej opłacalnym z nich jest portfel D, ze względu na
wyższą stopę zwrotu
portfel C o minimalnym ryzyku, przy ustalonym poziomie
oczekiwanej stopy zwrotu zapewnia najwyższa stopę zwrotu i
tym samym jest najbardziej opłacalny
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
Podsumowanie
Stopy zwrotu dla poszczególnych spółek
Stopy zwrotu dla poszczególnych portfeli
Wnioski
Najbardziej opłacalną decyzją będzie inwestycja w akcje spółki
TVN, ze względu na najwyższą wartość stopy zwrotu.
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy
KONIEC
Martyna Neumann (139819) Teoria prognozy