Szczecin, 08-09-2010
Egzamin poprawkowy z matematyki
rok I, semestr II
Teoria
2 pkt. Zadanie I. Podać definicję iloczynu wektorowego dwóch wektorów. Obliczyć pole trójkąta o
wierzchołach A(1, 2, 1), B(2, 3, -3), C(-3, 4, 5) oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka
C.
2 pkt. Zadanie II. Podać definicję minimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych. Korzystając z definicji
wykazać, że funkcja
z = x4 + y2
posiada w punkcie (0, 0) minimum.
2 pkt. Zadanie III. Podać definicję obszaru normalnego względem osi Ox. W podanej całce iterowanej
zmienić kolejność całkowania
"
3-x2
1
dx f(x, y)dy
-1
x2
2
2 pkt. Zadanie IV. Podać warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego. Korzystając z tego twierdzenia
uzasadnić podaną równość:
50n
lim = 0
n"
n!
2 pkt. Zadanie V. Podać warunki Dirichleta dla funkcji f na przedziale < -Ą, -Ą >. Poprawić
funkcję

x + 2 dla x "< -Ą, 0 >
f(x) =
2x - 1 dla x " (0, Ą >
tak, aby spełniała warunki Dirichleta.
Zadania
3 pkt. Zadanie 1. Obliczyć długość łuku krzywej
ex - e-x
y = ln , 1 d" x d" 2.
ex + e-x
1 pkt. Zadanie 2. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1, -2, 1), B(3, 1, 0)
y+4
x-1 z
oraz równoległej do protej l : = = .
3 0 2
2 pkt. Zadanie 3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
2 1
z = x2y + +
y y
3 pkt. Zadanie 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = 2x2 + 2y2, z = x2 + y2, x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4.
6 pkt. Zadanie 5. Rozwiązać równania różniczkowe
a. y(5) + 3y(3) - 4y = ex c. (1 + 3x2 sin y)dx - xctgydy = 0.
b. y + 4y + 4y = e-2xtg2x
3 pkt. Zadanie 6. Znalez
ć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę we-
wnątrz tego przedziału
"

2nxn+3
.
n + 2
n=0
2 pkt. Zadanie 7. Rozwinąć w szereg Fouriera względem sinusów funkcję
x
f(x) = 2 - , 0 < x < Ą.
Ą


1
xą+1
8. dx = -ctgx + C
1. xądx = , ą = -1

ą+1
sin2 x

1 1 1 x
2. dx = ln |x| + C 9. dx = arctg + C
x
a2+x2 a a


ax
1 x
3. axdx = + C "
10. dx = arcsin + C
ln a
a
a2-x2

"
4. exdx = ex + C
1
"
11. dx = ln |x + x2 + k| + C
x2+k

5. sin xdx = - cos x + C

1
12. sinn xdx = - sinn-1 x cos x+n-1 sinn-2 xdx
n n
6. cos xdx = sin x + C

1
13. cosn xdx = cosn-1 x sin x+n-1 cosn-2 xdx
n n
1
7. dx = tgx + C
cos2 x