STATYSTYKA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
MIARY POA
OŻENIA
Åšrednia (arytmetyczna)
k
n
f x
xi
" j j
"
k
f
j=1 j
i=1
x = x = x = x ; wj =
"wj j
k k
n
j=1
f f
" j " j
j=1 j=1
k - liczba klas
fi - liczebność klasy
wi  waga klasy
Wartość środkowa (mediana)
xn + xn
+1
~ 2 2
x = xn+1 lub ~ =
x
2
2
Szeregi rozdzielcze (zmienna losowa skokowa)
Mediana
n
- fk
~ 2
x = xm + d
fm
Modalna (dominanta)
o
f - f
m m-1
x = xm + d
( f - f ) + ( f - f )
m m-1 m m+1
xm - dolna granica przedziału mediany (modalnej)
fm - liczebność przedziału mediany (modalnej)
fk - liczebność sumaryczna klas poprzedzających przedział mediany
d - szerokość przedziałów klas
MIARY ASYMETRII
~ o
W szeregach symetrycznych
x = x = x
o
Wskaz
nik skośności: - x
x
Współczynnik skośności
- o
x - x
A =
s
S
S  wariancja próby
Współczynnik asymetrii
n
_
1
3
( x - x )
" i
m
n
3 i = 1
A = =
3 3
S S
_
Uwaga.: w przypadku szeregów rozdzielczych sumujemy iloczyny fi (xi  x )3
MIARY KONCENTRACJI
Współczynnik skupienia (wokół średniej)  kurtoza
_
n
1
4
( x - x )
"
i
m
n
4 i = 1
K = =
4 4
S S
Dla rozkładu normalnego K=3, w rozkładach spłaszczonych K<3, a w smukłych K>3.
Uwaga: czasami kurtozę określa się jako K = K 3. Patrz też uwaga przy obl. wsp. A
ANALIZA WARIANCJI (miary rozproszenia)
Wariancja próby - zmienna losowa ciągła
2
n n
n
ëÅ‚ öÅ‚
n xi2 - ìÅ‚ ÷Å‚
- x)2
" "xi
"(xi
i=1 íÅ‚ i=1 Å‚Å‚
2 i=1
S = =
n -1 n(n -1)
n - liczebność próby
Wariancja dla zmiennej skokowej
2
k k
k
ëÅ‚ öÅ‚
n f x2 - ìÅ‚ ÷Å‚
f x
f (x - x)2
" j j " j j
" j j
ìÅ‚ ÷Å‚
j=1 j=1
j=1
2 íÅ‚ Å‚Å‚
S = =
n -1 n(n -1)
k - liczba klas
fj - liczebność klasy j
Odchylenie standardowe próby
n
- x)2
"(xi
2 i-1
S = S =
n -1
Odchylenie standardowe średniej
n
- x)2
"(xi
S
i-1
Sx = =
n(n -1)
n
Rozstęp
R = xmax - xmin
Współczynnik zmienności
S
v = 100 %
_
x
PROPAGACJA BA

DU (przenoszenie błędu)
Dla funkcji u = u(x1,x2,...xn) w której zmienne x1... xn znane są z błędami "x1,
"x2,... "xn błąd maksymalny funkcji u wynosi:
n
" u
" u = " x
"
i
" x
i = 1
i
Błąd maksymalny względny (procentowy)
n
"u " u
´ u = 100 % = " x Å" 100 %
"
i
u u " x
i = 1
i
Lepsze oszacowanie błędu funkcji u
2
n
ëÅ‚ " u öÅ‚
2
" u = ìÅ‚ ÷Å‚ ( " x )
"
i
ìÅ‚ ÷Å‚
" x
i = 1
íÅ‚ i Å‚Å‚
Pochodne czÄ…stkowe du/dxi oblicza siÄ™ dla wszystkich zmiennych obarczonych
błędem ("xi), natomiast pomija się pochodne stałych oraz zmiennych znanych
dokładnie (bezbłędnie).
REGUA
Y ZAOKR
GLANIA WYNIKÓW
Większość rezultatów obliczeń należy zaokrąglić, stosownie do wynikającej z
analizy problemu liczby cyfr znaczÄ…cych. Liczba cyfr znaczÄ…cych w zaokrÄ…glonym
wyniku, uzależniona jest od wartości błędu pomiarowego wielkości mierzonych i w
efekcie od błędu wielkości obliczanej.
Procedurę zaczyna się od wartości błędu, który powinien być wyrażony za
pomocą dwu cyfr znaczących i zaokrąglony zawsze w górę. Wielkość, której błąd
dotyczy powinna mieć tan sam format liczbowy (tyle samo cyfr po przecinku, co
zaokrąglony błąd). Po zidentyfikowaniu w wyniku cyfry podlegającej zaokrągleniu
(miejsce drugiej cyfry zaokrąglonego błędu) dalej postępuje się następująco:
ijeśli następna na prawo cyfra (ulegająca zaokrągleniu) wynosi 0, 1, 2, 3 lub 4,
wówczas cała reszta liczby ulega obcięciu.
ii jeśli następna na prawo cyfra wynosi 6, 7, 8 lub 9, wówczas wynik (cyfrę znacząca)
zaokrągla się w górę, czyli dodaje się do wyniku niezbędny ułamek.
iii jeśli część zaokrąglona liczby wynosi dokładnie 5, wtedy poprzednia cyfra musi być
zaokrąglona do parzystej, a więc czasami w górę, a niekiedy w dół.
iiii wartość liczby obciętą (przy zaokrągleniu w dół) lub dodaną (przy zaokrąglaniu w
górę) należy dodać do błędu, a wynik tego dodawania zaokrąglić - oczywiście w
górę.
PRZYKA
AD I
Przyjmijmy, iż z rachunków wynika, że obliczana wielkość z wynosi 458,27331 , a
analiza błędu pokazuje, iż wynosi on 4,212. Oznacza to, że błąd będzie wyrażony za
pomocą dwu cyfr , czyli jednego miejsca po przecinku. Tak też musi być
przedstawiona, po zaokrągleniu, wartość z. Wynosi ona więc 458,3  ma miejsce
zaokrąglenie w górę , co algebraicznie oznacza, iż do wyniku 458,27331 dodaliśmy
0,02669. Ten dodatek powiększa błąd do wartości 4,212 + 0.02669 = 4,23869 , a po
zaokrągleniu (zawsze w górę) otrzymujemy błąd maksymalny 4,3. Finalnie wielkość z
wraz z błędem zapisujemy następująco:
z = 458,3 = Ä…4,3
PRZYKA
AD II
Wielkość wyznaczona wynosi v = 0,009281321 , a błąd tej wielkości 0,0004401 ;
oznacza to, że wielkość v będzie zaokrąglana na piątym miejscu po przecinku (dwie
cyfry znaczące w wartości błędu). Wielkość v ulega tym razem obcięciu i równa się
0.00928, a część obcięta (0,000001321) zostaje dodana do błędu, który wzrasta do
wartości 0,0004401+0,000001321= 0,000441421 , a po zaokrągleniu ma wartość
0,00045. W końcu wielkość v wraz z błędem wynosi:
v = 0,00928Ä…0,00045
PRZYKA
AD III (zagadka)
Zaokrąglić poprawnie wielkość: w = 8162219 ą 9133