Szczecin, 27-06-2007
Egzamin z matematyki
rok I, semestr II
Teoria
2 pkt. Zadanie I. Podać definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów i jego trzy dowolne własności.
1
- -

Obliczyć kąt między wektorami u = (1, 2, -1), v = (1, 0, ).
2
2 pkt. Zadanie II. Podać definicję pochodnej kierunkowej funkcji f w punkcie (x0, y0) w kierunku wer-

3
-

sora u . Korzystając z definicji obliczyć pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = xy2 w punkcie
"2 "2
-

(0, 0) w kierunku wersora u = ,
2 2
2 pkt. Zadanie III. Podać definicję obszaru normalnego względem osi Oy. W podanej całce iterowanej
zmienić kolejność całkowania
Ä„
3 sin x

dx f(x, y)dy
0 0
2 pkt. Zadanie IV. Podać kryterium całkowe zbieżności szeregów. Korzystając z tego kryterium zbadać
zbieżność szeregu liczbowego
"

1
4 + n2
n=1
2 pkt. Zadanie V. Podać definicję oryginału oraz warunek wystarczający istnienia transformaty
Laplace a funkcji f(t).
Zadania
1 pkt. Zadanie 1. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(2, 0, -1) i równoległej
Å„Å‚
x = 4 + 2t
òÅ‚
y+2
x z-1
do prostych l1 : = = , l2 : y = -1 + t
.
2 1 0
ół
z = 2 - t
2 pkt. Zadanie 2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
z = x4 + y4 - x2 - 2xy - y2
3 pkt. Zadanie 3. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = x2 + y2, x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x, z = 0
6 pkt. Zadanie 4. Rozwiązać równania różniczkowe
c. y + y = sin 2x
a. y cos x - y sin x = y4 sin x
b. (1 + 3x2 sin y)dx - xctgydy = 0
3 pkt. Zadanie 5. Znalez
ć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę wewnątrz
tego przedziału.
"

(n + 1)xn+2
2n
n=0
2 pkt. Zadanie 6. Rozwinąć w szereg Fouriera względem cosinusów funkcję
x
f(x) = 2 - , 0 < x < Ä„
Ä„
3 pkt. Zadanie 7. Korzystając z transformacji Laplace a rozwiązać równanie różniczkowe z warunkami
poczÄ…tkowymi
y + y = e2t y(0) = y (0) = y (0) = 0
1
3. L[1(t - t0)f(t - t0)] = e-t0sF (s)
I. L[1] =
s
n! 4. L[es0tf(t)] = F (s - s0)
II. L[tn] =
sn+1
5. L[f(n)(t)] = snF (s)-sn-1f(0+)-sn-2f (0+)-
1
III.L[eat] =
s-a
. . . - sf(n-2)(0+) - f(n-1)(0+)
1
IV.L[sin at] =
(n)
s2+a2
6. L[tnf(t)] = (-1)nF (s)
s

V. L[cos at] =
t F (s)
s2+a2
7. L f(Ä)dÄ =
0 s
1. L[Ä…f(t) + ²f(t)] = Ä…F (s) + ²G(s)

"
f(t)
8. L = F (p)dp
t s

1 s
2. L[f(Ä…t)] = F
Ä… Ä…