Szczecin, 02-02-2011
Egzamin z matematyki
rok I
Teoria
2 pkt. Zadanie I. Podać definicję pierwiastka stopnia n z liczby zespolonej z. Korzystając z definicji
obliczyć
"
3
-8
.
2 pkt. Zadanie II. Podać definicję rzędu macierzy. Korzystając z definicji obliczyć
îÅ‚ Å‚Å‚
2 3 -1 4
ïÅ‚ śł
rz -3 1 1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 4 0 3
2 pkt. Zadanie III. Podać definicję granicy właściwej ciągu. Korzystając z definicji wykazać, że
1
lim = 0
n" - 2
n
2 pkt. Zadanie IV. Podać twierdzenie Darboux o miejscach zerowych funkcji. Korzystając z tego
1
twierdzenia wskazać przedział o długości , w którym równanie
2
3x + x3 = 0
ma rozwiÄ…zanie.
2 pkt. Zadanie V. Podać definicję pochodnej właściwej funkcji f(x) w punkcie x0. Korzystając z
definicji zbadać różniczkowalność funkcji

x
dla x = 0

1
f(x) = x
1+2
0 dla x = 0
w punkcie x0 = 0.
Zadania
2 pkt. Zadanie 1. Punkt A(1, 2) jest jednym z wierzchołków sześciokąta foremnego o środku symetrii
w punkcie O(3, -1). Znalez
ć pozostałe wierzchołki tego sześciokąta.
3 pkt. Zadanie 2. Rozwiązać układ równań macierzowych

Å„Å‚
1 2 2 1 4 3
ôÅ‚
ôÅ‚
X + Y =
òÅ‚
-1 1 3 4 4 2

2 1 1 1 4 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ół X + Y =
-2 3 -2 3 4 -4
2 pkt. Zadanie 3. Rozwiązać układ równań liniowych.
Å„Å‚
x +4y +2z -3s = 2
ôÅ‚
òÅ‚
2x +9y +5z +2t +s = 3
ôÅ‚
ół
x +3y +z -2t -9s = 3
3 pkt. Zadanie 4. Znalez
ć asymptoty funkcji

3 1
y = x ln e -
2 3x
3 pkt. Zadanie 5. Wyprowadzić wzór na n - tą pochodną funkcji
y = sin2 x
i udowodnić go indukcyjnie.
1 pkt. Zadanie 6. Wykazać tożsamość
1 - x Ä„
arctgx + arctg =
1 + x 4
dla x " (-1, ")
3 pkt. Zadanie 7. Zbadać monotoniczność i znalez
ć ekstrema funkcji
2 x2
3
y = x3 e-
3 pkt. Zadanie 8. Obliczyć całki:

ex
a. dx
1+e2x

b. arcsinxdx

c. e-2x sin 4xdx