Statystyka opisowa
dr Dorota Kałuża-Kopias
Zakład Demografii i Gerontologii
społecznej
Informacje ogólne:
" kontakt e-mail: [e-mail]
" dyżur: środa 15.00-16.30 pok. A.34
" obecność na zajęciach zwiększa
prawdopodobieństwo zaliczenia
przedmiotu....
" zaliczenie: pisemne w formie testu
Podstawowe pojęcia
statystyczne
" Termin statystyka [łac. Status- państwo] został
wprowadzony do powszechnego użytku w
połowie XVII w. przez niemieckiego uczonego
Gottfreda Achenwalla. Początkowo był to proces
gromadzenia i zestawiania danych liczbowych
wykorzystywanych póz
niej w procesie rządzenia
państwem. Obecnie nauka zajmuje się
badaniem i opisywaniem prawidłowości
występujących w zjawiskach masowych.
" Przedmiotem badań statystycznych jest
zbiorowość statystyczna. Pojęcie to ma
charakter uniwersalny ze względu na jego
zastosowanie do wszystkich badań
statystycznych dotyczących zarówno życia
społecznego, jak i gospodarczego.
" Zbiorowość statystyczna (populacja) 
zbiór jednostek (osób, przedmiotów,
faktów) podobnych do siebie pod
względem określonej cechy (cech) i
powiązanych ze sobą logicznie, ale nie
identycznych.
" Liczebność  ilość jednostek wchodzących w
skład zbiorowości statystycznej.
" Na przykład zbiorowością statystyczną w
przypadku badania płci są wszystkie osoby
będące obywatelami danego kraju.
" Z uwagi na wielkość zbiorowości statystycznej i
fakt, iż przeprowadzenie badania pełnego (całej
zbiorowości) jest zbyt kosztowne w praktyce
znacznie częściej bada się tylko część jednostek
wchodzących w skład zbiorowości statystyczne
(tzw. zbiorowość próbną, próbę statystyczną).
" Próbą statystyczną (zbiorowością
próbną) nazywamy cześć zbiorowości
statystycznej poddanej badaniu, która
została wyodrębniona ze zbiorowości w
określony sposób.
Cechy statystyczne i ich rodzaje
" Najczęściej cechy statystyczne są dzielone na:
" Cechy ilościowe (mierzalne)  są to te
właściwości jednostki statystycznej, które dadzą
się zmierzyć i wyrazić za pomocą liczb oraz
konkretnej jednostki, np. wzrost (cm), wiek (lata),
masa (kg), itd..
" Cechy jakościowe (niemierzalne)  są to te
właściwości jednostki statystycznej, których nie
można zmierzyć, a jedynie stwierdzić czy dany
wariant właściwości występuję bądz
nie u danej
jednostki. Cechy te określane są najczęściej
słownie, np. pleć, wykształcenie, kategorie
zawodowe, narodowość, itd..
" W wyniku pogrupowania jednostek
zbiorowości statystycznej według cech
mierzalnych możemy otrzymać podział
na cechy:
 Ciągłe  mogą przyjmować dowolną wartość
z określonego przedziału liczbowego, a zbiór
wartości takich cech jest nieprzeliczalny, np.
waga (40-120) kg.
 Skokowe (dyskretne)  mogą przyjmować
tylko niektóre wartości z określonego
przedziału liczbowego, np. ilość dzieci w
rodzinie.
" W przypadku cech niemierzalnych
rozróżniamy klasyfikację:
 Dwudzielną (dychotoniczną)  przyjmują
tylko dwa warianty, tzn. każda jednostka ma
daną własność lub nie, innych możliwości nie
ma np. płeć  kobieta i mężczyzna.
 Wielodzielną (politomiczną)  przyjmują
więcej niż dwa warianty, np. stan cywilny 
panna/kawaler, zamężna/żonaty,
rozwiedziona/rozwiedziony,
separowana/separowany, wdowa/wdowiec.
" Innym podziałem cech statystycznych jest
podział ze względu na przynależność jednostek
do danej zbiorowości statystycznej. W tym
przypadku rozróżniamy cechy:
" Stałe  wspólne wszystkim jednostkom
zbiorowości statystycznej, nie podlegają badaniu
statystycznemu, pomagają jedynie zaliczyć daną
jednostkę do określonej zbiorowości
statystycznej.
" Zmienne  właściwości, którymi poszczególne
jednostki różnią się od siebie, tzn. występują u
poszczególnych jednostek zbiorowości w postaci
możliwych wariantów cechy.
" W zależności od charakteru zbiorowości
statystycznej wśród cech stałych
wyróżnić można cechy:
" Rzeczowe  odnoszą się do pytania co?,
lub kogo badamy?,
" Czasowe  określają, jaki okres obejmuje
badanie?,
" Przestrzenne  określają, gdzie odbywa
się badanie.
" Rozpatrzmy na przykład zbiorowość, której
jednostkami statystycznymi są wszyscy studenci
studiujący na kierunku ekonomia w A
odzi w roku
akademickim 2010/2011. Stałą cechą rzeczową
jednostek tej zbiorowości jest to, że są to
studenci kierunku ekonomia, stałą cechą
przestrzenną jest to, że studenci ci są z łódzkich
uczelni, stałą cechą czasową jest zaś fakt, iż do
zbiorowości tej należą tylko ci, którzy byli
studentami politologii w roku akademickim
2010/2011.
Rys. 1.1 Podział cech statystycznych
Cechy statystyczne
Zmienne
Stałe
Rzeczowe
Ilościowe Jakościowe
(mierzalne) (niemierzalne)
Przestrzenne
Ciągłe Dwudzielne
Czasowe
(dychotoniczną)
Skokowe
Wielodzielną
(politomiczną)
y
ródło: Opracowanie własne
Etapy badania statystycznego
" Badanie statystyczne polega na zebraniu
odpowiednich informacji dotyczących określonej
zbiorowości statystyczne, a następnie
przetworzeniu i analizie tych informacji.
" Wyróżnić można cztery etapy badania
statystycznego:
" Przygotowanie badania statystycznego;
" Obserwacja statystyczna;
" Opracowywanie zebranego materiału
statystycznego;
" Analiza zebranego materiału statystycznego;
" W pierwszym etapie badania należy:
 Sformułować cel badania i hipotezy
badawcze;
 Określić zbiorowość i jednostkę statystyczną
(ze względu na kryterium rzeczowe, czasowe,
przestrzenne);
 Określić listę cech statystycznych;
 Określić metodę badania statystycznego;
" Ze względu na kompletność badania
statystycznego wyróżniamy badania:
 Całkowite (pełne)  obserwacji poddane są wszystkie
jednostki statystyczne, np. spisy powszechne,
bieżąca rejestracja statystyczna (zgonów, urodzeń,
małżeństw);
 Częściowe  część zbiorowości poddana zostaje
badaniu statystycznemu, są to badania: ankietowe,
monograficzne, reprezentacyjne, np. kontrola jakości
wyrobów;
" Ze względu na ciągłość obserwacji
wyróżniamy badania:
 Jednorazowe  np. ustalenie przyczyny
zgonu;
 Okresowe (cykliczne)  np. spisy
powszechne;
 Ciągłe  np. rejestracja bieżąca urodzeń,
zgonów;
 Określić z
ródła informacji;
" Pierwotne  zbieramy informacje dla konkretnego
badania, np. ankieta informacja zaczerpnięta u
z
ródła;
" Wtórne  zbiór danych zgromadzonych dla celów
poza statystycznych, np. dla bieżącej działalności
jednostek gospodarczych;
" Opracować formularze statystyczne i przygotować
makiety tablic wynikowych oraz zapewnić
odpowiednią kontrolę zbieranych materiałów
statystycznych;
" Szkolenie osób zbierających materiał statystyczny
(tylko w przypadku materiału pierwotnego);
" Opracowywanie planu finansowego badania.
" Etap drugi  obserwacja statystyczna
czyli zbieranie materiału statystycznego
przebiega zgodnie z założeniami z
wcześniejszego etapu projektowania
badania.
" Etap trzeci  opracowywanie zebranego
materiału statystycznego.
" Na tym etapie mamy do wykonania
następujące czynności:
" Kontrolę formalną i merytoryczną;
" Grupowanie materiału statystycznego;
" Podliczanie (zliczanie) materiału
statystycznego;
" Prezentacja materiału statystycznego;
" Zebrany materiał statystyczny podczas drugiego
etapu nazywamy materiałem surowym, który
często zawiera różnego rodzaju braki i błędy.
Dlatego przed analizą statystyczną poddajemy
go kontroli zarówno pod kontem formalnym, jak i
merytorycznym.
" Kontrola formalna polega na sprawdzeniu
kompletności i zgodności rachunkowej materiału
statystycznego, natomiast kontrola
merytoryczna sprawdza logiczną poprawność
zapisów.
" Do przeprowadzenia badania statystycznego oprócz
kontroli formalnej i merytorycznej należy dokonać
grupowania materiału statystycznego, które stanowi
przejście od materiałów informacyjnych o pojedynczych
jednostkach badanej zbiorowości statystycznej do
informacji dających obraz o całej zbiorowości. Inaczej
mówiąc grupowanie materiału statystycznego polega
na wyodrębnienie jednorodnych grup ze zbiorowości
statystycznej. Takim podziałem jest na przykład podział
ludności ze względu na płeć czy charakter miejsca
zamieszkania (miasto, wieś).
" Głównym i ostatecznym celem każdego
badania statystycznego jest analiza
zebranego materiału statystycznego,
która ma na celu możliwie wszechstronne
poznanie i zbadanie analizowanej
zbiorowości.
Sposoby prezentacji materiału
statystycznego
" Opracowanie materiału statystycznego
(tzn. grupowanie i zliczanie) sprowadza
się do prezentacji danych statystycznych
w odpowiedniej formie.
" Istnieją dwie podstawowe formy
prezentacji danych statystycznych:
" Szeregi statystyczne;
" metoda graficzna (histogramy, wykresy,
kartogramy, itd.).
" Sposób prezentacji zależny jest od
specyfiki i celu badania. Główną zasadą
jaką badacz kieruje się przy wyborze
formy prezentacji danych statystycznych
jest zapewnienie czytelności i
przejrzystości zebranych danych, a dzięki
temu uzyskanie możliwości analizy
prezentowanego materiału statystycznego.
Szeregi statystyczne
" Dane statystyczne uporządkowane według
wariantu jednej cechy zaprezentowane w
postaci tabelarycznej tworzą szereg
statystyczny.
" W zależności od rodzaju analizy badanych
zjawisk rozróżniamy szeregi
Rys. 1.2. Podstawowe rodzaje szeregów statystycznych
Szeregi
statystyczne
Szczegółowe
Czasowe Geograficzne
Rozdzielcze
(dynamiczne) (przestrzenne)
Okresów
Z cechą Z cechą
mierzalną niemierzalną
Momentów
Punktowe
Przedziałowe
y
ródło: Opracowanie własne
1. Szereg szczegółowy (indywidualny, prosty, wyliczający)  ciąg liczbowych wielkości
statystycznych uporządkowanych według badanej cechy (rosnąco lub malejąco). W
praktyce ma zastosowanie przy małych zbiorowościach.
Nr badanej jednostki 1 2 3 4 n
Wariant badanej cechy ( xi ) x1 x2 x3 x4 xn
gdzie:
xi - oznacza wartość cechy dla i-tej jednostki zbiorowości statystycznej;
i= 1,2& ,n
Przykład:
10 studentów kierunku politologia spytano ile palą dziennie papierosów. Uzyskano
następujące informacje (ilość wypalanych papierosów w sztukach):1,2,8,10,3,2,1,5,6,4.
Aby z powyższych informacji utworzyć szereg szczegółowy należy ułożyć liczbę
wypalanych papierosów niemalejąco.
Nr studenta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 2 3 4 5 6 8 10
Liczba wypalanych papierosów ( xi )
" W przypadku gdy mamy do czynienia z dużymi
zbiorowościami statystycznymi stosujemy
szeregi rozdzielcze, które dzielą badaną
zbiorowość na klasy (części) według określonej
cechy.
" Szereg rozdzielczy  składa się z dwóch
kolumn (w pierwszej kolumnie znajdują się
warianty badanej cechy , w drugiej kolumnie
liczba jednostek zbiorowości statystycznej, która
dany wariant cechy posiada .
Wariant badanej cechy ( xi )
x1 x2 x3 x4 xk
��
liczba jednostek ( ni ) n
n1 n2 n3 n4 nk
gdzie:
xi - oznacza i-ty wariant badanej cechy i=1,2,& ,k
ni - liczba jednostek zbiorowości statystycznej o i-tym wariancie cechy (tzw. liczebności
cząstkowe);
k  liczba wariantów cechy (klas);
n  liczebność całkowita zbiorowości (próby);
- znak sumy;
��
k
przy czym:
��n =� n
i
i=�1
" Szeregi rozdzielcze dla cech
mierzalnych dzielą się na:
" Punktowe  stosujemy gdy liczba
wariantów cechy jest niewielka.
" Z przedziałami klasowymi  stosujemy
gdy jest duża liczba wariantów badanej
cechy.
" Ważne przy konstrukcji szeregów rozdzielczych
z przedziałami klasowymi jest ustalenie:
" Liczby klas (przedziałów), w praktyce wynosi
ona od 5 do 15 (w zależności od liczby
obserwacji i charakteru danych). Jednym ze
sposobów ustalenia liczby klas jest skorzystanie
z formuły:
" Długości przedziału klasowego (rozpiętość)
stanowi różnicę między górną a dolną krawędzią
przedziału (x dolne - x górne). W praktyce
staramy się aby rozpiętości poszczególnych
przedziałów były porównywalne.
Szereg rozdzielczy punktowy (tab. 1.1) Szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi (tab. 1.2)
Tab. 1.1 Wzrost dzieci Tab. 1.2 Absencja chorobową pracowników firmy X
w klasie trzeciej szkoły podstawowej
Liczba dni nieobecności Liczba pracowników
Wzrost Liczba
xi ni
(w cm) dzieci
0  4 100
xi ni
5  9 150
150 25
10  14 200
151 35
15  19 130
152 40
20  24 120
153 45
700
154 40
��
155 30
156 20
235
��
y
ródło: Dane umowne
" Czasami mamy do czynienia z szeregami
statystycznymi rozdzielczymi o pierwszym
lub ostatnim przedziale kasowym
otwartym. Sytuacja taka występuje, np.
gdy w badanej zbiorowości statystycznej
występują ekstremalne wartości badanej
cechy (zarówno bardzo duże, jak i bardzo
małe).
Szeregi rozdzielcze z otwartymi przedziałami klasowymi (tab. 1.3, 1.4)
Tab. 1.3 Tab. 1.4
Liczba dni Liczba
Liczba dni Liczba
nieobecności pracowników
nieobecności pracowników
xi ni
xi ni
4 i mniej 100
0  4 100
5  9 150
5  9 150
10  14 200
10  14 200
15  19 130
15  19 130
20  24 120
20 i więcej 120
700
�� 700
��
y
ródło: Dane umowne
Szereg rozdzielczy dla cechy niemierzalnej (tab. 1.5)
Tab. 1.5 Struktura ludności w wieku 15 lat i więcej według stanu cywilnego faktycznego w 2002 roku
Stan cywilny Ludność (w tys.)
xi ni
Mężczyz
ni 14962,1
Kawalerowie 4863,0
Żonaci i partnerzy 9145,7
W tym partnerzy 198,0
Wdowcy 424,7
Rozwiedzieni 394,2
Separowani 9,6
Kobiety 16326,3
Panny 3869,0
Zamężne i partnerki 9239,9
W tym partnerki 198,0
Wdowy 2446,3
Rozwiedzione 635,8
Separowane 13,7
y
ródło: Rocznik Demograficzny 2007, s. 164
�� Szereg przestrzenny - (geograficzny) 
prezentuje strukturę przestrzenną
badanego zjawiska. Konstrukcja szeregu
geograficznego polega na tym, że w
pierwszej kolumnie zamieszczamy
jednostki terytorialne, a w drugiej badane
wielkości statystyczne.
Szereg przestrzenny (tab. 1.6)
Tab. 1.6 Największe państwa świata w 2007 (w mln osób)
Kraj Ludność
Chiny 1318
Indie 1132
USA 302
Indonezja 232
Brazylia 189
Pakistan 169
Bangladesz 149
Nigeria 144
Rosja 142
Japonia 128
Meksyk 107
y
ródło: dane dostępne na stronie www.un.org
" Zgrupowany materiał statystyczny przedstawiany jest
najczęściej w postaci tablic statystycznych, które
stanowią zbiór szeregów statystycznych. Każda tablica
statystyczna zaopatrzona jest w tytuł, kolumny i wiersze.
W zależności z ilu szeregów składa się tablica można je
podzielić na:
" Proste  składają się z jednego szeregu i zawierają
informacje o zbiorowości statystycznej z punktu widzenia
jednej cechy.
" Kombinowane  składają się z kilku szeregów i
zawierają informacje o jednej zbiorowości z punktu
widzenia kilku cech.
" W przypadku gdy z różnych przyczyn nie
możemy wypełnić jakiejś pozycji w tablicy to w
miejsce to wstawiamy jeden ze znaków:
" (-) zjawisko nie występuje;
" (.) brak informacji;
" (X) rubryka nie może być wypełniona ze
względu na układ tablicy;
" (0) wielkość mniejsza od minimum jednostki;
Analiza struktury zbiorowości
" Realizacji tego zadania służą odpowiednie miary
statystyczne (zwane parametrami). Do podstawowych
parametrów opisujących strukturę zbiorowości
statystycznych należą:
" wskaz
nik natężenia;
" wskaz
nik struktury;
" wskaz
nik podobieństwa struktur;
" miary opisujące tendencję centralną (średnie);
 klasyczne,
 pozycyjne,
" miary dyspersji (rozproszenia, zróżnicowania, rozrzutu);
 klasyczne,
 pozycyjne,
" Wyniku obserwacji statystycznej
otrzymujemy informację o badanym
zjawisku w postaci liczb bezwzględnych
(absolutnych), które są zawsze
wielkościami mianowanymi (np. masa w
kg, liczba w sztukach, powierzchnia w ).
Wartości bezwzględne jednak nie nadają
się do porównań w czasie i w przestrzeni
badanych zbiorowości.
" Prawdziwy osąd o stanie badanego
zjawiska daje dopiero uwzględnienie
wartości bezwzględnych innego zjawiska
występującego wraz z badanym. Dlatego
w analizie statystycznej oprócz liczb
bezwzględnych wykorzystuje się liczby
względne (stosunkowe), które stanowią
stosunek (iloraz) liczb bezwzględnych
opisujących zjawiska ze sobą powiązane.
" Wskaz
niki natężenia to liczby względne,
obliczane wówczas gdy chcemy
przedstawić badaną wielkość w
odniesieniu do innej, która jest z nią
logicznie powiązana.
Wartość wskaz
nika natężenia (Wn ) wyznaczamy na podstawie wzoru (1.1):
a
Wn =� (1.1)
b
gdzie:
a - wielkość pierwsza;
b - wielkość druga logicznie powiązana z wielkością pierwszą;
" W opisie zjawisk demograficznych i
społeczno-ekonomicznych jest to miara
bardzo często wykorzystywana. Niektóre z
nich to: gęstość zaludnienia (liczba
ludności przypadająca na 1 km2),
współczynnik zawierania małżeństw
(odnoszący liczbę zawartych w danym
okresie małżeństw do populacji osób
zamieszkałych na danym obszarze), itd.
Wskaz
nik struktury (frakcja),
wskaz
nik podobieństwa struktur
" Struktura badanej zbiorowości często
przedstawiana jest w podziale na
podgrupy jednostek różniących się od
siebie wariantami analizowanej cechy.
Udział poszczególnych części zbiorowości
posiadających dany wariant cechy w całej
zbiorowości opisuje wskaz
nik struktury
(frakcja), który może być wyrażony w
procentach albo w promilach.
Wartość wskaz
nika struktury ( wi ) wyznaczamy na podstawie wzoru (1.2):
ni
wi =� (1.2)
n
k
przy czym
��w =� 1 (lub 100 jeśli wyrażany jest w procentach, 1000  jeśli w promilach)
i
i=�1
i 0 Ł� wi Ł�1 (lub 100 jeśli wyrażany jest w procentach, 1000  jeśli w promilach)
gdzie:
i = 1, 2,& , n;
k  liczba podgrup badanej zbiorowości;
n - liczebność całkowita zbiorowości;
ni - liczebność cząstkowa zbiorowości;
Przykład:
Tablica 1.7 przedstawia wydatki na grupy towarów w 2004 r. ponoszonych miesięcznie przez
gospodarstwa domowe. Aby określić, jaki był udział poszczególnych grup towarów w
wydatkach miesięcznych gospodarstw domowych, obliczono w kolumnie 3. wskaz
niki
struktury.
Tab. 1.7 Wydatki na grupy towarów gospodarstw domowych w 2004 r.
Wskaz
niki struktury ( wi ) w %
grupy towarowe miesięczne wydatki na os.
46,06
Żywność i napoje bezalkoholowe 181
4,83
Napoje alkoholowe i wyroby tytoniowe 19
9,92
Odzież i obuwie 39
32,82
Użytkowanie mieszkań i nośniki energii 129
6,36
Zdrowie 25
100,00
Suma 393
y
ródło: Obliczenia własne na podstawie danych z Rocznika Statystycznego 2005, s. 203
" Do określenia podobieństwa struktur
badanych zbiorowości z punktu widzenia
określonej cechy w naukach społecznych
często jako miarę wykorzystuje się
wskaz
nik podobieństwa struktur, który
wyznacza się według wzoru (1.3):
wp =� (1.3)
��min(w , wiII )
iI
przy czym 0 Ł� wp Ł�1,
gdzie:
wiI , wiII - oznaczają wskaz
niki struktury dla dwóch porównywalnych zbiorowości (I i II).
Im wartość wskaz
nika bliższa jedności tym struktury badanych zbiorowości są do siebie
bardziej podobne. Najczęściej miara ta wyrażana jest w procentach, wówczas 0 Ł� wp Ł�100
" W tab. 1.8 przedstawiono strukturę studentów według
płci na dwóch uczelniach (politechnice i uniwersytecie).
Chcąc odpowiedzieć na pytanie czy struktura studentów
ze względu na płeć jest do siebie podobna na obu
uczelniach, należy obliczyć wskaz
nik podobieństwa
struktur, według wzoru (1.3). Jak wynika z danych
zawartych w tablicy wyższy udział kobiet wśród ogółu
studentów występuje na uniwersytecie (55%). Mimo to
obliczony w kolumnie 4., tab. 1.8 wskaz
nik podobieństwa
struktur wynosi 0,7, co wskazuje na 70% podobieństwo
obu porównywanych struktur.
Tab. 1.8 Struktura studentów według płci
Płeć (studenta) Politechnika Uniwersytet
min ( wiI ,wiII )
wiI I wiII
Kobieta 0,25 0,55 0,25
Mężczyzna 0,75 0,45 0,45
0,70
wp
y
ródło: Dane umowne
Miary średnie
(klasyczne i pozycyjne)
" Średnie klasyczne  do obliczenia
których potrzebujemy wszystkich
jednostek zbiorowości statystycznej;
" Średnie pozycyjne  które są
konkretnymi wartościami jednostek
zbiorowości statystycznej, jednostek
wyróżnionych ze zbiorowości ze względu
na swoją pozycję w szeregu
statystycznym;
" Średnia arytmetyczna  otrzymujemy ją w wyniku
podzielenia sumy wartości cechy wszystkich jednostek
zbiorowości statystycznej przez liczebność zbiorowości.
gdzie:
" wartość cechy dla i-tej jednostki zbiorowości;
" i=1,2,& , n;
" n - liczebność całkowita zbiorowości (próby);
" Średnią arytmetyczną obliczoną według powyższego
wzoru nazywamy średnią arytmetyczną prostą i
wyznaczamy ją na podstawie szeregów szczegółowych.
gdzie:
ni - liczba jednostek zbiorowości statystycznej o i-tym wariancie cechy
k  liczba wariantów cechy (klas);
" W przypadku szeregu rozdzielczego z
przedziałami klasowymi warianty cechy
wyrażone są za pomocą klas. W każdej
klasie występuje nie jeden wariant cechy
lecz wiele. W tym wypadku średnią
arytmetyczną ważoną wyznaczamy
według wzoru
gdzie:
o�
x - środek przedziału klasowego, który wyznaczamy sumując dolny i górny kraniec
i
przedziału, a następnie tak obliczoną sumę dzielimy przez 2.
Jeśli w miejsce wagi ni we wzorach podstawimy
wskaz
nik struktury wi , to średnie arytmetyczne ważone
przyjmą postać:
k
��n xi
i
k
i=�1
x =� =�
��w xi
i
n
i=�1
k
o�
i
��n x
i
k
o�
i=�1
x =� =�
i
��w x
i
n
i=�1
Wybrane własności średniej arytmetycznej:
1. Średnia arytmetyczna jest wielkością mianowaną, tzn.
wyrażona jest w takich samych jednostkach jak badana cecha;
2. Średnia arytmetyczna nie może przyjąć wartości niższej niż
minimalna wartość badanej cechy oraz wyższej niż
maksymalna wartość cechy,
xmin <� x <� xmax ,
czyli:
3. Suma odchyleń od średniej arytmetycznej poszczególnych
wartości cechy xi równa jest zero,
xi -� x =� 0
czyli: w szeregu szczegółowym lub
(� )�
��
xi -� x �� ni =� 0
(� )�
w szeregu rozdzielczym.
��
Wady:
" Przede wszystkim jest ona wielkością
abstrakcyjną, tzn. może przyjąć wartość jaka nie
wystąpiła u żadnej badanej jednostki.
" W przypadku szeregów rozdzielczych o
otwartych przedziałach klasowych wyznaczenie
średniej arytmetycznej jest niemożliwe, ze
względu na niemożność obliczenia środka
przedziału klasowego.
" Ponadto nie powinno się jej wyznaczać dla
zbiorowości, w których występują nietypowe
wartości cechy.
Miary średnie pozycyjne
 W odróżnieniu od średnich klasycznych, są
wielkościami, których wartości wyznaczane są
na podstawie tylko niektórych (konkretnych)
wyrazów szeregu statystycznego.
Tak więc są to rzeczywiste wartości cechy
występujące w badanej zbiorowości, wybrane ze
względu na swoje położenie w uporządkowanym
szeregu statystycznym. Do średnich
pozycyjnych zaliczamy dominantę oraz kwartyle.
" Dominanta (moda, wartość
najczęstsza, wartość modalna)  jest to
wartość cechy, która występuje
najczęściej (najliczniej) w badanej
zbiorowości statystycznej.
" W szeregach szczegółowych oraz
rozdzielczych punktowych dominantę
stanowi ta wartość cechy, która powtarza
się najczęściej (o największej liczebności)
u badanych jednostek zbiorowości
statystycznej.
n0 -� n-�1
D0 =� x0 +� * h0 (1.9)
(n0 -� n-�1) +� (n0 -� n+�1)
gdzie:
x0- dolna granica przedziału Do;
h0-rozpiętość przedziału Do  czyli różnica między dolnym i górnym krańcem przedziału Do;
n0- liczebność przedziału Do;
n -1  liczebność przedziału poprzedzającego przedział Do;
n +1  liczebność przedziału następującego po przedziale Do;
Warunki wyznaczania dominanty
" Rozpiętości przedziału dominanty i
sąsiadujących z nim przedziałów muszą
być równe;
" Nie należy wyznaczać dominanty w
przypadku gdy brak jest jednego wyraz
nie
zaznaczonego maksimum liczebności;
" Kwartyle są to miary, które dzielą
zbiorowość na części, które pozostają w
stosunku do siebie w określonych
proporcjach. Jednym z najbardziej
znanych kwartyli jest kwartyl drugi zwany
medianą.
" Mediana Me (kwartyl drugi, wartość
środkowa)  jest to miara, która dzieli
zbiorowość na dwie równe części w ten sposób,
że liczba jednostek mających wartość nie
mniejszą od Me jest równa liczbie jednostek
mających wartość niewiększą od Me. Sposób
wyznaczenia mediany zależny jest od typu
szeregu statystycznego oraz liczby jednostek
wchodzących w skład zbiorowości statystycznej
(liczebności).
Me =� xn+�1 (1.10)
2
W przypadku zbiorowości o parzystej liczebności mamy dwie wartości środkowe. W takim
wypadku medianę stanowi tu średnia arytmetyczna dwóch wartości środkowych (wzór 1.11).
xn +� xn
+�1
2 2
Me =� (1.11)
2
Liczebność skumulowana ( nsk ) jest to suma liczebności cząstkowych od 1 do i-tego
wariantu cechy (klasy w przypadku szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi),
k
(1.12)
��n
i
i=�1
W szeregu z przedziałami klasowymi medianę wyznaczamy ze wzoru 1.13:
h0
Me =� x0 +� * (NrMe -� nsk-�1) (1.13)
n0
gdzie:
x0- dolna granica przedziału Me ;
h0-rozpiętość przedziału Me ;
n0- liczebność przedziału Me ;
nsk-1- liczebność skumulowana powyżej przedziału Me ;
NrMe - numer mediany (pozycja mediany), który jest zależny od liczebności całkowitej
zbiorowości (wzór 1.14).
n +�1
��
-dla n nieparzystego
��
NrMe �� 2 (1.14)
��
��n -dla n parzystego
��2
��
" Zaletą mediany jest to, iż może być ona
obliczana w przypadku, w którym nie
możemy lub nie powinniśmy wyznaczać
średniej arytmetycznej, która w
przeciwieństwie do mediany jest wrażliwa
na występowanie wartości nietypowych
cechy.
Kwartyl pierwszy i trzeci
" Kwartyl pierwszy jest to taka wartość
cechy, która dzieli zbiorowość w ten
sposób, że 25% jednostek ma od niej
wartość mniejszą, a 75% jednostek
większą, , zaś kwartyl trzeci to wartość tej
cechy, poniżej której znajduje się 75%, a
powyżej której 25% jednostek zbiorowości
statystycznej. Wyznaczenie tych miar
odbywa się na tej samej zasadzie, jak
wyznaczenie mediany.
" W szeregach szczegółowych
przyjmujemy, że zbiorowość jest dzielona
przez medianę na dwie równe części. Jeśli
wyznaczymy ponownie medianę dla
części pierwszej to jej wartość będzie
odpowiadała kwartylowi pierwszemu, jeśli
zaś drugiej połowie zbiorowości to
kwartylowi trzeciemu. Dla obu tych
podzbiorowości mediana jest wyznaczana
według wzoru 1.10 lub 1.11.
" W przypadku szeregu rozdzielczego
punktowego wyznaczenie kwartala
pierwszego i trzeciego polega na
wskazaniu w kolumnie wartości cechy
odpowiadającej liczebności skumulowanej
zawierającej zbiorowości w przypadku ,
natomiast dla - zawierającej jednostek
zbiorowości.
W przypadku szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi kwartyl pierwszy i trzeci
wyznaczane są ze wzorów 1.15 i 1.16.
h0
Q1 =� x0 +� * (NrQ -� nsk -�1) (1.15)
1
n0
h0
Q3 =� x0 +� *(NrQ -� nsk-�1) (1.16)
3
n0
gdzie:
n +�1
��
dla n nieparzystego
��
NrQ �� 4 (2.17)
��
1
��n
dla n parzystego
��4
��
3(n +�1)
��
dla n nieparzystego
��
NrQ �� 4 (2.18)
��
3
��3n
dla n parzystego
��
�� 4
Miary zróżnicowania
(klasyczne i pozycyjne)
Miary klasyczne:
" Wariancja;
" Odchylenie standardowe;
" Współczynnik zmienności;
Miary pozycyjne:
" Rozstęp (obszar zmienności);
" Odchylenie ćwiartkowe;
" Współczynnik zmienności;
Rozstęp
Miara ta ma niewielką wartość poznawczą, gdyż obszar zmienności
uzależniony jest tylko od dwóch wartości skrajnych, które często
różnią się istotnie od wszystkich pozostałych wartości badanej cechy,
tak więc rozstęp wykorzystywany jest jedynie przy wstępnej ocenie
rozproszenia badanej cechy w zbiorowości.
odchylenie ćwiartkowe (Q), które określa
średnie zróżnicowanie wartości cechy od
mediany
Q3 -� Q1
Q= (1.20)
2
Miara ta stosowana jest zazwyczaj, gdy niemożliwe lub nie wskazane jest obliczanie miar
klasycznych zróżnicowania.
 Wariancją określa się średnią
s2
arytmetyczną z sumy kwadratów
odchyleń poszczególnych wartości cechy
statystycznej od średniej
arytmetycznej całej zbiorowości
statystycznej. Wariancję wyznacza się
z następujących wzorów:
- dla szeregu szczegółowego:
n
1
2
s2 =� ��
��(�x -� x)�
i
n
i=�1
- dla szeregu rozdzielczego punktowego:
n
1
2
s2 =� ��
��(�x -� x)� ��ni
i
n
i=�1
- dla szeregu rozdzielczego
przedziałowego:
2
n
0
1
s2 =� �� ��ni
i
�� ��
��ć� x -� x ��
n
Ł� ł�
i=�1
 Podstawowe właściwości wariancji:
1. Jest zawsze liczbą nieujemną
2. Jest zawsze wielkością mianowaną,
tzn. wyrażoną w jednostkach
badanej cechy statystycznej. Miano
wariancji zawsze jest kwadratem
jednostki fizycznej, w jakiej mierzona
jest badana cecha
3. Im zbiorowość statystyczna jest
bardziej zróżnicowana, tym wartość
wariancji jest wyższa
 Odchylenie standardowe jest
pierwiastkiem kwadratowym z wariancji:
s =� s2
gdzie:
s - odchylenie standardowe
- wariancja.
s2
Odchylenie standardowe określa, o
ile wszystkie jednostki statystyczne
danej zbiorowości różnią się średnio od
wartości średniej arytmetycznej
badanej zmiennej.
 W statystyce odchylenie
standardowe wykorzystywane jest do
tworzenia typowego obszaru zmienności
statystycznej. W obszarze takim mieści
się około 2/3 wszystkich jednostek
badanej zbiorowości statystycznej.
Typowy obszar zmienności określa
wzór:
x -� s��xtyp��x +� s
 Miary dyspersji (rozproszenia), jak i wartości
średnie są liczbami mianowanymi. Fakt ten
umożliwia bezpośrednie porównywania miar
dyspersji obliczonych dla różnych szeregów.
Jeżeli badane zjawisko mierzone jest w różnych
jednostkach miary lub kształtuje się na niejednakowym
poziomie, wówczas do oceny rozproszenia należy
stosować współczynnik zmienności.
 Współczynnik zmienności jest ilorazem odchylenia
przeciętnego lub odchylenia standardowego oraz średniej:
d
s
V =�
V =�
lub
x
x
(zamiast może być inna średnia, np. mediana)
x
Współczynnik zmienności może być wyrażony
w procentach. Współczynnik ten zastępuje bezwzględne
miary dyspersji.
 Współczynnik zmienności pozwala porównywać
różne szeregi lub szeregi tego samego typu, ale o
różnej strukturze. Umożliwia on dokonanie analiz
zmienności w czasie i przestrzeni. Współczynnik
zmienności (obok odchylenia standardowego)
wykorzystywany jest jako miara ryzyka finansowego.