SPRAWDZIAN z ćwiczeń NR 1  TSiP  29.03.2012  GRUPA A
Zadanie 1: Dla zagadnienia klina tarczowego, jak na rysunku,
podano funkcjÄ™ naprężeÅ„ Airy ego, w postaci: F r,Õ = r Å"Õ Å"sinÕ .
( )
x2
×g
r
Õ
x1 r,Õ  współrzÄ™dne
biegunowe
2Ä…
2Ä…  kÄ…t
wierzchołkowy
1) Udowodnić, że podana powyżej funkcja naprężeÅ„ F r,Õ speÅ‚nia
( )
równania konstytutywne zaproponowane przez Hooke a.
2) Dane jest równanie biharmoniczne w układzie biegunowym:
"2F r,Õ = F r,Õ + r-1 Å" F r,Õ + r-2 Å" F r,Õ .
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
,rr ,r ,ÕÕ
ÃrÕ
Na jego podstawie obliczyć składową stanu naprężeń .
3) Udowodnić, że skÅ‚adowa stanu naprężenia ÃÕÕ dla zagadnienia
zapisanego powyżej jest składową tensora naprężeń głównych.
4) ZakÅ‚adajÄ…c, że 2Ä… = 180° oraz że PA Ä„" do osi symetrii naszkicować
wykres naprężeÅ„ Ãrr i podać jego ekstremalne wartoÅ›ci.
Zadanie 2: Dla zagadnienia elementu tarczowego (PSN) w układzie
ortokartezjańskim odnalez
ć stałe funkcji naprężeń Airy ego (A,B,C)
dla poniższego oddziaływania:
rozciąganie osiowe wzdłuż osi x1, o wartości 30MPa
Dane:
22
Funkcja naprężeÅ„ Airy ego: F x1, x2 = AÅ" x1 + B Å" x1x2 + C Å" x2 .
( )
"2F "2F "2F
SkÅ‚adowe stanu naprężenia: Ã11 = , Ã22 = oraz Ã12 = -
2 2
"x2 "x1 "x1"x2
SPRAWDZIAN z ćwiczeń NR 1  TSiP  29.03.2012  GRUPA B
Zadanie 1: Dla zagadnienia klina tarczowego, jak na rysunku,
podano funkcjÄ™ naprężeÅ„ Airy ego, w postaci: F r,Õ = r Å"Õ Å"cosÕ .
( )
x2
×g
r
Õ
x1 r,Õ  współrzÄ™dne
biegunowe
2Ä…
2Ä…  kÄ…t
wierzchołkowy
1) Udowodnić, że podana powyżej funkcja naprężeÅ„ F r,Õ speÅ‚nia
( )
równania nierozdzielności odkształceń zagadnienia 2-wymiarowego.
2) Dane jest równanie biharmoniczne w układzie biegunowym:
"2F r,Õ = F r,Õ + r-1 Å" F r,Õ + r-2 Å" F r,Õ .
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
,rr ,r ,ÕÕ
ÃÕr
Na jego podstawie obliczyć składową stanu naprężeń .
3) Udowodnić, że skÅ‚adowa stanu naprężenia Ãrr dla zagadnienia
zapisanego powyżej jest składową tensora naprężeń głównych.
4) ZakÅ‚adajÄ…c, że 2Ä… = 180° oraz że PA || do osi symetrii naszkicować
wykres naprężeÅ„ Ãrr i podać jego ekstremalne wartoÅ›ci.
Zadanie 2: Dla zagadnienia elementu tarczowego (PSN) w układzie
ortokartezjańskim odnalez
ć stałe funkcji naprężeń Airy ego (A,B,C)
dla poniższego oddziaływania:
równomierne ścinanie w płaszcz. Ox1x2, o wartości 15MPa
Dane:
22
Funkcja naprężeÅ„ Airy ego: F x1, x2 = AÅ" x1 + B Å" x1x2 + C Å" x2 .
( )
"2F "2F "2F
SkÅ‚adowe stanu naprężenia: Ã11 = , Ã22 = oraz Ã12 = -
2 2
"x2 "x1 "x1"x2
SPRAWDZIAN z ćwiczeń NR 2  TSiP  17.05.2012  GRUPA A
Zadanie 1: Obliczyć stosunek sztywności belki o szerokości b = 1m
do sztywności równoważnego pasma płytowego, wiedząc że:
-1
îÅ‚12Å" 2
D = E Å" h3 Å" 1-½
( )Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
Uwaga: Założyć, iż drugi kierunek płyty nie włącza się do współpracy!
Zadanie 2: Dla zagadnienia płyty prostokątnej, jak na rysunku,
podano r. różniczkowe ugiÄ™cia w postaci: w,1111 + 2Å"w,1212 + w,2222 = q x1, x2 / D
( )
a
x1
E,½ , h
b
x2
1) Podać zestaw warunków brzegowych dla podanej płyty prostokątnej
o stosunku boków a/b = 2/1.
2) Dla jakiego stosunku dł. boków płyty obliczenia praktyczne płyty
można zastąpić obliczeniem pasma płytowego (dla q = const )?
Zadanie 3: Dla zagadnienia płyty kwadratowej, swobodniej podpartej
na każdej krawędzi, obciążonej równomiernie na całej jej powierzchni:
1) Wiedząc, że maksymalne momenty zginające w tejże płycie na
2
kierunku x1 sÄ… równe: max M11 = 1+½ Å" q0 Å" a2 / 4Ä„
( )
( )
obliczyć maksymalne momenty zginające w kierunku prostopadłym x2
Momenty: M11 = -D Å" w,11 +½ Å" w,22 , M22 = -D Å" w,22 +½ Å" w,11
( ) ( )
oraz M12 = -D Å" 1-½ Å" w12
( )
2) Zdefiniować naturę każdego z powyższych momentów (zginający,
skręcający). Czy w powyższej płycie występuje moment M12 ?
Jeśli tak  to w jakich miejscach płyty osiąga wartości minimalne?
SPRAWDZIAN z ćwiczeń NR 2  TSiP  17.05.2012  GRUPA B
Zadanie 1: Obliczyć stosunek sztywności belki o szerokości b = 1m
do sztywności równoważnego pasma płytowego, wiedząc że:
-1
îÅ‚12Å" 2
D = E Å" h3 Å" 1-½
( )Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
Uwaga: Założyć, iż drugi kierunek płyty włącza się do współpracy!
Zadanie 2: Dla zagadnienia płyty prostokątnej, jak na rysunku,
podano r. różniczkowe ugiÄ™cia w postaci: w,1111 + 2Å"w,1212 + w,2222 = q x1, x2 / D
( )
a
x1
E,½ , h
b
x2
1) Podać zestaw warunków brzegowych dla podanej płyty prostokątnej
o stosunku boków a/b = 5/3.
2) Dla jakiego stosunku dł. boków płyty obliczenia praktyczne płyty
można zastąpić obliczeniem pasma płytowego (dla q = const )?
Zadanie 3: Dla zagadnienia płyty kwadratowej, swobodniej podpartej
na każdej krawędzi, obciążonej równomiernie na całej jej powierzchni:
1) Wiedząc, że maksymalne momenty zginające w tejże płycie na
2
kierunku x2 sÄ… równe: max M22 = 1+½ Å" q0 Å" a2 / 4Ä„
( )
( )
obliczyć maksymalne momenty zginające w kierunku prostopadłym x1
Momenty: M11 = -D Å" w,11 +½ Å" w,22 , M22 = -D Å" w,22 +½ Å" w,11
( ) ( )
oraz M12 = -D Å" 1-½ Å" w12
( )
2) Zdefiniować naturę każdego z powyższych momentów (zginający,
skręcający). Czy w powyższej płycie występuje moment M12 ?
Jeśli tak  to w jakich miejscach płyty osiąga wartości maksymalne?
TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI
KOLOKWIUM NR 2, ROK AKAD. 2012/2013 " 18. 06. 2013r. KOLOKWIUM NR 2, ROK AKAD. 2012/2013 " 18. 06. 2013r.
PYTANIE 1: W przestrzennym układzie Oxyz PYTANIE 1: W przestrzennym układzie Oxyz
stan odkształcenia dany jest tensorem małych odkształceń: stan odkształcenia dany jest tensorem małych odkształceń:
6 1 3 6 1 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 ïÅ‚1
µ = 2 3śł Å"10-5 . µ = 2 3śł Å"10-5 .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
%ð %ð
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚3 3 1ûÅ‚ ðÅ‚3 3 1ûÅ‚
Obliczyć odkształcenie podłużne w kierunku prostej: Obliczyć odkształcenie podłużne w kierunku prostej:
x = 3 + 2t, y = 2 + 2t, z = 10 + t. x = 3 + 2t, y = 2 + 2t, z = 10 + t.
PYTANIE 2: W płaskim układzie Ox1x2 zinterpretować stan PYTANIE 2: W płaskim układzie Ox1x2 zinterpretować stan
2 2 2 2
naprężeń dany funkcją Airy: F(x1, x2 ) = x1 - x2 . naprężeń dany funkcją Airy: F(x1, x2 ) = x1 - x2 .
PYTANIE 3: Napisać warunki brzegowe pasma płytowego PYTANIE 3: Napisać warunki brzegowe pasma płytowego
nieskończonego w wymiarze x2, o szer. L w wymiarze x1, nieskończonego w wymiarze x2, o szer. L w wymiarze x1,
wspornikowego: lewostronnie utwierdzonego, o prawej wspornikowego: lewostronnie utwierdzonego, o prawej
krawędzi swobodnej, obciążona ciągłym liniowym momentem krawędzi swobodnej, obciążona ciągłym liniowym momentem
M0, obracającym się zgodnie z kier. ruchu wskazówek zegara. M0, obracającym się zgodnie z kier. ruchu wskazówek zegara.
Warunki brzegowe wyrazić przez pochodne funkcji w. Warunki brzegowe wyrazić przez pochodne funkcji w.
Dane: E, ½, h (grubość pÅ‚yty). Dane: E, ½, h (grubość pÅ‚yty).
TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI
KOLOKWIUM NR 2, ROK AKAD. 2012/2013 " 18. 06. 2013r. KOLOKWIUM NR 2, ROK AKAD. 2012/2013 " 18. 06. 2013r.
PYTANIE 1: W przestrzennym układzie Oxyz PYTANIE 1: W przestrzennym układzie Oxyz
stan odkształcenia dany jest tensorem małych odkształceń: stan odkształcenia dany jest tensorem małych odkształceń:
6 1 3 6 1 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 ïÅ‚1
µ = 2 3śł Å"10-5 . µ = 2 3śł Å"10-5 .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
%ð %ð
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚3 3 1ûÅ‚ ðÅ‚3 3 1ûÅ‚
Obliczyć odkształcenie podłużne w kierunku prostej: Obliczyć odkształcenie podłużne w kierunku prostej:
x = 3 + 2t, y = 2 + 2t, z = 10 + t. x = 3 + 2t, y = 2 + 2t, z = 10 + t.
PYTANIE 2: W płaskim układzie Ox1x2 zinterpretować stan PYTANIE 2: W płaskim układzie Ox1x2 zinterpretować stan
2 2 2 2
naprężeń dany funkcją Airy: F(x1, x2 ) = x1 - x2 . naprężeń dany funkcją Airy: F(x1, x2 ) = x1 - x2 .
PYTANIE 3: Napisać warunki brzegowe pasma płytowego PYTANIE 3: Napisać warunki brzegowe pasma płytowego
nieskończonego w wymiarze x2, o szer. L w wymiarze x1, nieskończonego w wymiarze x2, o szer. L w wymiarze x1,
wspornikowego: lewostronnie utwierdzonego, o prawej wspornikowego: lewostronnie utwierdzonego, o prawej
krawędzi swobodnej, obciążona ciągłym liniowym momentem krawędzi swobodnej, obciążona ciągłym liniowym momentem
M0, obracającym się zgodnie z kier. ruchu wskazówek zegara. M0, obracającym się zgodnie z kier. ruchu wskazówek zegara.
Warunki brzegowe wyrazić przez pochodne funkcji w. Warunki brzegowe wyrazić przez pochodne funkcji w.
Dane: E, ½, h (grubość pÅ‚yty). Dane: E, ½, h (grubość pÅ‚yty).
TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI
KOLOKWIUM NR 2, ROK AKAD. 2012/2013 " 18. 06. 2013r. KOLOKWIUM NR 2, ROK AKAD. 2012/2013 " 18. 06. 2013r.
PYTANIE 1: W przestrzennym układzie Oxyz PYTANIE 1: W przestrzennym układzie Oxyz
stan odkształcenia dany jest tensorem małych odkształceń: stan odkształcenia dany jest tensorem małych odkształceń:
6 1 3 6 1 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 ïÅ‚1
µ = 2 3śł Å"10-5 . µ = 2 3śł Å"10-5 .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
%ð %ð
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚3 3 1ûÅ‚ ðÅ‚3 3 1ûÅ‚
Obliczyć odkształcenie podłużne w kierunku prostej: Obliczyć odkształcenie podłużne w kierunku prostej:
x = 3 + 2t, y = 2 + 2t, z = 10 + t. x = 3 + 2t, y = 2 + 2t, z = 10 + t.
PYTANIE 2: W płaskim układzie Ox1x2 zinterpretować stan PYTANIE 2: W płaskim układzie Ox1x2 zinterpretować stan
2 2 2 2
naprężeń dany funkcją Airy: F(x1, x2 ) = x1 - x2 . naprężeń dany funkcją Airy: F(x1, x2 ) = x1 - x2 .
PYTANIE 3: Napisać warunki brzegowe pasma płytowego PYTANIE 3: Napisać warunki brzegowe pasma płytowego
nieskończonego w wymiarze x2, o szer. L w wymiarze x1, nieskończonego w wymiarze x2, o szer. L w wymiarze x1,
wspornikowego: lewostronnie utwierdzonego, o prawej wspornikowego: lewostronnie utwierdzonego, o prawej
krawędzi swobodnej, obciążona ciągłym liniowym momentem krawędzi swobodnej, obciążona ciągłym liniowym momentem
M0, obracającym się zgodnie z kier. ruchu wskazówek zegara. M0, obracającym się zgodnie z kier. ruchu wskazówek zegara.
Warunki brzegowe wyrazić przez pochodne funkcji w. Warunki brzegowe wyrazić przez pochodne funkcji w.
Dane: E, ½, h (grubość pÅ‚yty). Dane: E, ½, h (grubość pÅ‚yty).
TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI
KOLOKWIUM NR 2, ROK AKAD. 2012/2013 " 17. 06. 2013r. " KMBiM WILiÅš PG
GRUPA A
PYTANIE 1: Wyjaśnić następujące pojęcia: sprężystość, izotropia, warunek uplastycznienia.
PYTANIE 2: Wykazać słuszność następującego równania nierozdzielności:
"2µ21 "2µ23 "2µ22 "2µ13
+ = +
"x2"x3 "x2"x1 "x1"x3 "x2"x2
PYTANIE 3: Wyznaczyć naprężenia główne dla następującego tensora naprężenia:
10 5 10
îÅ‚Å‚Å‚
ïłśł
à = 5 10 5 MPa .
[ ]
ïłśł
%ð
ïłśł
ðÅ‚10 5 10ûÅ‚
PYTANIE 4: Dany jest tensor małych odkształceń:
2 1 0
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚1
µ = 2 0śł Å"10-4 .
ïłśł
%ð
ïłśł
ðÅ‚0 0 2ûÅ‚
Obliczyć odkształcenie podłużne w kierunku równo nachylonym do wszystkich osi układu współrzędnych.
PYTANIE 5: Dla zagadnienia elementu tarczowego (PSN) w układzie ortokartezjańskim odnalez
ć stałe funkcji
naprężeń Airy ego (A,B,C) dla stanu rozciągania osiowego wzdłuż osi x1, obciążeniem o wartości 30kPa.
22
Funkcja naprężeÅ„ Airy ego: F x1, x2 = AÅ" x1 + B Å" x1x2 + C Å" x2 .
( )
"2F "2F "2F
SkÅ‚adowe stanu naprężenia: Ã11 = , Ã22 = oraz Ã12 = - .
2 2
"x2 "x1 "x1"x2
PYTANIE 6: Wymienić występujące w cienkiej płycie sprężystej, w układzie kartezjańskim, siły wewnętrzne:
momenty i siły poprzeczne płytowe. Wykonać odpowiednią ilustrację dotyczącą tychże sił wewnętrznych.
PYTANIE 7: Podać warunki brzegowe krawędzi AB, CD i DA płyty, zilustrowanej na rys.1.
krawędz

x1
B C
swobodna
swobodne
podparcie
2l
A D
rys.1.
l
utwierdzenie
x2
PYTANIE 8: WyjaÅ›nić dlaczego w hipotezie Treski mamy Ä0 = 0,5Å"Ã0 ,
gdzie: Ä0 , Ã0  odpowiednio: graniczne naprężenia styczne i graniczne naprężenia normalne
PYTANIE 9: Narysować w PSN obszary bezpieczne, odpowiednio wg hipotez Treski i HMH, Ã0 = 20 MPa .
Zaznaczyć na otrzymanym rysunku stany:
6 0 14 6
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Ã(A) = MPa .
[ ] [ ]
ïÅ‚0 12śł MPa , Ã(B) = ïÅ‚
%ð%ð 6 10śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
10 0 10
îÅ‚Å‚Å‚
ïłśł
PYTANIE 10: Dany jest tensor naprężenia: Ã = 0 -20 0 MPa .
[ ]
ïłśł
%ð
ïłśł
ðÅ‚10 0 10ûÅ‚
Obliczyć indywidualny zapas bezpieczeÅ„stwa wedÅ‚ug hipotezy Treski, przy Ã0 = 60 MPa , zakÅ‚adajÄ…c przyrost
jedynie skÅ‚adowej Ã22 .
K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Kolokwium nr 2, rok akad. 2012/2013 " KMBiM WILiŚ PG
TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI
KOLOKWIUM NR 2, ROK AKAD. 2012/2013 " 17. 06. 2013r. " KMBiM WILiÅš PG
GRUPA B
PYTANIE 1: Wyjaśnić następujące pojęcia: tensor sprężystości, jednorodność, warunek uplastycznienia.
PYTANIE 2: Wykazać słuszność następującego równania nierozdzielności:
"2µ32 "2µ11 "2µ31 "2µ21
+= +
"x1"x1 "x3"x2 "x2"x1 "x3"x1
PYTANIE 3: Wyznaczyć naprężenia główne dla następującego tensora naprężenia:
0 10 0
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚10
à = 0 10śł MPa .
[ ]
ïłśł
%ð
ïłśł
0 10 0
ðÅ‚ûÅ‚
PYTANIE 4: Dany jest tensor małych odkształceń:
6 3 0
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚3
µ = 6 0śł Å"10-4 .
ïłśł
%ð
ïłśł
ðÅ‚0 0 6ûÅ‚
Obliczyć odkształcenie podłużne w kierunku równo nachylonym do wszystkich osi układu współrzędnych.
PYTANIE 5: Dla zagadnienia elementu tarczowego (PSN) w układzie ortokartezjańskim odnalez
ć stałe funkcji
naprężeń Airy ego (A,B,C) dla stanu ściskania osiowego wzdłuż osi x2, obciążeniem o wartości 30kPa.
22
Funkcja naprężeÅ„ Airy ego: F x1, x2 = AÅ" x1 + B Å" x1x2 + C Å" x2 .
( )
"2F "2F "2F
SkÅ‚adowe stanu naprężenia: Ã11 = , Ã22 = oraz Ã12 = - .
2 2
"x2 "x1 "x1"x2
PYTANIE 6: Wymienić występujące w cienkiej płycie sprężystej, w układzie kartezjańskim, siły wewnętrzne:
momenty i siły poprzeczne płytowe. Wykonać odpowiednią ilustrację dotyczącą tychże sił wewnętrznych.
PYTANIE 7: Podać warunki brzegowe krawędzi AB, CD i DA płyty, zilustrowanej na rys.1.
krawędz

x1
B C
swobodna
swobodne
podparcie
2l
A D
rys.1.
l
utwierdzenie
x2
PYTANIE 8: WyjaÅ›nić dlaczego w hipotezie Treski mamy Ä0 = 0,5Å"Ã0 ,
gdzie: Ä0 , Ã0  odpowiednio: graniczne naprężenia styczne i graniczne naprężenia normalne
PYTANIE 9: Narysować w PSN obszary bezpieczne, odpowiednio wg hipotez Treski i HMH, Ã0 = 20 MPa .
Zaznaczyć na otrzymanym rysunku stany:
4 0 16 8
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Ã(A) = MPa .
[ ] [ ]
ïÅ‚0 16śł MPa , Ã(B) = ïÅ‚
%ð%ð 8 2śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
20 0 20
îÅ‚Å‚Å‚
ïłśł
PYTANIE 10: Dany jest tensor naprężenia: Ã = 0 -10 0 MPa .
[ ]
ïłśł
%ð
ïłśł
ðÅ‚20 0 20ûÅ‚
Obliczyć indywidualny zapas bezpieczeÅ„stwa wedÅ‚ug hipotezy Treski, przy Ã0 = 80 MPa , zakÅ‚adajÄ…c przyrost
jedynie skÅ‚adowej Ã22 .
K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Kolokwium nr 2, rok akad. 2012/2013 " KMBiM WILiŚ PG