1. 10. 2007 r.
Matematyka I
Egzamin pisemny poprawkowy z analizy matematycznej
1. Obliczyć ca e
lk¸
"
e-2x cos x dx .
0
2. Funkcj¸ f(x) = sgn x , -Ä„ < x < Ä„ rozwin¸Ä‡ w szereg Fouriera, a nast¸
e a epnie
znalez
ć sum¸ szeregu
e
"

(-1)n
.
2n + 1
n=0
3. Wyznaczyć różniczk¸ zupe a funkcji f : R2 - R danej wzorem
e ln¸

-3 dla (x, y) = (0, -1)
xy+x
f(x, y) =
"
3y + dla (x, y) = (0, -1)

x2+y2+2y+1
w punkcie P (0, 0) i zbadać różniczkowalność tej funkcji w punkcie Q(0, -1).
4. Znalez
ć ekstrema funkcji
u = xy2z3 przy warunku x + y + z = 6, x > 0, y > 0, z > 0.
5 Zbadać zbieżność szeregu
"

n e-2nx ,
n=1
wyznaczyć jego sum¸ i sprawdzić, czy jego suma jest funkcj¸ ciag a w jego przedziale
e a ¸ l¸
zbieżności.
1
17. 09. 2007 r.
Matematyka I
Egzamin pisemny poprawkowy z analizy matematycznej
1. Obliczyć ca e
lk¸
"
1 + 2x
dx .
x2(1 + x)
1
2. Obliczyć d krzywej danej wzorem
lugość
"
"
y = x - x2 + arcsin x .
3. Wyznaczyć różniczk¸ zupe a funkcji f : R2 - R danej wzorem
e ln¸

6 dla (x, y) = (0, 2)
f(x, y) =
x3y-2x3
2x + 3y + dla (x, y) = (0, 2)

x4+y2-4y+4
w punkcie A(1, 2) i zbadać różniczkowalność tej funkcji w punkcie B(0, 2).
4. Znalez
ć ekstrema funkcji
u = xy2z3(1 - x - 2y - 3z), x > 0, y > 0, z > 0.
5 Zbadać zbieżność szeregu
"

x2n+1
(-1)n ,
3n (2n + 1)
n=0
wyznaczyć jego sum¸ i sprawdzić, czy jego suma jest funkcja ciag a w przedziale
e ¸ ¸ l¸
(-R, R), gdzie R jest promieniem zbieżności tego szeregu.
2
25. 06. 2007 r.
Matematyka I
Egzamin pisemny z analizy matematycznej
1. Obliczyć d luku krzywej
lugość
t t
cos z sin z
x = dz , y = dz
z z
1 1
od pocz¸ uk wspó ednych do najbliższego punktu krzywej o stycznej pio-
atku ladu lrz¸
nowej.
2. Obliczyć ca e
lk¸
"
dx
" .
(x + x2 - x + 1)2
0
3. Funkcj¸
e

Ä„
x dla 0 < x d"
2
f(x) =
Ä„
0 dla < x < Ä„
2
rozwin¸Ä‡ w szereg sinusów w przedziale (0, Ä„).
a
Na podstawie tego rozwini¸ obliczyć sum¸ szeregu
ecia e
"

1
.
(2n - 1)2
n=1
4. Zbadać różniczkowalność funkcji

0 dla (x, y) = (0, 0),
f(x, y) =
x3
x + y + dla (x, y) = (0, 0)

x4+y2
w punkcie (0, 0).
5. Znalez
ć ekstrema funkcji
u = xyz przy warunku x + 2y + 3z = 6 .
3