A. Zaborski, Związki różniczkowe sił przekrojowych
Związki różniczkowe pomiędzy siłami przekrojowymi dla łuku
płaskiego
Rozpatrzmy równowagę elementu o długości ds pręta o osi krzywej płaskiej, obciążonego
obciążeniem ciągłym q - normalnym do osi, oraz p - stycznym do osi. Zarówno obciążenie jak
i siły przekrojowe zaznaczamy zgodnie z przyjętą konwencją znakowania.
q(s+²"s)"s
p(s+Å‚"s)"s
Q(s)
Q(s+"s)
A
M(s)
M(s+"s)
N(s+"s)
N(s)
Á
"Õ
Obciążenia możemy zastąpić wypadkowymi, które zgodnie z tw. Lagrange a oraz po
zaniedbaniu małych wyższego rzędu przedstawia rysunek obok. Wycięty element powinien
znajdować się w równowadze.
Obliczając sumę rzutów sił na pionową oś symetrii, mamy:
dQ(s + Ä…Q"s)
"Õ îÅ‚ dN(s + Ä…N"s) "Õ
Å‚Å‚
- q(s + ² "s)"s - "scos - +
ïÅ‚2N(s) ds "sśłsin = 0,
ds 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
dla sumy rzutów sił na oś poziomą:
îÅ‚ dQ(s +Ä…Q"s) Å‚Å‚
"Õ dN (s + Ä…N "s) "Õ
p(s + Å‚ "s)"s - + "s cos = 0,
ïÅ‚2Q(s) ds "sśłsin +
2 ds 2
ðÅ‚ ûÅ‚
a dla sumy momentów względem punktu A:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ dQ(s + Ä…Q"s) Å‚Å‚
dM (s + Ä…M "s) "Õ Á
- "s + +
ïÅ‚2Q(s) ds "sśłÁ tan - p(s + Å‚ "s)"sïÅ‚ "Õ - Áśł = 0
ds 2
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚cos 2 ûÅ‚
DzielÄ…c równania przez "s i uwzglÄ™dniajÄ…c, że dla maÅ‚ego kÄ…ta "Õ jest:
"Õ "Õ "Õ "Õ "Õ "Õ "s
cos 1,sin ,tan , ,
2 2 2 2 2 2 2Á
oraz że dla "s 0 Ò! f (s + Ä… "s) f (s) , otrzymamy ostatecznie:
dM (s)
= Q(s)
ds
dQ(s) N(s)
+ = -q(s)
ds Á
dN(s) Q(s)
- = - p(s)
ds Á
Pochodna momentu zginającego po współrzędnej łukowej jest równa sile poprzecznej (z
dokładnością do znaku: zależnie od przyjętej konwencji znakowania). W przekroju zerowania
się siły poprzecznej moment zginający osiąga wartość ekstremalną.
Uwaga: Znaki w wyprowadzonych równaniach zależą od przyjętej konwencji znakowania
obciążeń i sił przekrojowych.