Szczecin, 27-06-2007
Egzamin z matematyki
rok I, semestr II
Teoria
2 pkt. Zadanie I. Poda_ definicję maksimum funkcji dwóch zmiennych. Korzystajz
c z definicji wyka-
za_, 'e funkcja
z = -x4 - y2
Posiada w punkcie (0, 0) maksimum.
2 pkt. Zadanie II. Poda_ definicjÄ™ pochodnej czz
stkowej pierwszego rzędu funkcji f względem y w
"f y
punkcie (x0, y0). Korzystajz
c z definicji obliczy_ pochodnz
(-1, 1), gdzie f(x, y) = .
"y x

x = Ć(u, v)
Zadanie III. Poda_ definicjÄ™ jakobianu przeksztacenia T : . Korzystajz
c z
2 pkt.
y = È(u, v)
definicji obliczy_ jakobian przeksztacenia

x = uv
T :
u
y =
v
2 pkt. Zadanie IV. Poda_ kryterium cakowe zbie'no2
ci szeregów. Korzystajz
c z tego kryterium
zbada_ zbie'no2
_ szeregu liczbowego
"

1
4 + n2
n=1
2 pkt. Zadanie V. Poda_ definicjÄ™ oryginau oraz warunek wystarczajz
cy istnienia transformaty
Laplace a funkcji f(t).
Zadania
1 pkt. Zadanie 1. Obliczy_ dugo2
_ uku krzywej

y = 1 - x2 + arcsin x
2 pkt. Zadanie 2. Wyznaczy_ ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
z = x2 + xy + y2 - 3 ln x - 3 ln y
3 pkt. Zadanie 3. Obliczy_ cakę podwójnz



x2 + y2dxdy,
D
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi x2 + y2 = 2y, x2 + y2 = 4y.
6 pkt. Zadanie 4. Rozwiz
za_ równania ró'niczkowe
a. y cos x - y sin x = y4 sin x c. y + y = sin 2x
b. (1 + 3x2 sin y)dx - xctgydy = 0
3 pkt. Zadanie 5. Znależ_ przedzia zbie'no2
ci szeregu potęgowego oraz wyznaczy_ jego sumę we-
wnz
trz tego przedziau.
"

(n + 1)xn+2
2n
n=0
2 pkt. Zadanie 6. Rozwinz
_ w szereg Fouriera względem cosinusów funkcję
x
f(x) = 2 - , 0 < x < Ä„
Ä„
3 pkt. Zadanie 7. Korzystajz
c z transformacji Laplace a rozwiz
za_ równanie ró'niczkowe z warunkami
poczz
tkowymi
y + y = e2t y(0) = y (0) = y (0) = 0
1
I. L[1] = 3. L[1(t - t0)f(t - t0)] = e-t0sF (s)
s
n!
4. L[es0tf(t)] = F (s - s0)
II. L[tn] =
sn+1
1
5. L[f(n)(t)] = snF (s)-sn-1f(0+)-sn-2f (0+)-
III.L[eat] =
s-a
. . . - sf(n-2)(0+) - f(n-1)(0+)
1
IV.L[sin at] =
s2+a2
(n)
6. L[tnf(t)] = (-1)nF (s)
s

V. L[cos at] =

t
s2+a2 F (s)
7. L f(Ä)dÄ =
0 s
1. L[Ä…f(t) + ²f(t)] = Ä…F (s) + ²G(s)


f(t) "
8. L = F (p)dp
t s
1 s
2. L[f(Ä…t)] = F
Ä… Ä…