Szczecin, 17-09-2010
Egzamin z matematyki
rok I, semestr II
Teoria
2 pkt. Zadanie I. Podać definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów i jego trzy dowolne własności.
1
- -

Obliczyć kąt między wektorami u = (1, 2, -1), v = (1, 0, ).
2
2 pkt. Zadanie II. Podać definicję pochodnej cząstkowej pierwszego rzędu funkcji f względem y w
"f y
punkcie (x0, y0). Korzystając z definicji obliczyć pochodną (-1, 1), gdzie f(x, y) = .
"y x
2 pkt. Zadanie III. Podać definicję obszaru normalnego względem osi Oy. W podanej całce iterowanej
zmienić kolejność całkowania
Ą
3 sin x

dx f(x, y)dy
0 0
2 pkt. Zadanie IV. Podać ogólną postać równania różniczkowego jednorodnego względem x i y. Sto-
sując odpowiednie podstawienie sprowadzić je do równania o zmiennych rozdzielonych.
2 pkt. Zadanie V. Podać kryterium całkowe zbieżności szeregów. Korzystając z tego kryterium zbadać
zbieżność szeregu liczbowego
"

1
4 + n2
n=1
Zadania
2 pkt. Zadanie 1. Obliczyć długość łuku krzywej
"
1
y = (x - 3) x, gdzie x " [0, 1]
3
2 pkt. Zadanie 2. Znalez
ć rzut punktu A(1, 2, -3) na płaszczyznę  : 2x - 3y + 5z - 1 = 0
2 pkt. Zadanie 3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
z = x2 + xy + y2 - 3 ln x - 3 ln y
3 pkt. Zadanie 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = x2 + y2, x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 2y, z = 0
6 pkt. Zadanie 5. Rozwiązać równania różniczkowe
a. y(5) + 3y(3) - 4y = ex c. (1 + 3x2 sin y)dx - xctgydy = 0.
b. y + 4y + 4y = e-2xtg2x
3 pkt. Zadanie 6. Znalez
ć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę we-
wnątrz tego przedziału.
"

(n + 1)xn+2
2n
n=0
2 pkt. Zadanie 7. Rozwinąć w szereg Fouriera względem cosinusów funkcję
x
f(x) = 2 - , 0 < x < Ą
Ą


1
xą+1
8. dx = -ctgx + C
1. xądx = , ą = -1

ą+1
sin2 x

1 1 1 x
2. dx = ln |x| + C 9. dx = arctg + C
x
a2+x2 a a


ax
1 x
3. axdx = + C "
10. dx = arcsin + C
ln a
a
a2-x2

"
4. exdx = ex + C
1
"
11. dx = ln |x + x2 + k| + C
x2+k

5. sin xdx = - cos x + C

1
12. sinn xdx = - sinn-1 x cos x+n-1 sinn-2 xdx
n n
6. cos xdx = sin x + C

1
13. cosn xdx = cosn-1 x sin x+n-1 cosn-2 xdx
n n
1
7. dx = tgx + C
cos2 x