Szczecin, 20-06-2007
Egzamin z matematyki
rok I, semestr II
Teoria
2 pkt. Zadanie I. Podać definicję iloczynu mieszanego trzech wektorów. Obliczyć objętość czworoś-
cianu o wierzchołkach A(1, 2, -3), B(3, 2, 0), C(1, 1, 1) i D(-1, 2, 0).
2 pkt. Zadanie II. Podać definicję różniczki funkcji dwóch zmiennych. Wykorzystując różniczkę funkcji
obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
(1.02)3 · (0.997)2

x = Ć(u, v)
Zadanie III. Podać definicję jakobianu przekształcenia T : . Korzystając z definicji
2 pkt.
y = È(u, v)
obliczyć jakobian przekształcenia

x = uv
T :
u
y =
v
2 pkt. Zadanie IV. Podać kryterium porównawcze zbieżności szeregów. Korzystając z tego kryterium
zbadać zbieżność szeregu liczbowego
"
"

n2 + 3n
"
5
n3 + 5n
n=1
2 pkt. Zadanie V. Podać definicję transformaty Laplace a. Korzystając z definicji oraz z własności
transformaty Laplace a obliczyć
"
sin t
dt
t
0
Zadania
1 pkt. Zadanie 1. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, -2, 1) i równoległej do
płaszczyzn Ą1 : x - 2y + 3z - 1 = 0, Ą2 : -x + 3y - z + 5 = 0.
2 pkt. Zadanie 2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
z = x2 + xy + y2 - 3 ln x - 3 ln y
3 pkt. Zadanie 3. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = x2 + y2, x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 2y, z = 0
6 pkt. Zadanie 4. Rozwiązać równania różniczkowe
a. y cos x - y sin x = y4 sin x
b. (1 + 3x2 sin y)dx - xctgydy = 0
c. y + y = sin 2x
3 pkt. Zadanie 5. Znalez
ć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę wewnątrz
tego przedziału.
"

xn+2
(n + 3)4n
n=0
2 pkt. Zadanie 6. Rozwinąć w szereg Fouriera względem sinusów funkcję
x
f(x) = 2 - , 0 < x < Ä„
Ä„
3 pkt. Zadanie 7. Korzystając z transformacji Laplace a rozwiązać równanie różniczkowe z warunkami
poczÄ…tkowymi
y - 6y + 11y - 6y = e4t y(0) = y (0) = y (0) = 0
1
3. L[1(t - t0)f(t - t0)] = e-t0sF (s)
I. L[1] =
s
n! 4. L[es0tf(t)] = F (s - s0)
II. L[tn] =
sn+1
5. L[f(n)(t)] = snF (s)-sn-1f(0+)-sn-2f (0+)-
1
III.L[eat] =
s-a
. . . - sf(n-2)(0+) - f(n-1)(0+)
1
IV.L[sin at] =
(n)
s2+a2
6. L[tnf(t)] = (-1)nF (s)
s

V. L[cos at] =
t
F (s)
s2+a2
7. L f(Ä)dÄ =
0 s
1. L[Ä…f(t) + ²f(t)] = Ä…F (s) + ²G(s)

f(t) "
8. L = F (p)dp
t s

1 s
2. L[f(Ä…t)] = F
Ä… Ä…