Szczecin, 21-06-2010
Egzamin z matematyki
rok I, semestr II
Teoria
2 pkt. Zadanie I. Podać definicję iloczynu wektorowego dwóch wektorów. Obliczyć pole trójkąta o
wierzchołach A(1, 2, 1), B(2, 3, -3), C(-3, 4, 5) oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka
C.
2 pkt. Zadanie II. Podać definicję minimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych. Korzystając z definicji
wykazać, że funkcja
z = x4 + y2
Posiada w punkcie (0, 0) minimum.

x = Ć(u, v)
Zadanie III. Podać definicję jakobianu przekształcenia T : . Korzystając z definicji
2 pkt.
y = È(u, v)
obliczyć jakobian przekształcenia

u
x =
v
T :
y = uv2
2 pkt. Zadanie IV. Podać definicję układu fundamentalnego równania liniowego jednorodnego rzędu
n. Korzystając z tej definicji zbadać czy funkcje y1 = ex, y2 = e2x, y3 = sin x tworzą układ
fundamentalny równania
y + 2y - 3y = 0
2 pkt. Zadanie V. Podać kryterium całkowe zbieżności szeregów. Korzystając z tego kryterium zbadać
zbieżność szeregu liczbowego
"

1
n2 + 2n + 6
n=1
Zadania
3 pkt. Zadanie 1. Obliczyć długość łuku krzywej
ex - e-x
y = ln , 1 d" x d" 2.
ex + e-x
1 pkt. Zadanie 2. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, -2, 1) i równoległej do
płaszczyzn Ą1 : x - 2y + 3z - 1 = 0, Ą2 : -x + 3y - z + 5 = 0.
2 pkt. Zadanie 3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
3
z = 2x3 - xy2 + 5x2 + y2 + x.
2
3 pkt. Zadanie 4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = 2x2 + 2y2, z = x2 + y2.
6 pkt. Zadanie 5. Rozwiązać równania różniczkowe
a. y cos x - y sin x = y4 sin x c. y + y = sin 2x.
b. (1 + 3x2 sin y)dx - xctgydy = 0
3 pkt. Zadanie 6. Znalez
ć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę we-
wnątrz tego przedziału
"

(n + 2)xn+3
.
3n
n=0
2 pkt. Zadanie 7. Rozwinąć w szereg Fouriera względem cosinusów funkcję
x
f(x) = 2 - , 0 < x < Ä„.
Ä„


1
xÄ…+1
8. dx = -ctgx + C
1. xÄ…dx = , Ä… = -1

Ä…+1
sin2 x

1 1 1 x
2. dx = ln |x| + C 9. dx = arctg + C
x
a2+x2 a a


ax
1 x
3. axdx = + C "
10. dx = arcsin + C
ln a
a
a2-x2

"

4. exdx = ex + C
1
"
11. dx = ln |x + x2 + k| + C
x2+k

5. sin xdx = - cos x + C

1
12. sinn xdx = - sinn-1 x cos x+n-1 sinn-2 xdx
n n
6. cos xdx = sin x + C

1
13. cosn xdx = cosn-1 x sin x+n-1 cosn-2 xdx

n n
1
7. dx = tgx + C
cos2 x